山东师范大学附属中学2023届高三下学期6月模拟数学试题（含解析）

这是一份山东师范大学附属中学2023届高三下学期6月模拟数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东师范大学附属中学2023届高三下学期6月模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合M，N满足，则（    ）
A．， B．，
C．， D．，
2．若复数是实数，则实数（    ）
A． B．0 C．1 D．2
3．如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为.将点到直线的距离表示成的函数，则在的图象大致为（    ）

A． B．
C． D．
4．李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为（    ）
A． B． C． D．1
5．已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含的项的系数为（    ）
A．20 B．25 C．30 D．35
6．在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
7．设函数，是公差不为的等差数列，，则（    ）
A．0 B．7 C．14 D．21
8．已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ）
A． B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为 D．若向量与向量共线，则
10．已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是（    ）
A．该函数解析式为
B．函数的一个对称中心为
C．函数的定义域为
D．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则b的最小值为.
11．已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（    ）
A．若、、三点共线，则的最小值为
B．若，则的面积为
C．若，则直线过定点
D．若，过的中点作于点，则的最小值为
12．已知正方体棱长为4，M为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（    ）
A．若N为中点，当最小时，
B．当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大
C．直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为
D．当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为

三、填空题
13．等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则________．
14．无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，它能在万米高空观察敌方的地面设施和军事力量部署．我国无侦—8（如图1）是一款以侦察为主的无人机，它动力强劲，比大多数防空导弹都要快．已知空间中同时出现了A，B，C，D四个目标（目标与无人机的大小忽略不计），如图2，其中，，，且目标A，B，D所在平面与目标B，C，D所在平面恰好垂直，若无人机可以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径为______．
  

四、双空题
15．在对附属中学高三年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样．已知抽取了男生20人，其平均数和方差分别为175和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为165和38．则抽取的50位学生的平均数为______，方差为______．

五、填空题
16．已知实数，满足，，则______.

六、解答题
17．在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若D为边上一点，满足，，且______．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
18．已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
19．矩形所在平面与等腰梯形所在平面互相垂直，，，直线与平面所成角为，.
  
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)线段上任意一点到平面的距离是否为定值?如果是，则求出定值，否则说明理由．
20．某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.己知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
  
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛?
(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第题时“花”掉的分数为（，2，…，n）；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量应为多少?
附：若，则，，；．
21．已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线与C交于M，N两点，直线分别与直线交于点P，Q，求的值．
22．已知函数，其中为常数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若，设函数在上的极值点为，求证：.

参考答案：
1．C
【分析】根据集合的交集的定义结合举反例，即可判断出答案.
【详解】对于A，取，满足，而，A错误；
对于B，取，满足，而，B错误；
对于C，根据集合交集的定义可知，，故C正确，
对于D，取，满足，但，不成立，D错误，
故选：C
2．A
【分析】利用复数的除法运算求出复数z，再由已知列式计算作答.
【详解】依题意，，因，且z是实数，则，解得，
所以实数.
故选：A
3．B
【分析】过作于，由题意得到，，由求出，即可得出函数解析式，从而可判断结果.
【详解】
如图：过作于，则由题意可得：，，
在中，，
所以，
所以，其图象即为选项B.
故选：B.
4．C
【分析】根据题意利用全概率公式求出花还活着的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案.
【详解】设事件B表示“邻居记得浇水”，表示“邻居忘记浇水”，
A表示“花还活着”，
则，，
则，
则，
故选：C
5．B
【分析】根据所有项的系数之和求解，写出的展开式，求与二项式中含的项相乘所得的项，-1与二项式中含的项相乘所得的项，两项相加，即为的展开式中含的项.
【详解】所有项的系数之和为64，∴，∴
，展开式第项，
时，，，
时，，，，
故选：B．
6．D
【分析】先求得圆的方程，再利用求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围.
【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为，
则圆的方程，
设，由，
可得，整理得，
则圆与圆有公共点，
则，
即，解之得.
故选：D
7．D
【分析】根据已知的函数确定函数关于点对称，
再利用等差数列的性质即可求解.
【详解】由，得
令，所以函数关于点对称.
因为，
所以，

所以为与轴的交点，
因为关于点对称，所以
因为是公差不为0的等差数列，所以
所.
故选：D.

