2020-2021学年福建省普通高中高二学业水平合格性考试（会考）数学模拟试题（二）含解析

2020-2021学年福建省普通高中高二学业水平合格性考试（会考 ）数学模拟试题（二）

一、单选题

1．已知集合{，}，则的真子集个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据真子集的定义即可求出真子集的个数.

【详解】因为集合{，}，

所以的真子集为，共3个.

故选：C

2．某工厂10名工人某天生产同一型号零件的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则这组数据的众数为（    ）

A．17 B．16 C．15 D．14.7

【答案】A

【分析】根据同一型号零件的数据，结合众数的概念，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，同一型号零件的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，

结合众数的概念，可得数据的众数为17.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了众数的概念及其应用，其中解答中熟记众数的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

3．如果，且，则是（    ）

A．第一象限的角 B．第二象限的角

C．第三象限的角 D．第四象限的角

【答案】C

【分析】根据三角函数在各象限的符号确定即可.

【详解】因为则在第二、第三象限或轴的负半轴上，

则在第一、第三象限，

所以是第三象限的角.

故选：C

【点睛】本题主要考查了角在各象限的三角函数的符号，属于容易题.

4．下列直线中，与直线垂直的是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出选项中各直线的斜率，判断所求斜率与直线的斜率之积为是否为即可得结果.

【详解】直线的斜率为，

而直线的斜率为2 ,

的斜率为，

的斜率为 ,

的斜率为，

可得直线的斜率与的斜率之积为-1，

与直线垂直的是，故选C.

【点睛】本题考查了直线的一般式方程求直线斜率以及斜率与直线垂直的关系，考查了两直线垂直与斜率间的关系，是基础题.

5．已知数列的通项公式为，则（    ）

A．4 B．6 C． D．

【答案】A

【分析】利用数列的通项公式求解.

【详解】因为数列的通项公式为，

则,

故选：A

6．不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化为可解得结果.

【详解】因为，所以

解得，

所以不等式的解集为，

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.

7．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】边长为3的正方形的面积S正方形＝9，设阴影部分的面积为S阴，由几何概型得，由此能估计阴影部分的面积．

【详解】解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，

则边长为3的正方形的面积S正方形＝9，

设阴影部分的面积为S阴，

∵该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，

∴，

解得S阴，

∴估计阴影部分的面积是．

故选：B．

【点睛】本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

8．下表是某工厂1~4月份用电量(单位：万度)的一组数据：由散点图可知，用电量y与月份x间有线性相关关系，其回归直线方程是，则（    ）

A．10.5 B．5.75 C．5.2 D．5.15

【答案】B

【分析】求出，，再由得出的值.

【详解】

，即

故选：B

9．下列函数是奇函数且在上单调递减的是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、不是奇函数；对于B、y=x3不符合单调性的要求，对于C、y=不是奇函数，不符合题意，对于D、由反比例函数的性质可得其符合题意；综合可得答案．

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A、；

对于B、y=x是奇函数但其在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；

对于C、y=是对数函数，不是奇函数，不符合题意；

对于D、y=，是奇函数，且其在（0，+∞）上单调递减，符合题意；

故选D．

【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判定，关键是熟悉常见函数的奇偶性、单调性．

10．化简

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的加法、减法运算法则即可求解

【详解】由题,,

故选：A

【点睛】本题考查向量的加法、减法运算,属于基础题

11．函数的最大值为

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】由正弦函数的性质，可得，即可求解函数的最大值，得到答案.

【详解】由正弦函数的性质，可得，所以

所以函数的最大值为2，故选D.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象性质的应用，其中解答中熟记正弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

12．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．

解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，

R=，S=4πR2=12π

故选B

【解析】球内接多面体；球的体积和表面积．

13．函数的零点为（    ）

A．0 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】令求解.

【详解】令，

解得，

故选：C

14．若复数为实数，则正整数的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】根据题意可知只能为偶数，分别计算比较即可.

【详解】因为，，

所以正整数的最小值为4．

故选：B

【点睛】本题考查复数的运算，属基础题.

15．如图，直线l与⊙O相交于点，点A的坐标为，则点B的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即可得解.

