初中数学8上2017-2018学年安徽省黄山市休宁县六校联考八年级（上）期中数学试卷练习含答案

这是一份初中数学8上2017-2018学年安徽省黄山市休宁县六校联考八年级（上）期中数学试卷练习含答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）（2017春•常州期末）剪纸艺术是中华文化的瑰宝，下列剪纸图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）（2008•福州）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A．13cmB．6cmC．5cmD．4cm
3．（4分）（2017秋•休宁县期中）如图，△ABC≌△ADE，∠B=70°，∠C=26°，∠DAC=30°，则∠EAC=（ ）
A．27°B．54°C．30°D．55°
4．（4分）（2017秋•休宁县期中）到三角形的三边距离相等的点是（ ）
A．三角形三条高的交点
B．三角形三条内角平分线的交点
C．三角形三条中线的交点
D．无法确定
5．（4分）（2017秋•休宁县期中）平面直角坐标系中，点A（m，﹣2）、B（1，n﹣m）关于x轴对称，则m、n的值为（ ）
A．m=1，n=1B．m=﹣1，n=1C．m=1，n=3D．m=1，n=﹣3
6．（4分）（2010春•萧山区校级期末）如图，点D、E分别在AC、AB上，已知AB=AC，添加下列条件，不能说明△ABD≌△ACE的是（ ）
A．∠B=∠CB．AD=AEC．∠BDC=∠CEBD．BD=CE
7．（4分）（2017秋•临沂期中）多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（ ）
A．7条B．8条C．9条D．10条
8．（4分）（2017秋•休宁县期中）在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，D是外角与内角平分线交点，E是外角平分线交点，若∠BOC=120°，则∠D=（ ）度．
A．15°B．20°C．25°D．30°
9．（4分）（2017秋•休宁县期中）如图，在3×3网格中，已知点A，B是网格顶点（也称格点），若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（4分）（2017秋•休宁县期中）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个三角形的顶角为（ ）
A．30°或150°B．75°或15°C．75°D．30°

二、填空题（每小题5分，共20分）
11．（5分）（2013春•洛江区期末）等边三角形有 条对称轴．
12．（5分）（2017秋•休宁县期中）如图，若AB=DE， ，BE=CF，则根据“SSS”可得△ABC≌△DEF．
13．（5分）（2017秋•休宁县期中）如果将长度为a﹣2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是 ．
14．（5分）（2017秋•休宁县期中）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于E、F，若∠EPF=α，则∠AOB= ．

三、解答题
15．（8分）（2017秋•休宁县期中）如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DE⊥AB于点D，若∠B为锐角，BC∥DF，求∠B的度数．
16．（8分）（2017秋•休宁县期中）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，求证：BE=CD．
17．（8分）（2017秋•休宁县期中）在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC=8，求△ABC的周长．
18．（8分）（2013•郴州）在图示的方格纸中
（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？
19．（10分）（2017秋•休宁县期中）AD是角平分线，E是AB上一点AE=AC，EF∥BC交AC于F．求证：CE平分∠DEF．
20．（10分）（2017春•东平县期末）如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD，
（1）△AEC≌△BDE吗，请说明理由；
（2）试猜想线段CE与DE大小与位置关系，说明理由．
21．（12分）（2017秋•休宁县期中）（1）如图，D是等边三角形△ABC边BA上任意一点（D与A、B不重合），连接DC，以DC为边在BC边上方作等边三角形△DCE，连接AE，∠ABC与∠EAC有怎样数量关系直接写出结论 ．
（2）如图2，D是等边三角形△ABC边BA延长线上一点，连接DC，以DC为边在BC边上方作等边三角形△DCE，连接AE，求证：∠ABC=∠EAC．
22．（12分）（2015秋•道真县校级期末）在△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=
（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：
（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
23．（14分）（2017秋•休宁县期中）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；
（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

2017-2018学年安徽省黄山市休宁县六校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）（2017春•常州期末）剪纸艺术是中华文化的瑰宝，下列剪纸图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意，故此选项正确；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．（4分）（2008•福州）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A．13cmB．6cmC．5cmD．4cm
【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，
即9﹣4=5，9+4=13．
∴第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13，
故只有B选项符合条件．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．

