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2021届福建省普通高中学业水平合格性考试（会考 ）适应性练习（二）数学试题（解析版）
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这是一份2021届福建省普通高中学业水平合格性考试（会考 ）适应性练习（二）数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，2，，，3，，则（ ）
A．，2，3，B．，2，C．，3，D．，3，
【答案】A
【分析】直接由并集的运算可得答案.
【详解】，2，，，3，，
，2，3，.
故选：A．
【点睛】考查集合的并集运算，属于基础题.
2．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据解析式直接判断出单调性即可.
【详解】可知在区间上单调递增，故A正确；和在上单调递减，故BC错误；是常数函数，不单调，故D错误.
故选：A.
3．在等差数列中,，则（ ）
A．5B．8C．10D．14
【答案】B
【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，
所以，
故选B.
【解析】等差数列通项公式.
4．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用即可求出.
【详解】，，
，，
，
，.
故选：A.
5．若a>b>0，cA．>B．<
C．>D．<
【答案】D
【分析】首先根据不等式的性质以及题中的条件，得到，又因为a>b>0，利用不等式的性质可得，得到结果，也可以利用特值法代入得到结果.
【详解】方法1：∵c－d>0，∴，
又a>b>0，∴，∴.
故选：D.
方法2：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2.则＝－1，＝－1，排除选项A，B.
又＝－，＝－，∴，排除选项C.
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有不等式的性质，属于基础题目.
6．已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则
A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n
【答案】C
【解析】试题分析：
由题意知，．故选C．
【解析】空间点、线、面的位置关系．
【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．
7．设是等比数列，下列说法一定正确的是（ ）
A．成等比数列B．成等比数列
C．成等比数列D．成等比数列
【答案】D
【解析】
项中，故项说法错误；项中，故项说法错误； 项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D.
8．在轴上与点的距离为3的点是（ ）
A．B．C．D．和
【答案】D
【分析】设出点坐标，根据空间两点间坐标公式即可求出.
【详解】设所求点的坐标为，
则由题可得，解得或1，
故在轴上与点的距离为3的点是或.
故选：D.
9．设，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】分和两种情况代入解析式求解.
【详解】当时，，解得，不符合，
当时，，解得，符合，
.
故选：A.
10．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由两角差的正切公式计算．
【详解】由题意．
故选：A．
【点睛】本题考查两角差的正切公式，属于基础题．
11．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
12．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】试题分析：本题是几何概型问题，矩形面积2，半圆面积，所以质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选B．
【解析】几何概型．
13．在中，，，分別为内角，，所対边的边长，若，，则的值是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】B
【分析】由题可得，再结合余弦定理可求出.
【详解】，即，
由余弦定理得，解得.
故选：B.
14．平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【解析】设所求直线为，
由直线与圆相切得，
，
解得．所以直线方程为或．选A.
15．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
【答案】A
【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
二、填空题
16．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.
【答案】.
【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.
【详解】由题意，该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是.
【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.
17．不等式的解集为_______________.
【答案】
【分析】运用绝对值解法求解，将结果写成集合即可.
【详解】解：由得，
即
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
18．已知函数，则函数的零点个数为______________.
【答案】3
【分析】根据函数零点定义，在分段函数的每一段求得零点，加起来就是零点的个数.
【详解】解：当时，，
令得或（舍掉），
当时，，
令得或，
所以函数的零点个数为3个.
故答案为：3.
【点睛】函数零点个数的判定有下列几种方法：
（1）直接求零点：令，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；
（3）画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
19．已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
【答案】.
【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.
详解：由题意可得，所以，因为，所以
点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；
(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.
20．要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
【答案】160
【分析】本题根据题意建立函数关系式，再运用基本不等式求最值即可.
【详解】设该容器的总造价为元，长方体的底面矩形的长，因为无盖长方体的容积为，高为，所以长方体的底面矩形的宽为，依题意，得
故答案为：160
【点睛】本题考查实际问题建立函数关系，基本不等式求最值问题，是中档题.
三、解答题
21．计算：.
【答案】
【分析】根据指数幂和对数运算法则即可求出.
【详解】解：原式.
故答案为：.
22．已知点、.
（1）求直线的方程，并判断直线的倾斜角是锐角还是钝角；
（2）若点在轴上，且，求的面积.
