江苏省百校联考2022-2023学年高三上学期第一次考试数学试题（含答案）

江苏省百校联考高三年级第一次考试

数学试卷

09.02

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 设向量，是互相垂直的单位向量，则与向量垂直的一个单位向量是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长.如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是5000斯塔蒂亚，按埃及的长度算，1斯塔蒂亚等于157.5米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（    ）

A. 38680千米 B. 39375千米 C. 41200千米 D. 42192千米

5. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）

A. －4 B. 4 C. 5 D. 8

6. 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D.

7. 若将整个样本空间想象成一个的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（    ）

A. 事件发生的概率  B. 事件发生的概率

C. 事件不发生条件下事件发生的概率 D. 事件，同时发生的概率

8. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列说法正确的有（    ）

A. 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8

B. 已知一组数据，，，…，的方差为2，则，，，…，的方差为2

C. 具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则

D. 若随机变量服从正态分布，，则

10. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（    ）

A. 的图象关于点对称

B. 将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称

C. 在上的值域为

D. 在上单调递增

11. 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ）

A. 异面直线与所成角的余弦值为

B.

C. 四面体的外接球体积为

D. 平面截正方体所得的截面是四边形

12. 已知是数列的前项和，，则（    ）

A.

B.

C. 当时，

D. 当数列单调递增时，的取值范围是

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 展开式中的系数为_________.

14. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，则_________.

15. 已知函数，.若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是_________.

16. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平而的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线与双曲线及其渐近线围成的平面图形如图所示.若将图形被直线所截得的两条线段绕轴旋转一周，则形成的旋转面的面积_________；若将图形绕轴旋转一周，则形成的旋转体的体积_________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）

从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.

已知数列满足，_________.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.

18.（12分）

在中，内角，，的对边分别为，，，且，.

（1）若的周长为，求，的值；

（2）若的面积为，求的值.

19.（12分）

近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）

（1）根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？

（2）用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为，求的分布列、数学期望和方差.

附：，.

20.（12分）

在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点.

（1）证明：平面.

（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

21.（12分）

设为椭圆：的右焦点，过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点.

（1）当时，求；

（2）在轴上是否存在异于的定点，使为定值（其中，分别为直线，的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（12分）

已知函数，.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若，求实数的取值范围.

江苏省百校联考高三年级第一次考试

数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.【答案】A

【解析】，，选A.

2.【答案】D

【解析】位于第四象限，选D.

3.【答案】C

【解析】，是相互垂直的单位向量，由是与垂直的单位向量，选C.

4.【答案】B

【解析】设地球半径为，则，

∴，选B.

5.【答案】C

【解析】的解集为，

则，且，是方程的两根，，∴，

，，∴，选C.

6.【答案】A

【解析】设准线与轴交于点，则，，∴，∴，∴，选A.

7.【答案】B

【解析】图中阴影既有发生的情况，又有不发生的情况，排除ACD，选B.

8.【答案】D

【解析】且，，∴最大构造，，

∴，∴在上，∴，即，∴，选D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.【答案】BD

【解析】5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，A错.

，，…，方差为2，则，，…，方差为2，B正确.

，则，C错，选BD.

10.【答案】ABD

【解析】相邻两对称轴间距离为，则，∴，

∴，，，关于对称，A对.

关于轴对称，B对.

，则，则，，

∴，C错误.

，∴，的一个单调增区间为，而，∴在，D对.

11.【答案】BC

【解析】建系，，，，

，A错.

，，，∴，B正确；

外接球半径，，∴，C正确；

截面为五边形，D错误.

12.【答案】ACD

【解析】方法一：，①

时，，②

①－②，，A正确；

时，，即；时，，∴，时，不满足条件，B错误；

时，为奇数时是首项为0，公差为2的等差数列，共25项；为偶数时是首项为1，

公差为2的等差数列，共25项，所以，

C正确；

是单调递增数列，∴，即，即；

，即，即；

，即，即，即，

，即依次类推可知，D正确.

方法二：，①

当时，，②，∴时①－②，

即，A正确；

，∴，由于未知，B错误.

，，∴

，C正确；

对于D，∵，分别递增，要使，只需，

而，，，

∴，D正确；选ACD.

对于D，法三：由，

，

要使，则必有且，

∴且，D正确，选ACD.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.【答案】26

【解析】展开式第项，，，，，∴展开式中系数26.

14.【答案】

15.【答案】

【解析】直线过定点，过四个象限与在正负半轴都有两个交点，过作的切线，切点设为，，，切线过，时，时，斜率为1.

∴与轴交于，，∴.

16.【答案】；

【解析】如图所示，双曲线，，，，.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.【解析】

（1）选①，由及，可知，所以，

当时，有

.

当时，，故.

选②，由，得，所以为等差数列，

由，，得该数列的公差，

所以.

（2），∴，

∴.

18.【解析】

（1）因为，，所以①

在中，由余弦定理得，即②

由①②得③.

由①③得.

（2）由，得，

由正弦定理，得，，

所以，即.

19.【解析】

（1），

∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.

（2）某个考生首选志愿为师范专业的概率，

的所有可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

∴的分布列如下：

∴，.

或由的二项分布知，.

20.【解析】

（1）取中点，连接，，∵为的中点，

∴，又∵，∴，∴四边形为平行四边形，

∴，∵平面，平面，∴平面.

（2）∵平面平面，平面平面，

平面，，∴平面，取中点，连接，

∴，平面，∴，，

∴，∴，，

如图建系，∴，，，

∴，，设平面的一个法向量，

∴，

平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角为，

∴.

21.【解析】

解析一：（1）设直线的方程为，，，

，

，，

∴，

∴，

或设，，∴，即.

（2）假设存在符合题意，则易知当轴时，，

此时，这个定值一定为－1.

当时，，

∴，

∴存在符合题意.

解析二：（1）设，.

由，得，即，

因为，在椭圆上，所以，解得，

所以.

（2）假设在轴上存在异于点的定点，使得为定值.

设直线的方程为，

联立直线与椭圆的方程，得，

由韦达定理，得，，所以.

所以.

要使为定值，则，解得或（舍去），此时.

故在轴上存在异于的定点，使得为定值.

22.【解析】

解析一：（1）时，，，，

切点，切线方程为.

（2）法一：，

，，

∴，∴.

法二：必要性探路（端点效应）由，，，

，，

若，即时，则存在，使得当时，，

此时在上，

∴，这与矛盾，舍去.

若，即时，，在上

∴，∴在上，∴符合题意，

综上：.

法三：由，

得，.

构造函数，，则恒成立.

构造函数，，

则，所以在上单调递增，

得，即当时，恒成立，

所以，为单调递增函数，

所以，，故.

法四：由题意得，，

令，，则.

①当时，，所以在上单调递增，得

，即，

所以在上单调递增，得.故当时，.

②当时，在上单调递增.

因为，当时，，

，

所以存在唯一，使得.

当时，，即在上单调递减，又，

所以，即，所以在上单调递减，

又，所以当时，，不符合题意.

故的取值范围为.