3．（4分）（2017秋•休宁县期中）如图，△ABC≌△ADE，∠B=70°，∠C=26°，∠DAC=30°，则∠EAC=（ ）
A．27°B．54°C．30°D．55°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据全等得出∠DAE=∠BAC=54°，即可得出答案．
【解答】解：∵∠B=70°，∠C=26°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=84°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=84°，
∵∠DAC=30°，
∴∠EAC=84°﹣30°=54°，
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．

4．（4分）（2017秋•休宁县期中）到三角形的三边距离相等的点是（ ）
A．三角形三条高的交点
B．三角形三条内角平分线的交点
C．三角形三条中线的交点
D．无法确定
【分析】首先确定到两边距离相等的点的位置，再确定到另外两边的位置，根据到角的两边的距离相等的点在它的平分线上，O为△ABC三个角平分线的交点．
【解答】解：∵OD=OE，
∴OC为∠ACB的平分线．
同理，OA为∠CAB的平分线，OB为∠ABC的平分线．
所以，到三角形三边距离相等的点是三角形三个角平分线的交点，
故选：B．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质；分别思考找出满足条件的交点是正确解答本题的关键．

5．（4分）（2017秋•休宁县期中）平面直角坐标系中，点A（m，﹣2）、B（1，n﹣m）关于x轴对称，则m、n的值为（ ）
A．m=1，n=1B．m=﹣1，n=1C．m=1，n=3D．m=1，n=﹣3
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程求解即可．
【解答】解：∵点A（m，﹣2）、B（1，n﹣m）关于x轴对称，
∴m=1，n﹣m=2，
解得m=1，n=3．
故选C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

6．（4分）（2010春•萧山区校级期末）如图，点D、E分别在AC、AB上，已知AB=AC，添加下列条件，不能说明△ABD≌△ACE的是（ ）
A．∠B=∠CB．AD=AEC．∠BDC=∠CEBD．BD=CE
【分析】要使△ABD≌△ACE，则需对应边相等，夹角相等，可用两边夹一角，也可用两角夹一边判定全等．
【解答】解：已知条件中AB=AC，∠A为公共角，
A中∠B=∠C，满足两角夹一边，可判定其全等，A正确；
B中AD=AE两边夹一角，也能判定全等，B也正确；
C中∠BDC=∠CEB，即∠ADB=∠AEC，又∠A为公共角，∴∠B=∠C，所以可得三角形全等，C对；
D中两边及一角，但角并不是夹角，不能判定其全等，D错．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，是正确解题的前提；做题时要按判定全等的方法逐个验证．

7．（4分）（2017秋•临沂期中）多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（ ）
A．7条B．8条C．9条D．10条
【分析】多边形的每一个内角都等于150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条，即可求得对角线的条数．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，
∴每个外角是30°，
∴多边形边数是360°÷30°=12，
则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12﹣3=9条．
故选C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．多边形从一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条．

8．（4分）（2017秋•休宁县期中）在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，D是外角与内角平分线交点，E是外角平分线交点，若∠BOC=120°，则∠D=（ ）度．
A．15°B．20°C．25°D．30°
【分析】根据角平分线的定义有∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，根据三角形内角和定理得2∠2+2∠1+∠A=180°，即有∠2+∠1=90°﹣∠A，再根据三角形内角和定理得到∠2+∠1+∠BOC=180°，于是有∠BOC=90°+∠A，即可得到∠BOC的度数，三角形外角的性质有∠FCD=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，则2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，即可得到∠D=∠A，于是得到∠D．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠2+2∠1+∠A=180°，
∴∠2+∠1=90°﹣∠A，
又∵∠2+∠1+∠BOC=180°，
∴90°﹣∠A+∠BOC=180°，
∴∠BOC=90°+∠A=120°，
而∠A=60°，
∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，
∴2∠D=∠A，即∠D=∠A．
∵∠A=60°，
∴∠D=30°．
故选D．
【点评】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理的应用，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．

9．（4分）（2017秋•休宁县期中）如图，在3×3网格中，已知点A，B是网格顶点（也称格点），若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据等腰三角形的判定可得答案．
【解答】解：如图所示，满足条件的点C的个数有5个，
故选C．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解．

