2021学年第2章 一元二次方程综合与测试课后作业题

第2章达标检测卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列方程是一元二次方程的是(　　)

A．9x＋2＝0     B．z2＋x＝1 

C．3x2－8＝0     D.＋x2＝0

2．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后为(　　)

A．(x－4)2＝17        B．(x＋4)2＝15

C．(x＋4)2＝17        D．(x－4)2＝15

3．将方程x(x－1)＝4(x＋1)化为一般形式后，二次项系数、一次项系数与常数项之和为(　　)

A．0    B．10    C．4    D．－8

4．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是(　　)

A．3    B．1     C．－1    D．－3

5．下列一元二次方程中，没有实数根的是(　　)

A．x2－2x＝0      B．x2＋4x－1＝0 

C．2x2－4x＋3＝0        D．3x2＝5x－2

6．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为(　　)

A．9人     B．10人   C．11人    D．12人

7．关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为(　　)

A．2    B．0    C．1    D．2或0

8．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是(　　)

A．11          B．11或13 

C．13          D．以上选项都不正确

9．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过的象限是(　　)

A．第四象限  B．第三象限   C．第二象限  D．第一象限

10．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于(　　)

A．0.5 cm    B．1 cm      C．1.5 cm    D．2 cm

二、填空题(每题3分，共24分)

11．若方程(a－2)x|a|＋3ax＋1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值是________．

12．a是方程2x2＝x＋4的一个根，则代数式4a2－2a的值是________．

13．某市加大了对雾霾的治理力度，2020年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率．设这两个季度投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为________________________．

14．关于x的两个方程x2－4x＋3＝0与＝有一个解相同，则a＝________.

15．已知a，b是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则代数式(a－b)(a＋b－2)＋ab＝________．

16．如图，一个矩形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5 cm，容积是500 cm3的无盖长方体容器，那么这块铁皮的长为__________，宽为__________．(铁皮厚度忽略不计)

17．对于实数a，b，定义运算“⊗”：a⊗b＝例如：4⊗2，因为4＞2，所以4⊗2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1⊗x2＝________．

18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s(0<t<8)，则t＝________时，S1＝2S2.

三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)

19．用适当的方法解下列方程．

(1)x2－4x－1＝0;                   (2)x2－1＝2(x＋1)；

(3)x2＋3x＋1＝0;                     (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.

20.已知关于x的方程4x2－(k＋2)x＋k－1＝0有两个相等的实数根．

(1)求k的值；

(2)求此时方程的根．

21．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)．

(1)试证明：无论p取何值，此方程总有两个实数根．

(2)若原方程的两根x1，x2满足x21＋x22－x1x2＝3p2＋1，求p的值．

22．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．

(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；

(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？

23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．

(1)几秒后，△PBQ的面积为8 cm2?

(2)出发几秒后，线段PQ的长为4 cm?

(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由．

24．某中学九年级准备组织学生去梦幻王国进行春游活动．梦幻王国给出了学生团体门票的优惠价格：如果学生人数不超过30名，那么门票为每张240元；如果人数超过了30名，则每超过1名，每张门票就降低2元，但每张门票最低不能少于200元．

(1)若一班共有40名学生参加了春游活动，则需要交门票费多少元？

(2)若二班共有52名学生参加了春游活动，则需要交门票费多少元？

(3)若三班交了门票费9 450元，请问该班参加春游的学生有多少名？

参考答案

一、1.C　2.A　3.D　

4．B　【点拨】∵α，β是方程x2＋x－2＝0的两个实数根，

∴α＋β＝－1，αβ＝－2.

∴α＋β－αβ＝－1＋2＝1.

5．C　

6．C　【点拨】设参加酒会的人数为x人，根据题意得x(x－1)＝55，

整理，得x2－x－110＝0，

解得x1＝11，x2＝－10(不合题意，舍去)．所以参加酒会的人数为11人．

7．B　8.C　9.D

10．B　【点拨】设AC交A′B′于H.

∵∠DAC＝45°，∠AA′H＝90°，

∴△AA′H是等腰直角三角形．

设AA′＝x cm，则A′H＝x cm，

A′D＝(2－x)cm.

∴x(2－x)＝1，解得x1＝x2＝1，

即AA′＝1 cm.故选B.

二、11.－2　12.8　

13．100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260

【点拨】根据题意知，第二季度投入资金100(1＋x)万元，第三季度投入资金100(1＋x)2万元．

∴100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260.

14．1　【点拨】由方程x2－4x＋3＝0，得

(x－1)(x－3)＝0，

∴x－1＝0或x－3＝0.

解得x1＝1，x2＝3.

当x＝1时，分式方程＝无意义；

当x＝3时，＝，

解得a＝1.