【答案】（1），直线的倾斜角为钝角；（2）.
【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，根据直线斜率可得出结论；
（2）设点，由题意可得，利用斜率公式可求得的值，然后求出、，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1），所以，直线的方程为，即，
又，所以，直线的倾斜角为钝角；
（2）设点的坐标为.
，即，，，所以，，即.
，，
因此，.
23．如图，四棱锥中，点是底面正方形的中心，平面，点在棱上.
（1）若是的中点，求证：平面；
（2）求证：平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可.
【详解】证明：（1）连接.
∵是的中点，是的中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）∵平面，平面.
∴.
又∵是正方形，，
平面，平面，且，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
24．在中，，，.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】（1）由余弦定理结合已知即可求出；
（2）求出，根据正弦定理求出，即求出.
【详解】解：（1）由余弦定理，
得.
因为，所以.
解得，.
（2）由得.
由正弦定理得.
在中，.
所以.
25．中华人民共和国关于（环境空气质量指数（）技术规定（试行）》（HJ633-2012）中.关于空气质量指数的划分如下表所示：
某市为了监测该市的空气质量指数，抽取一年中天的数据进行分析，得到如下频率分布表及频率分布直方图：
（1）求、、和的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该市一年中空气质量指数的平均数为多少；
（3）该市政府计划通过对环境进行综合治理，使得今后每年的空气质量指数比上一年降低，至少经过多少年后该市的空气质量可以达到优良水平？
（参考数据：，）
【答案】（1），，，；（2）；（3）经过5年后.
【分析】（1）根据表中数据可直接列式求出；
（2）用每组中间值作代表，列出式子即可求出；
（3）由题可得，根据指数函数的单调性结合参考数据可得出.
【详解】解：（1）因为，
，
，
.
（2）
.
（3）设经过年后该市的空气质量可以达到优良水平，则
，
即，而，
因为函数为减函数，
，，
所以当时，，不符合要求；
当时，有，符合要求.
所以至少经过5年后该市的空气质量将达到优良水平.
0~50
50~100
100~150
150~200
200~300
级别
Ⅰ级
Ⅱ级
Ⅲ级
Ⅳ级
Ⅴ级
Ⅵ级
类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
分组
频数
频率
0.06
10
0.2
20
15
0.3
2
0.04
合计
1
一、单选题
1．设集合，2，，，3，，则（ ）
A．，2，3，B．，2，C．，3，D．，3，
【答案】A
【分析】直接由并集的运算可得答案.
【详解】，2，，，3，，
，2，3，.
故选：A．
【点睛】考查集合的并集运算，属于基础题.
2．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据解析式直接判断出单调性即可.
【详解】可知在区间上单调递增，故A正确；和在上单调递减，故BC错误；是常数函数，不单调，故D错误.
故选：A.
3．在等差数列中,，则（ ）
A．5B．8C．10D．14
【答案】B
【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，
所以，
故选B.
【解析】等差数列通项公式.
4．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用即可求出.
【详解】，，
，，
，
，.
故选：A.
5．若a>b>0，c
C．>D．<
【答案】D
【分析】首先根据不等式的性质以及题中的条件，得到，又因为a>b>0，利用不等式的性质可得，得到结果，也可以利用特值法代入得到结果.
【详解】方法1：∵c
又a>b>0，∴，∴.
故选：D.
方法2：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2.则＝－1，＝－1，排除选项A，B.
又＝－，＝－，∴，排除选项C.
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有不等式的性质，属于基础题目.
6．已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则
A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n
【答案】C
【解析】试题分析：
由题意知，．故选C．
【解析】空间点、线、面的位置关系．
【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．
7．设是等比数列，下列说法一定正确的是（ ）
A．成等比数列B．成等比数列
C．成等比数列D．成等比数列
【答案】D
【解析】
项中，故项说法错误；项中，故项说法错误； 项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D.
8．在轴上与点的距离为3的点是（ ）
A．B．C．D．和
【答案】D
【分析】设出点坐标，根据空间两点间坐标公式即可求出.
【详解】设所求点的坐标为，
则由题可得，解得或1，
故在轴上与点的距离为3的点是或.
故选：D.
9．设，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】分和两种情况代入解析式求解.
【详解】当时，，解得，不符合，
当时，，解得，符合，
.
故选：A.
