专题2.3圆的对称性：垂径定理-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典【苏科版】

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2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题2.3圆的对称性：垂径定理
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•东台市期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可．
【解析】连接OA，则OA＝10cm，

∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm，
∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD=OA2−AD2=102−82=6（cm），
∵OC＝10cm，
∴CD＝OC﹣OD＝4cm，
故选：C．
2．（2020秋•乐亭县期末）如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点，则线段OP长的最小值是（　　）

A．10 B．16 C．6 D．8
【分析】过点O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理的求得AC＝8，由勾股定理求出OC＝6，由垂线段最短得：当P与C重合时，OP最短为6即可．
【解析】过点O作OC⊥AB于C，连接OA，
∴AC=12AB=12×16＝8，
∵⊙O的半径r＝10，
∴OA＝10，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OC=OA2−AC2=102−82=6，
由垂线段最短得：当P与C重合时，OP最短＝OC＝6，
故选：C．

3．（2020秋•丹阳市期末）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】已知AB和OC的长，根据垂径定理可得，AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可以求出OA．
【解析】∵OC⊥AB于C，
∴AC＝CB，
∵AB＝8，
∴AC＝CB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝3，
根据勾股定理，
OA=32+42=5．
故选：B．
4．（2020秋•沙依巴克区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（　　）

A．10 B．8 C．5 D．3
【分析】连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．
【解析】连接OC，
∵CD⊥AB，CD＝8，
∴PC=12CD=12×8＝4，
在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，
∵PC＝4，OP＝AP﹣OA＝8﹣x，
∴OC2＝PC2+OP2，
即x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴⊙O的直径为10．
故选：A．

5．（2021•武进区模拟）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解析】根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，
连接OA，
根据垂径定理，得：BM=12AB＝3，
根据勾股定理，得：OA=32+42=5，
即⊙O的半径为5．
故选：D．
6．（2019秋•东莞市校级期末）如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据垂径定理可知AC的长，再根据勾股定理即可求出OC的长．
【解析】连接OA，如图：
∵AB＝16cm，OC⊥AB，
∴AC=12AB＝8cm，
在Rt△OAC中，OC=OA2−AC2=102−82=6（cm），
故选：D．

7．（2020•泰兴市模拟）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（　　）

A．5 B．4 C．92 D．25
【分析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，可得AD＝AB＝5，根据垂径定理可得DE＝BE，得CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，再根据勾股定理即可求得DE的长，进而可得CD的长．
【解析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，
∴AD＝AB＝5，

根据垂径定理，得
DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，
根据勾股定理，得
AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，
解得DE=134，
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2=92．
故选：C．
8．（2019秋•玄武区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB的长为（　　）

A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm
【分析】如图，连接OC．设OA＝OB＝OC＝r．在Rt△OCM中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解析】如图，连接OC．设OA＝OB＝OC＝r．

∵AB⊥CD，
∴CM＝MD=12CD＝4cm，
在Rt△OCM中，∵OC2＝CM2+OM2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴AB＝2OA＝10，
故选：B．
9．（2021•海安市模拟）如图是某个球放进盒子内的截面图，球的一部分露出盒子外，已知⊙O交矩形ABCD的边AD于点E，F，已知AB＝EF＝2，则球的半径长为（　　）

A．32 B．43 C．54 D．65
【分析】由题意得⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧EF于点H、I，连接OF，易求得FH的长，设⊙O的半径为r，则OH＝2﹣r，然后在Rt△OFH中，由勾股定理得r2﹣（2﹣r）2＝12，解此方程即可求得答案．
【解析】由题意得：⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧EF于点H、I，连接OF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵IG⊥BC，
∴IG⊥AD，
∴FH=12EF＝1，
设⊙O的半径为r，则OH＝2﹣r，
在Rt△OFH中，由勾股定理得：r2﹣（2﹣r）2＝12，
解得：r=54，
即球的半径长为54，
故选：C．