经检验，a＝1是方程＝的解．

15．－1

16．30 cm；15 cm

17．3或－3　【点拨】x2－5x＋6＝0的两个根为x＝2或x＝3，

∴x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2.

当x1＝2，x2＝3时，x1⊗x2＝2×3－32＝－3；

当x1＝3，x2＝2时，x1⊗x2＝32－2×3＝3.

18．6　【点拨】∵在Rt△ABC中，

∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，

AD为BC边上的高，

∴AD＝BD＝CD＝8 cm.

又∵AP＝t cm，

∴S1＝AP·BD＝×t×8＝8t(cm2)，PD＝(8－t)cm.

易知PE＝AP＝t cm，

∴S2＝PD·PE＝(8－t)·t cm2.

∵S1＝2S2，

∴8t＝2(8－t)·t.

解得t1＝0(舍去)，t2＝6.

三、19.解：(1)(配方法)

移项，得x2－4x＝1，

配方，得x2－4x＋(－2)2＝1＋(－2)2，

因此(x－2)2＝5，

所以x－2＝或x－2＝－，

解得x1＝＋2，x2＝2－.

(2)(因式分解法)移项，得x2－1－2(x＋1)＝0，因式分解，得(x＋1)(x－1－2)＝0，

解得x1＝－1，x2＝3.

(3)(公式法 )a＝1，b＝3，c＝1，所以b2－4ac＝32－4×1×1＝5>0，所以x＝，

所以x1＝，x2＝.

(4)(因式分解法)原方程可变形为y2－2y＝0，y(y－2)＝0，

所以y1＝0，y2＝2.

20．解：(1)由题意得Δ＝[－(k＋2)]2－4×4×(k－1)＝k2＋4k＋4－16k＋16＝k2－12k＋20＝0，

解得k＝2或k＝10.

(2)当k＝2时，

原方程为4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝0，即x1＝x2＝；

当k＝10时，原方程为4x2－12x＋9＝0，(2x－3)2＝0，

即x1＝x2＝.

21．(1)证明：原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0.

∵Δ＝(－5)2－4(6－p2－p)＝25－24＋4p2＋4p＝4p2＋4p＋1＝(2p＋1)2≥0，

∴无论p取何值，此方程总有两个实数根．

(2)解：∵原方程的两根为x1, x2，

∴x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2－p.

∵x21＋x22－x1x2＝3p2＋1，

∴(x1＋x2)2－3x1x2＝3p2＋1，

∴52－3(6－p2－p)＝3p2＋1，

∴25－18＋3p2＋3p＝3p2＋1，

∴3p＝－6，

∴p＝－2.

22．解：(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，

由题意得

解得

∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝－10x＋1 000.

(2)根据题意可知每台设备的利润为(x－30)万元，年销售量为(－10x＋1 000)台．

则(x－30)(－10x＋1 000)＝10 000，

整理，得x2－130x＋4 000＝0，

解得x1＝50，x2＝80.

∵此设备的销售单价不得高于70万元，

∴x＝50.

答：该设备的销售单价应是50万元．

23．解：(1)设t s后，△PBQ的面积为8 cm2，则PB＝(6－t)cm，BQ＝2t cm，

∵∠B＝90°，

∴(6－t)×2t＝8，

解得t1＝2，t2＝4，

∴2 s或4 s后，△PBQ的面积为8 cm2.

(2)设出发x s后，PQ＝4 cm，由题意，得(6－x)2＋(2x)2＝(4)2，解得x1＝，x2＝2，故出发 s或2 s后，线段PQ的长为4 cm.

(3)不能．理由：设经过y s，△PBQ的面积等于10 cm2，则×(6－y)×2y＝10，即y2－6y＋10＝0，

∵Δ＝b2－4ac＝36－4×10＝－4＜0，

∴方程y2－6y＋10＝0无实数解．

∴△PBQ的面积不能等于10 cm2.

24．解：(1)240－(40－30)×2＝220(元)，

220×40＝8 800(元)．

答：若一班共有40名学生参加了春游活动，则需要交门票费8 800元．

(2)240－(52－30)×2＝196(元)，

∵196＜200，

∴每张门票200元．

200×52＝10 400(元)．

答：若二班共有52名学生参加了春游活动，则需要交门票费10 400元．

(3)∵9 450不是200的整数倍，且240×30＝7 200(元)＜9 450元，

∴每张门票的价格高于200元且低于240元．

设三班参加春游的学生有x名，则每张门票的价格为[240－2(x－30)]元，

根据题意，得[240－2(x－30)]x＝9 450，

整理，得x2－150x＋4 725＝0，

解得x1＝45，x2＝105，

∵240－2(x－30)＞200，

∴x＜50.

∴x＝45.

答：若三班交了门票费9 450元，则该班参加春游的学生有45名．