【详解】由图可以发现，点A与点B关于原点对称，

由点A的坐标为，所以点B的坐标为

故选：B

二、填空题

16．已知，，则的坐标为________.

【答案】

【分析】利用向量的坐标运算直接得解.

【详解】，，

故答案为：

17．等差数列10，8，6，…的第10项为________.

【答案】

【分析】由等差数列的定义得出，进而由通项公式得出第10项.

【详解】由题意可知，，

则第10项为.

故答案为：.

18．已知，则________.

【答案】

【分析】根据，由指数与对数互化求解.

【详解】因为，

所以,

故答案为：

19．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知 ，则______．

【答案】；

【详解】根据正弦定理知，，所以，故填.

20．奇函数在上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为，则________.

【答案】

【分析】由条件可得，然后利用奇偶性可得，然后可算出答案.

【详解】因为在上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为，

所以

因为是奇函数

所以，所以

故答案为：

三、解答题

21．已知函数.

（1）求；

（2）求函数在区间上的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）直接求出答案即可；

（2）当时，然后可求出答案.

【详解】（1）

（2）当时，，所以

所以

22．甲虫是行动较快的昆虫之一，如表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：

（1）你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？

（2）利用建立的模型计算，甲虫1min能爬多远？它爬行49cm需要多长时间？

【答案】（1）；（2）甲虫1能爬，爬行49需要时间.

【分析】（1）由等差数列的定义得出甲虫的爬行距离和时间之间的关系；

（2）由求解即可.

【详解】（1）由图表可知，从第二项起，每一项和前一项的差都是常数9.8，是一个等差数列的数列模型，

，，

甲虫的爬行距离和时间之间的关系：；

（2）当，，

，.

答：甲虫1min能爬cm，它爬行49cm需要.

23．如图，在正方体中，，点P为的中点.

（1）证明：直线平面；

（2）求异面直线与AP所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接BD，设AC和BD交于点O，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面PAC.

（2）由，得到为异面直线与所成角，在直角中，即可求解.

【详解】（1）如图，连接BD，设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，

连接PO，因为P是的中点，所以，

又因为平面PAC，平面PAC，所以直线平面PAC.

（2）由（1）知：，所以异面直线与所成角即为PO与所成角，

即为与所成角，

因为，，且，

在直角中，所以，

所以与AP所成角的正弦值为.

24．如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原来的墙，其他各面用钢筋网围成.若现有36长的钢筋网材料，求可围成每间虎笼的最大面积是多少？并求岀最大面积时每间虎笼的长､宽各是多少？

【答案】虎笼面积最大，每间虎笼长，宽.

【分析】设围成每间虎笼的长，宽，由题意可知，利用基本不等式求最值即可.

【详解】设围成每间虎笼的长，宽，

由题意可知：，即.

，，，当且仅当时取等号.

解方程组，可得，，

每间虎笼长，宽时，虎笼面积最大.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

25．已知直线，圆.

（1）试证明：不论为何实数，直线和圆总有两个交点；

（2）当取何值时，直线被圆截得的弦长最短，并求出最短弦的长.

【答案】（1）证明见详解；（2），最短弦长为4.

【分析】（1）根据圆的方程，得到圆心坐标与半径，再由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，比较与的大小，即可得出结果；

（2）先根据圆的性质，得到弦长（是圆的半径，是圆心到直线的距离），由题意，得到直线恒过点，当与直线垂直时，所求弦长最短，从而可求出结果.

【详解】（1）因为圆的圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

而，即，

∴不论为何实数，直线和圆总有两个交点；

（2）根据圆的性质可得：弦长的一半，圆心到弦的距离，圆的半径，三者满足勾股定理；

即弦长（是圆的半径，是圆心到直线的距离），

而圆心，直线恒过点，

因此当与直线垂直时，所求弦长最短.

此时，，，

所求最短弦长为.

【点睛】本题主要考查判定直线与圆位置关系，以及求圆的弦长的最值问题，熟记直线与圆位置关系的判定方法，以及圆的弦长的几何求法即可，属于常考题型.