10．（4分）（2017秋•休宁县期中）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个三角形的顶角为（ ）
A．30°或150°B．75°或15°C．75°D．30°
【分析】本题要分两种情况解答：当BD在三角形内部以及当BD在三角形外部．再根据等腰三角形的性质进行解答．
【解答】解：本题分两种情况讨论：
（1）如图1，当BD在三角形内部时，
∵BD=AB，∠ADB=90°，
∴∠A=30°；
（2）当如图2，BD在三角形外部时，
∵BD=AB，∠ADB=90°，
∴∠DAB=30°，∠ABC=180°﹣∠DAB=30°=150°．
故选A．
【点评】此题考查的是等腰三角形及直角三角形的性质，在解答此题时要注意分两种情况讨论，不要漏解．

二、填空题（每小题5分，共20分）
11．（5分）（2013春•洛江区期末）等边三角形有 3 条对称轴．
【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．
【解答】解：等边三角形有3条对称轴．
故答案为：3．
【点评】正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，本题是一个基础题．

12．（5分）（2017秋•休宁县期中）如图，若AB=DE， AC=DF ，BE=CF，则根据“SSS”可得△ABC≌△DEF．
【分析】由BE=CF可得到BC=EF，结合条件可再加一组边相等即可证明三角形全等．
【解答】解：可添加AC=DF，利用SSS来证明三角形全等，
理由如下：∵BE=CF，
∴BC=EF，且AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
故答案是：AC=DF．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．

13．（5分）（2017秋•休宁县期中）如果将长度为a﹣2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是 a＞5 ．
【分析】先判断三边的大小，再根据三角形的三边关系：较小两边之和大于第三边，列不等式求解．
【解答】解：因为﹣2＜2＜5，
所以a﹣2＜a+2＜a+5，
所以由三角形三边关系可得a﹣2+a+2＞a+5，
解得：a＞5．
则不等式的解集是：a＞5．
故答案为：a＞5．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，此题关键一要注意三角形的三边关系，二要熟练解不等式．

14．（5分）（2017秋•休宁县期中）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于E、F，若∠EPF=α，则∠AOB= 90°﹣α ．
【分析】连接OP、OM、ON，根据轴对称的性质可得OP=PM=ON，∠OPE=∠OME，∠OPF=∠ONF，∠POE=∠MOE，∠POF=∠NOF，然后求出∠OME+∠ONF=∠EPF=α，再根据三角形的内角和等于180°求出∠MON，然后求解即可．
【解答】解：如图，连接OP、OM、ON，
∵点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
∴OP=PM=ON，∠OPE=∠OME，∠OPF=∠ONF，∠POE=∠MOE，∠POF=∠NOF，
∴∠OME+∠ONF=∠OPE+∠OPF=∠EPF=α，
在△OMN中，∠MON=180°﹣（∠OME+∠ONF）=180°﹣α，
∵∠MON=∠MOE+∠POE+∠POF+∠NOF=2（∠POE+∠POF）=2∠AOB，
∴∠AOB=∠MON=（180°﹣α）=90°﹣α．
故答案为：90°﹣α．
【点评】本题考查了轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

三、解答题
15．（8分）（2017秋•休宁县期中）如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DE⊥AB于点D，若∠B为锐角，BC∥DF，求∠B的度数．
【分析】先根据平角的定义得出∠ADF的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵DE⊥AB，∠EDF=30°，
∴∠ADF=180°﹣90°﹣30°=60°．
∵BC∥DF，
∴∠B=∠ADF=60°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

16．（8分）（2017秋•休宁县期中）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，求证：BE=CD．
【分析】首先利用等式的性质证明∠BAE=∠DAC，然后再利用SAS判定△BAE≌△CAD，再根据全等三角形的性质可得BE=CD．
【解答】证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△CAD中，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

17．（8分）（2017秋•休宁县期中）在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC=8，求△ABC的周长．
【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，说明DB=DM，EM=EC．把求△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．
【解答】解：∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵DE∥BC，
∴∠CBM=∠DMB，
∴∠ABM=∠DMB，
∴DB=DM．
同理可证EM=CE
∴AB+AC=AD+DB+AE+EC
=AD+DM+ME+AE
=AD+DE+AE
∵△ADE的周长为20
∴AB+AC=20
∴△ABC的周长=AB+AC+BC
=20+8=28．
答：△ABC的周长为28．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定．本题的关键是利用平行线和角平分线的性质将△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．

18．（8分）（2013•郴州）在图示的方格纸中
（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质结合图形解答．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置以及变化情况是解题的关键．

