【奥数】五年级下册数学奥数课件-第2讲《圆与扇形进阶》 全国通用

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知识精讲自然界中，圆与方是最基本的两种图形，古人认为“天圆地方”，宇宙就像一个圆形的大锅盖在一个方形的棋盘上；中国古代的建筑也会经常采用圆形和正方形的图案而在面积计算中，圆与正方形也有很大的关系；关于正方形和圆，有以下的面积关系：由此我们可以进一步推断：圆外切正方形面积是内接正方形面积的________倍；正方形外接圆面积是内切圆面积的________倍. 圆中方 方中圆 圆的外切、内接正方形 正方形的外接、内切圆
方中圆 正方形面积：内切圆面积=4：π圆中方 圆面积：内接正方形面积=π：2
例题1：（1）右图中正方形的面积是8，那么圆的面积是多少？（π取3.14）（2）右图中正方形的面积是16，那么圆的面积是多少？（π取3.14）分析：利用圆中方和方中圆的比例关系轻松求解.答案：6.28；25.12
练习1：如图，正方形的边长是2，求大圆和小圆的面积.（π取3.14）答案：6.28；3.14
例题2：计算下面各图中阴影部分的面积，并比较大小.（π取3.14）分析：利用方中圆的比例关系轻松求解.答案：面积都是12.56
练习2：如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）答案：2.58
在上一讲中，我们主要使用割补的方法来计算不规则图形的面积；而对于一些比较特殊的形状，我么可以把它看成是一些基本图形的重叠部分，利用容斥原理计算出它的面积.
我知道有弓形，弯角形，柳叶形……
例题3：如图，求下面各图中阴影部分的面积.（π取3.14）分析：阴影部分可以看成是哪些图形的重叠部分？答案：2.28；2.28
练习3：已知下图中正方形的面积是16，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）答案：9.12
在生活当中，有很多旋转的物体，比如车轮、方向盘等，这些物体在运动的过程中，扫过图形都是曲线形，这些曲线形的周长和面积应该怎么计算呢?
可不可以把旋转的轨迹画出来，再计算呢？
例题4：图中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米，当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？(π取3.14)分析：要求扫过的面积，关键在于弄清楚扫过的区域；而要弄清楚扫过的区域，关键在于弄清楚区域的边界；你能通过合理动态想象, 画出边界来吗?答案：44.56平方厘米
练习4：如图，正方形的边长是2厘米，圆形的半径是1厘米，当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？(π取3.14) 答案：28.56平方厘米
例题5：如图，求阴影部分的面积.(π取3.14) 分析：阴影部分可以看成是四个扇形的重叠部分，但是扇形的半径图中并没有给出，那么应该怎么计算扇形的面积呢? 答案：2.28
例题6： （1）如图1，一只小狗被拴在一个边长为4米的正方形的建筑物的顶点A处，四周都是空地；绳长8米，小狗的活动范围是多少平方米?（2）如图2，小狗不是被拴在A处，而是在一边的中点B处，那么小狗的活动范围是多少平方米? (建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3.14) 分析：如果没有建筑物的阻挡，小狗的活动范围应该是一个圆，有建筑物的话，活动范围会受到什么样的影响呢?答案：175.84平方厘米；163.28平方厘米
图1 图2
作业1：如图，图中小圆的面积是3.14，大圆的面积是多少？(π取3.14)答案：6.28
作业2：如图，正方形的面积是8，阴影部分的面积是多少？(π取3.14)答案：4.56
作业3：如图，一头山羊被拴在一个边长为4米的等边三角形的建筑物的一个顶点处，四周都很空旷，绳长刚好够山羊走到三角形建筑物外的任一位置，问山羊的活动范围有多少平方米？(建筑外墙不可逾越，山羊身长忽略不计，π取3)答案：98平方米
作业4：如图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积是多少？(π取3.14)答案：23.55平方厘米
A D H
F B C
作业5：如图，长方形的长为6厘米，宽为2厘米，圆形的半径是1厘米，当圆形绕长方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？(π取3.14)答案：44.56平方厘米