10．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由两角差的正切公式计算．
【详解】由题意．
故选：A．
【点睛】本题考查两角差的正切公式，属于基础题．
11．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
12．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】试题分析：本题是几何概型问题，矩形面积2，半圆面积，所以质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选B．
【解析】几何概型．
13．在中，，，分別为内角，，所対边的边长，若，，则的值是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】B
【分析】由题可得，再结合余弦定理可求出.
【详解】，即，
由余弦定理得，解得.
故选：B.
14．平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【解析】设所求直线为，
由直线与圆相切得，
，
解得．所以直线方程为或．选A.
15．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
【答案】A
【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
二、填空题
16．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.
【答案】.
【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.
【详解】由题意，该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是.
【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.
17．不等式的解集为_______________.
【答案】
【分析】运用绝对值解法求解，将结果写成集合即可.
【详解】解：由得，
即
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
18．已知函数，则函数的零点个数为______________.
【答案】3
【分析】根据函数零点定义，在分段函数的每一段求得零点，加起来就是零点的个数.
【详解】解：当时，，
令得或（舍掉），
当时，，
令得或，
所以函数的零点个数为3个.
故答案为：3.
【点睛】函数零点个数的判定有下列几种方法：
（1）直接求零点：令，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；
（3）画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
19．已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
【答案】.
【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.
详解：由题意可得，所以，因为，所以
点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；
(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.
20．要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
【答案】160
【分析】本题根据题意建立函数关系式，再运用基本不等式求最值即可.
【详解】设该容器的总造价为元，长方体的底面矩形的长，因为无盖长方体的容积为，高为，所以长方体的底面矩形的宽为，依题意，得
故答案为：160
【点睛】本题考查实际问题建立函数关系，基本不等式求最值问题，是中档题.
三、解答题
21．计算：.
【答案】
【分析】根据指数幂和对数运算法则即可求出.
【详解】解：原式.
故答案为：.
22．已知点、.
（1）求直线的方程，并判断直线的倾斜角是锐角还是钝角；
（2）若点在轴上，且，求的面积.
【答案】（1），直线的倾斜角为钝角；（2）.
【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，根据直线斜率可得出结论；
（2）设点，由题意可得，利用斜率公式可求得的值，然后求出、，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1），所以，直线的方程为，即，
又，所以，直线的倾斜角为钝角；
（2）设点的坐标为.
，即，，，所以，，即.
，，
因此，.
23．如图，四棱锥中，点是底面正方形的中心，平面，点在棱上.
（1）若是的中点，求证：平面；
（2）求证：平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可.
【详解】证明：（1）连接.
∵是的中点，是的中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）∵平面，平面.
∴.
又∵是正方形，，
平面，平面，且，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
24．在中，，，.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】（1）由余弦定理结合已知即可求出；
（2）求出，根据正弦定理求出，即求出.
【详解】解：（1）由余弦定理，
得.
因为，所以.
解得，.
（2）由得.
由正弦定理得.
在中，.
所以.
25．中华人民共和国关于（环境空气质量指数（）技术规定（试行）》（HJ633-2012）中.关于空气质量指数的划分如下表所示：
某市为了监测该市的空气质量指数，抽取一年中天的数据进行分析，得到如下频率分布表及频率分布直方图：
（1）求、、和的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该市一年中空气质量指数的平均数为多少；
（3）该市政府计划通过对环境进行综合治理，使得今后每年的空气质量指数比上一年降低，至少经过多少年后该市的空气质量可以达到优良水平？
（参考数据：，）
【答案】（1），，，；（2）；（3）经过5年后.
【分析】（1）根据表中数据可直接列式求出；
（2）用每组中间值作代表，列出式子即可求出；
（3）由题可得，根据指数函数的单调性结合参考数据可得出.
【详解】解：（1）因为，
，
，
.
（2）
.
（3）设经过年后该市的空气质量可以达到优良水平，则
，
即，而，
因为函数为减函数，
，，
所以当时，，不符合要求；
当时，有，符合要求.
所以至少经过5年后该市的空气质量将达到优良水平.
0~50
50~100
100~150
150~200
200~300
级别
Ⅰ级
Ⅱ级
Ⅲ级
Ⅳ级
Ⅴ级
Ⅵ级
类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
分组
频数
频率
0.06
10
0.2
20
15
0.3
2
0.04
合计
1
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