19．（10分）（2017秋•休宁县期中）AD是角平分线，E是AB上一点AE=AC，EF∥BC交AC于F．求证：CE平分∠DEF．
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后利用“边角边”证明△ADC和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DE，根据等边对等角可得∠CED=∠ECD，
【解答】解：∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ADC和△ADE中，
，
∴△ADC≌△ADE（SAS），故①正确；
∴CD=DE，
∴∠CED=∠ECD，
∵EF∥BC，
∴∠ECD=∠CEF，
∴∠CED=∠CEF，
∴CE平分∠DEF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

20．（10分）（2017春•东平县期末）如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD，
（1）△AEC≌△BDE吗，请说明理由；
（2）试猜想线段CE与DE大小与位置关系，说明理由．
【分析】（1）两三角形全等，根据题意利用SAS即可得证；
（2）CE与DE垂直，理由为：由（1）的三角形全等，得到对应角相等，利用同角的余角相等即可得证．
【解答】解：（1）△AEC≌△BDE，理由为：
∵AC⊥AB，DB⊥AB，
∴∠CAE=∠DBE=90°
在△AEC和△BDE中，
，
∴△AEC≌△BDE；
（2）CE=DE，CE⊥DE，理由为：
由（1）可知，△AEC≌△BDE，
∴CE=DE，∠C=∠DEB，
在Rt△AEC中，∠C+∠CEA=90°，
∴∠DEB+∠CEA=90°，
∴∠CED=90°，
则CE⊥DE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

21．（12分）（2017秋•休宁县期中）（1）如图，D是等边三角形△ABC边BA上任意一点（D与A、B不重合），连接DC，以DC为边在BC边上方作等边三角形△DCE，连接AE，∠ABC与∠EAC有怎样数量关系直接写出结论 ∠ABC=∠EAC ．
（2）如图2，D是等边三角形△ABC边BA延长线上一点，连接DC，以DC为边在BC边上方作等边三角形△DCE，连接AE，求证：∠ABC=∠EAC．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，继而得出结论；
（2）同①的方法判断出△BCD≌△ACE即可；
【解答】（1）证明：△ABC、△CDE是等边三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∵在△BCD和△ACE中，
，
△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC=∠EAC；
故答案为：∠ABC=∠EAC；
（2）解：结论∠ABC=∠EAC仍成立；
理由如下：∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC=∠EAC；
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论．

22．（12分）（2015秋•道真县校级期末）在△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC= 15°
（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC= 20°
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示： ∠EDC=∠BAD
（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE=30°，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=75°，所以∠DEC=15°．
（2）同理，易证∠ADE=70°，所以∠DEC=20°．
（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）．
（4）由于AD=AE，所以∠ADE=∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B=2∠EDC+∠C，而B=∠C，所以∠BAD=2∠EDC．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠EDC=15°．
（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=40°，
∴∠BAD=∠CAD=40°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠EDC=20°．
（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）
（4）仍成立，理由如下
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC
=2∠EDC+∠C
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C
∴∠BAD=2∠EDC．
故分别填15°，20°，∠EDC=∠BAD
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一这一性质，即等腰三角形底边上中线、高线以及顶角的平分线三线合一．得到角之间的关系是正确解答本题的关键．

23．（14分）（2017秋•休宁县期中）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；
（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
【分析】（1）先判断出∠QPC是直角，再利用含30°的直角三角形的性质得出QC=2PC，建立方程求解决即可；
（2）先作出PF∥BC得出∠PFA=∠FPA=∠A=60°，进而判断出△DQB≌△DPF得出DQ=DP即可得出结论；
（3）利用等边三角形的性质得出EF=AF，借助DF=DB，即可得出DF=BF，最后用等量代换即可．
【解答】（1）解：设AP=x，则BQ=x，
∵∠BQD=30°，∠C=60°，
∴∠QPC=90°，
∴QC=2PC，即x+6=2（6﹣x），
解得x=2，
即AP=2．
（2）证明：如图，
过P点作PF∥BC，交AB于F，
∵PF∥BC，
∴∠PFA=∠FPA=∠A=60°，
∴PF=AP=AF，
∴PF=BQ，
又∵∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP，
∴△DQB≌△DPF，
∴DQ=DP即D为PQ中点，
（3）运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3，
理由：∵PF=AP=AF，PE⊥AF，
∴，
又∵△DQB≌△DPF，
∴，
∴．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了含30°的直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△DQB≌△DPF是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点，是一道比较简单的中考常考题．