广东省汕尾市2021-2022学年高二上学期期末考试数学含答案

汕尾市2021-2022学年度第一学期全市高中二年级教学质量监测

数  学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（ ）

A．   B．   C．   D．

2．中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（ ）

A．  B．  C．  D．

3．圆与圆的位置关系是（ ）

A．内切  B．相交  C．外切  D．相离

4．设为等差数列的前n项和，，，则（ ）

A．   B．﹣4   C．﹣2   D．2

5．下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（ ）

A．  B．  C．  D．

6．函数，若实数是函数的零点，且，则（ ）

A．  B．  C．  D．无法确定

7．在递增等比数列中，为其前n项和．已知，，且，则数列的公比为（ ）

A．3  B．4  C．5  D．6

8．已知F是双曲线的左焦点，A为顶点，P是双曲线C上的点，轴，若，则双曲线C的离心率为（ ）

A．  B．  C．  D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知直线，则下述正确的是（ ）

A．直线l可能过点（2，1）  B．直线l的斜率有可能不存在

C．直线l的斜率可以等于0  D．若直线l在x轴和y轴截距相等，则

10．已知曲线C的方程为（，且，），则下列结论正确的是（ ）

A．当时，曲线C为圆   B．若曲线C为椭圆，且焦距为，则

C．当或时，曲线C为双曲线  D．当曲线C为双曲线时，焦距等于4

11．已知数列的前n项和为，与是方程的两根，则下列说法正确的是（ ）

A．若是等差数列，则   

B．若是等比数列，则

C．若是递减等差数列，则当取得最大值时，或8

D．若是递增等差数列，对恒成立，则

12．如图，棱长均为2的平行六面体中，平面ABCD，，E，F分别是线段BD和线段上的动点，且满足，，则（ ）

A．当时，

B．当时，直线EF与直线所成角的大小为

C．当时，若，则

D．当时，三棱锥体积的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数______．

14．在空间直角坐标系中，向量为平面ABC的一个法向量，其中，，则向量的坐标为______．

15．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．

16．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______．

四、解答题：本题共16小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

给出以下三个条件：①；②，，成等比数列；③．请从这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成作答．若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分．

已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，______．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，令，求数列的前n项和．

18．（12分）

某初中学校响应“双减政策”，积极探索减负增质举措，优化作业布置，减少家庭作业时间．现为调查学生的家庭作业时间，随机抽取了100名学生，记录他们每天完成家庭作业的时间（单位：分钟），将其分为，，，，，六组，其频率分布直方图如下图：

（1）求a的值，并估计这100名学生完成家庭作业时间的中位数（中位数结果保留一位小数）；

（2）现用分层抽样的方法从第三组和第五组中随机抽取6名学生进行“双减政策”情况访谈，再从访谈的学生中选取2名学生进行成绩跟踪，求被选作成绩跟踪的2名学生中，第三组和第五组各有1名的概率．

19．（12分）

已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．

（1）求圆C的方程；

（2）过点作圆C的切线，求切线方程．

20．（12分）

如图，在棱长为2的正方体中，E为AD中点．

（1）求二面角的大小；

（2）探究线段上是否存在点F，使得平面？若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．

21．（12分）

如图，五边形ABCDE为东京奥运会公路自行车比赛赛道平面设计图，根据比赛需要，在赛道设计时需预留出AC，AD两条服务通道（不考虑宽度），DC，CB，BA，AE，ED为赛道．现已知，，，千米，千米．

（1）求服务通道AD的长．

（2）在上述条件下，如何设计才能使折线赛道AED（即）的长度最大，并求最大值．

22．（12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值．

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参考答案及评分标准数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．  14．  15．  16．2

15题，直线方程形式要求为一般式或斜截式

四、解答题：本题共6小题，共70分．

17．（10分）

解：（1）设数列的公差为d

选择①，由，又，则，所以

选择②，由，，成等比数列，得，即，

解得，或（舍去）．所以．

选择③，由，得，解得，所以．

（2）由题意知，

∴  ①

  ②

①－②得

∴，即

18．（12分）

解：（1）根据频率分布直方图可得：

，

解得．设中位数为x，由题意得

，解得

所以这100名学生完成家庭作业时间的中位数约为31.1分钟．

（2）有频率分布直方图知，第三组和第五组的人数之比为2:1

所以分层抽样抽出的6人中，第三组和第五组的人数分别为4人和2人

第三组的4名学生记为A，B，C，D，第五组的2名学生记为a，b

从6名学生中抽取两名的样本空间

，共15个样本点．

记事件“2名中学生，第三组和第五组个1名”

则，共有8个样本点

∴这2名学生中，两组各有1名的概率．

19．（12分）

解：（1）因为圆C过两点，，

设AB的中点为M，则，

因为，所以AB的中垂线方程为，即

又因为圆心在直线上，联立

解得，圆心，半径

故圆的方程为．（或标准形式）

（2）当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切

当过点P的切线斜率k存在时

切线方程为即（*）

由圆心C到切线的距离，可得

将代入（*），得切线方程为

综上，所求切线方程为或

20．（12分）

解：如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，．

（1），

设平面的法向量

∴，即

令，则，∴

连接AC，∵，，

∴平面∴为平面的一个法向量．

∴

∵二面角为锐二面角

∴二面角的大小为．

（2）假设在线段上存在点F，使得平面．

设，

∵平面∴，即

∴，即解得

∴在线段上存在点F，使得平面，此时点F为线段上靠近点C的三等分点．

（备注：学生用其他方法建立空间直角坐标系解题，参照评分标准酌情给分）

第一问 解法二

取中点G，连接EG，

易知，，∴

过E作，垂足为O，连接OG，

又∵，

∴平面∴

又∵∴平面EOG

∴∴为二面角的平面角

在等腰直角中，

在中，

在中，

又∵为锐角，∴

所以二面角的大小为．

21．（12分）

解：（1）在中，由正弦定理得：

在中，由余弦定理得

即

解得（负值舍去）

所以服务通道AD的长为8千米．

（2）方法一：

在中，由余弦定理得：，

即∴

∵∴

∴∴（当且仅当时取等号）

∴时，折线赛道的长度最大，最大值为千米．

方法二：

在中，设，，

∴，∴，

∴

∵∴

∴当，即时，取得最大值1，此时

∴时，折线赛道的长度最大，最大值为千米．

22．（12分）

解：（1）∵的周长为8∴，即

∵离心率∴，，∴椭圆C的标准方程为．

（2）方法一：设，

则直线斜率∵

∴直线斜率，∴直线的方程为：

同理直线的方程为：

联立上面两直线方程，消去y，得

∵在椭圆上，∴，即

∴∴

所以与的面积之比为定值4．

方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，

则直线的方程为

∵，∴直线的方程为

将代入，得

∵P是椭圆上异于点，的点∴，又∵，即

∴，即

由，得直线的方程为

联立得，∴

所以与的面积之比为定值4．

高二19题（1）

另解1：设圆的方程为，圆心坐标为

∵该圆圆心在直线上∴  ①

又∵，在圆上∴  ②

 ③联立①②③可得，

，，∴圆的方程为

另解2：设圆的方程为，圆心坐标为

∵该圆圆心在直线上∴  ①

又∵，在圆上∴ ②

 ③联立①②③可得，，，

∴圆的方程为