8．C
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长 ，焦距．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在中,根据余弦定理可得到，，与的关系式，进而可得，设则有，所以，构造函数,利用导数求出函数的值域即可.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距，点为第一象限交点．
则，，
解得，，
如图：

在中,根据余弦定理可得：
，
整理得，即，
设 则有，，
所以，即有，所以，
所以===，
设,
则,
令，得，
所以在上恒成立,
所以在上单调递减，
当趋于时，趋于，当趋于1时，趋于2，
所以，
即：.
故选：C.
9．AD
【分析】可求出，，，根据数量积的公式即可求出A项；根据投影向量的计算公式即可判断B项；设出坐标，根据题意列出关系式，解出方程组即可判断C项；分别求出向量与向量的坐标，根据共线向量的坐标表示，即可求出的值.
【详解】由题意知，，，则，A正确；
在方向上的投影向量为，B错误；
设与垂直的单位向量的坐标，则有，
解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或，C错误；
显然与不共线.
因为，，
向量与向量共线，
根据共线向量的坐标表示可得，，
整理可得，解得，D正确.
故选：AD.
10．ABC
【分析】由三角函数的性质求出函数解析式为可判断A；可判断B；求函数的定义域即为，解不等式可判断C；由三角函数的平移变化结合三角函数的奇偶性可判断D.
【详解】由题意知，该函数最小正周期为，解得，
即，将点代入，得，
所以，函数解析式为，选项A正确；
对于选项B，，因而选项B正确；
对于选项C，，满足，
所以，解得，从而选项C正确；对于选项D，由题意，，
根据该函数为奇函数，知，从而得到，
所以b的最小值为，故选项D错误.
故选：ABC.
11．ABD
【分析】设出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理、焦半径公式以及基本不等式可求得的最小值，可判断A选项；求出点的横坐标的绝对值，利用三角形的面积公式可判断B选项；设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理以及求出的值，求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用抛物线的定义以及基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，易知抛物线的焦点为，
当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，则，
易知，，所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，A对；
对于B选项，设点，，可得，所以，，
则，所以，，B对；
对于C选项，易知的斜率存在，设直线的方程为，
设点、，由于直线不过原点，所以，，
联立可得，，
由韦达定理可得，所以，，
因为，则，解得，
所以，直线的方程为，故直线过定点，C错；
对于D选项，过点作于点，过点作于点，
设，，所以，
因为
，
所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立，D对．

故选：ABD．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
12．ACD
【分析】对于A，由展开图求解；对于B，取特殊位置判断；对于C，由空间向量求解；对于D，由正四面体的性质可求内切球半径，可得内切球的表面积，．
【详解】对于A，矩形与正方形展开成一个平面，如图所示，

若最小，则A、M、N三点共线，因为，
所以，则有 ，
即，故A正确；
对于B，当点M与点重合时，连接、、、、，如图所示，

在正方体中，平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
又平面，所以，同理可证，
因为，平面，所以平面，
易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为；
设E、F、Q、N，G，H分别为，、，，，的中点，易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形，且平面平面，
正六边形 EFQNGH的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，即B错误；
对于C，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，设，
因为平面，所以是平面的一个法向量，且，，故，
所以直线AB与平面所成角的正弦值的取值范围为，则直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为，故C正确；
对于D，当点M与点C重合时，四面体即为为正四面体，棱长，
由正四面体的性质可得，其内切球半径，
所以表面积为，故D正确．
故选：ACD．
13．2
【分析】由题意可得，且，由条件可得，化简得，再由，求得的值．
【详解】解：等比数列是递减数列，其前项的积为，若，设公比为，
则由题意可得，且．
，．
又由等比数列的性质可得，．
故答案为：2．
14．
【分析】由已知得当无人机在三棱锥的外接球球心处时，侦测半径最小，且最小半径为球的半径，棱锥的外接球的球心在平面上的射影就是正三角形的外接圆圆心，记为，连接，，运用面面垂直的性质和勾股定理建立方程组可求得外接球的半径得答案.
【详解】如图所示，三棱锥的外接球的球心在平面上的射影就是正三角形的外接圆圆心，
记为，连接，，则.
设，连接，则①.
过点作于，过点作于，连接，，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面.
又平面，所以四边形为矩形，故，.
在中，，，，所以，
故，所以，.
取的中点，则，连接，则，，
故，
故在中，，即②.
由①②解得所以最小侦测半径为.
故答案为：.
  