10．（2020秋•滨湖区期中）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为（　　）

A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸
【分析】设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，AD＝BD＝5，设圆形木材半径为r，可知OD＝r﹣1，OA＝r，根据OA2＝OD2+AD2列方程求解可得．
【解析】设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：
由题意知：CE过点O，且OC⊥AB，
则AD＝BD=12AB＝5，
设圆形木材半径为r，
则OD＝r﹣1，OA＝r，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
解得：r＝13，
即⊙O的半径为13寸，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•兴化市模拟）如图，⊙O的半径OA＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：BC＝3：2，则DE的长为　24　．

【分析】连接OD，利用勾股定理求出CD，再根据垂径定理可得结论．
【解析】连接OD．

∵OA＝OB＝15，OC：BC＝3：2，
∴BC＝6，OC＝9，
∵AB⊥DE，
∴CD＝CE=OD2−OC2=152−92=12，
∴DE＝2CD＝24，
故答案为：24．
12．（2021•启东市模拟）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝　221　cm．

【分析】连接OA，如图，先计算出OC＝OA＝5，OE＝2，再根据垂径定理得到AE＝BE，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到AB的长．
【解析】连接OA，如图，
∵CE＝3cm，DE＝7cm，
∴CD＝10cm，
∴OC＝OA＝5cm，OE＝2cm，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE，
在Rt△AOE中，AE=52−22=21（cm），
∴AB＝2AE＝221（cm）．
故答案为221．

13．（2021•泗洪县一模）如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为　45　．

【分析】先根据⊙O的直径AB＝12求出OB的长，再根据BP：AP＝1：5得出BP的长，进而得出OP的长，连接OC，根据勾股定理求出PC的长，再根据垂径定理即可得出结论．
【解析】∵⊙O的直径AB＝12，
∴OB=12AB＝6，
∵BP：AP＝1：5，
∴BP=16AB=16×12＝2，
∴OP＝OB﹣BP＝6﹣2＝4，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2PC，∠OPC＝90°，
∴PC=OC2−OP2=62−42=25，
∴CD＝2PC＝45．
故答案为：45．

14．（2021•泸县模拟）如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是　3≤OP≤5　．

【分析】因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM＝3，即OP的最小值为3，所以3≤OP≤5．
【解析】如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM＝BM，
∵AB＝8，
∴AM＝4，
在Rt△AOM中，OM=52−42=3，
OM的长即为OP的最小值，
∴3≤OP≤5．

15．（2020秋•海陵区校级期中）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝6，则AB＝　43　．

【分析】先求出半径，再由垂径定理得AE＝BE，然后由勾股定理求出BE，即可得出答案．
【解析】∵CE＝2，DE＝6，
∴CD＝DE+CE＝8，
∴OD＝OB＝OC＝4，
∴OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：BE=OB2−OE2=42−22=23，
∴AB＝2BE＝43，
故答案为：43．
16．（2021•鼓楼区校级模拟）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三时寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型．
如图2所示，在车轮上取A、B两点，设AB所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则r＝　75　cm．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．

【分析】由垂径定理得AD＝45cm，利用勾股定理得r2＝452+（r﹣15）2，解得r＝75，得直径为150cm，通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
【解析】∵OC⊥AB，AB＝90cm，
∴AD=12AB＝45（cm），
由题意得：OD＝（r﹣15）cm，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：r2＝452+（r﹣15）2，
解得：r＝75，
即车轮半径为75cm，
∴车轮直径为150cm，
通过单位换算车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：75．
17．（2020秋•高邮市期末）如图，把一只篮球放在高为16cm的长方体纸盒中，发现篮球的一部分露出盒，其截面如图所示．若量得EF＝24cm，则该篮球的半径为　12.5　cm．

【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝16﹣x，MF＝12，在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解析】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝16cm，
设OF＝xcm，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝16﹣x，MF＝12cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（16﹣x）2+122＝x2
解得：x＝12.5（cm），
故答案为：12.5．

18．（2020•常州模拟）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝　8　m．

【分析】连接OA，根据垂径定理可知AD＝BD=12AB，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可求出AD的长，进而可得出AB的长，此题得解．
【解析】连接OA，如图所示．
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD=12AB．
在Rt△ADO中，OA＝OC＝5m，OD＝CD﹣OC＝3m，∠ADO＝90°，
∴AD=OA2−OD2=52−32=4（m），
∴AB＝2AD＝8m．
故答案为：8．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•玄武区期中）如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB为24m，点O是AB所在圆的圆心，⊙O的半径为13m，求桥拱的高度．（弧的中点到弦的距离）

【分析】由垂径定理得AD＝BD=12×24＝12（m），设CD＝xm，则OD＝（13﹣x）m，在Rt△AOD中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】如图所示：过O作OD⊥AB交AB于C，垂足为D，

则AD＝BD=12×24＝12（m），
设CD＝xm，则OD＝（13﹣x）m，
根据勾股定理得：122+（13﹣x）2＝132，
解得：x＝8，
即桥拱的高度为8m．
20．（2020•安徽模拟）如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）

【分析】连接OC，求出OC和OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD即可．
【解析】如图，连接OC，AB交CD于E，
由题意知：AB＝1.6+6.4+4＝12，
所以OC＝OB＝6，
OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，
由题意可知：AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CD＝2CE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=OC2−OE2=62−22=42，
∴CD＝2CE＝82≈11.3m，
所以路面CD的宽度为11.3m．

21．（2020秋•亭湖区期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB＝1寸，CD＝10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出⊙O的直径．

【分析】连接OC，在Rt△COA中，解直角三角形即可解决问题；
【解析】连接OC，
∵OB⊥CD垂足为A，
∴CA=12CD＝5，
设CO＝x，则AO＝x﹣1，
在Rt△AOC中，∠CAO＝90°，
∴OA2+CA2＝OC2，
∴（x﹣1）2+52＝x2，
解得x＝13，
∴⊙O的直径为26寸．

22．（2021•兴平市一模）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB＝8，求CD的长．

【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE=12OB=12OC，即证明∠OCE＝30°即可．
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴AC=AD，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE=12OC，
∴OE=12OB，
∴点E为OB的中点；

（2）解：在Rt△OCE中，AB＝8，
∴OC=12AB=4，
又∵BE＝OE，
∴OE＝2，
∴CE=OC2−OE2=16−4=23，
∴CD=2CE=43．

23．（2020秋•兴化市月考）如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有　4　条．

【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB＝24，即可得出答案；
②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论．
【解析】（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，

则弦AB即为所求；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，
连接OA，如图2所示：

∵OP⊥AB，
∴AP＝BP=OA2−OP2=132−52=12，
∴AB＝2AP＝24，
∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；
②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，
∴长度为25的弦有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，
故答案为：4．
24．（2020秋•高邮市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D在AB的延长线上，且BD＝3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE于点F．
（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；
（2）设CD交⊙O于点G，试说明G是CD的中点．

【分析】（1）过点O作OH⊥EF于H，根据勾股定理求出AC，证明△ACB∽△ADE，根据相似三角形的性质求出DE，再证明△EHO∽△EDA，求出OH即可；
（2）连接EG，根据等腰三角形的三线合一证明结论．
【解析】（1）过点O作OH⊥EF于H，
由勾股定理得，AC=AB2−BC2=4，
∵DE⊥AD，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ADE，
∵∠C＝∠C，
∴△ACB∽△ADE，
∴ACAD=BCDE，即48=3DE，
解得，DE＝6，
∴⊙O的半径为3，
AE=AD2+DE2=10，
∵∠EHO＝∠EDA，∠OEH＝∠AED，
∴△EHO∽△EDA，
∴EOEA=OHAD，即310=OH8，
解得，OH=125，
∴点O到EF距离为125；
（2）连接EG，
∵AE＝10，AC＝4，
∴EC＝6，
∴EC＝ED，
∵DE是⊙O的直径，
∴EG⊥CD，
∴G是CD的中点．