15． /
【分析】根据平均数和方差的计算公式，直接代入计算，即可求解.
【详解】根据题意，抽取的50位学生的平均数为，
抽取的50位学生的方差为：
故答案为：，.
16．
【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.
【详解】实数，满足，，
，，则，
，
所以在单调递增，而，
.
故答案为:.
【点睛】本题考查函数单调性应用，换元法是解题的关键，构造函数是难点，属于中档题.
17．(1)
(2)

【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角，再结合同角的三角函数关系求得，即得答案；选②，利用正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式化简可得，即得答案;
（2）由正弦定理分别求得的表达式，结合两角差的正弦公式化简可得的表达式，结合正弦函数性质，即可求得答案.
【详解】（1）选①，
由正弦定理可得，
即，
因为，故，
又，故.
选②，
由正弦定理得，
即，即，
即，而,
故，又，故.
（2）因为，故，
在中，，得,
在中，,得,
故，而，
所以，
由题意知，
故，即的取值范围为.
18．(1)
(2)

【分析】（1）由，，成等差数列，得，时得；时求得，可知是首项为2，公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式可求得，进而求得；
（2）由（1）知，分是奇数、偶数可得.
【详解】（1）由，，成等差数列，得，①
当时，，
∴，得（舍去），
当时，，②
①－②得，，
∴，
又，∴，
∴是首项为2，公差为1的等差数列，
∴，
故；
（2）由（1）知，
当是奇数时，


，
当是偶数时，

，
综上.
19．(1)
(2)是定值，

【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合题意可求得相关点坐标，进而求得平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法可得答案；
（2）根据线面平行的判定定理可证明平面，从而可判断段上任意一点到平面的距离为定值，利用空间距离的向量求法可求得定值.
【详解】（1）过点F作,垂足为G，
因为平面平面，平面平面，平面,
故平面，则为直线与平面所成角，即，
过点C作平面的垂线作为z轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
  
因为，
在等腰梯形中，，
则，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
故，
平面的一个法向量可取为，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为.
（2）设交于点H，连接，
因为,且，故四边形为平行四边形，
则，平面，平面，
故平面，
所以线段上任意一点到平面的距离是否为定值，
又，
故A点到平面的距离为，
即定值为.
20．(1)；
(2)有
(3)7或8

【分析】（1）确定X的取值，算出预赛成绩在和范围内的样本量，根据超几何分布的概率计算求得至少有1人预赛成绩优良的概率，继而可求得X的分布列，求得期望；
（2）求出变量Z的均值，确定，即可求得，算出不低于91分的人数，可得结论；
（3）设学生甲答对的题目数为，复赛成绩为Y，可得，结合二项分布的均值计算公式可得表达式，结合二次函数知识，可得答案.
【详解】（1）预赛成绩在范围内的样本量为：，
预赛成绩在范围内的样本量为：，
设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为，
则，
又，
则X的分布列为：
X
0
1
2
P



故.
（2），
，则，
又，
故，
故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有人，
因为，故小明有资格参加复赛.
（3）设学生甲答对的题目数为，复赛成绩为Y，
则，故，
，
故
,
因为，所以答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩.
21．(1)
(2)1

【分析】（1）根据椭圆离心率以及椭圆上的点，列出方程，求得，即得答案；
（2）当斜率不为0，设直线的方程为，联立，可得根与系数的关系，设，由题意知三点共线推出的表达式，同理得s的表达式，即可得到的表达式，化简可得答案，当斜率为0时，求出P，Q的纵坐标即可.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，可得，
所以，
在椭圆上，则，
解得，故椭圆C的方程为.
（2）由题意，当直线的斜率不为0时，设其方程为，联立，
可得，需满足，
可得或，设，
则，故，
  
设，由题意知三点共线，故,
即，
将代入化简可得，
同理可求得，
故
，
当直线斜率为0时，此时为椭圆与x轴的交点，
不妨设，则直线的方程为，
令，故;
直线的方程为，
令，故，而，故，
故综合上述可得.
【点睛】关键点睛：解答的值时，要注意设直线方程并联立椭圆方程可得根与系数的关系式，关键是设，要利用以及三点共线求得的表达式，进而可得的表达式，化简即可求得答案.
22．(1)当时，的极大值为，无极小值；(2)；(3)证明见解析.
【详解】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，将函数在某区间上单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；（3）连续两次求导，分别通过研究导函数的符号变化研究函数的极值，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用求导进行求解.
试题解析：（1）当时，，定义域为，
，令，得.










极大值

当时，的极大值为，无极小值.
（2），由题意对恒成立.
，，
对恒成立，
对恒成立.
令，，则，
①若，即，则对恒成立，
在上单调递减，
则，，与矛盾，舍去；
②若，即，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时， ，
.综上.
（3）当时，，，
令，，
则 ，令，得，
①当时，，单调递减，，
恒成立，单调递减，且.
②当时，，单调递增，

又 ，
存在唯一，使得，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，且，
由①和②可知，在单调递增，在上单调递减，
当时，取极大值.
，，
，
又，，.