2021-2022学年河南省南阳市高二下学期期末质量评估理科数学试题解析版

2021-2022学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 若复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 观察下列各式：，，，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 直线是曲线的一条切线，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 接种疫苗是预防控制新冠疫情的有效方法，我国自年月日起实施全民免费接种新冠疫苗并持续加快推进接种工作．某地为方便居民接种，共设置了、、三个新冠疫苗接种点，每位接种者可去任一个接种点接种．若甲、乙两人去接种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 为椭圆上异于左右顶点，的任意一点，则直线与的斜率之积为定值，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：为双曲线上异于左右顶点，的任意一点，则(    )

A. 直线与的斜率之和为定值
B. 直线与的斜率之积为定值
C. 直线与的斜率之和为定值
D. 直线与的斜率之积为定值

6. 汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在二项式的展开式中，所有项的二项式系数和为，若把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的，女生中喜欢航天的人数占女生人数的，若有以上的把握认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为(    )
   参考公式：，其中．

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数有两个极值点，，且，则实数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止现从入口放进一个白球，则其落在第个格子的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数有两个零点，，若，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. ______．
14. 对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于，至少要测量______ 次
    若，则．
15. 甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．则经过次传球后球在甲手中的概率为______．
16. 已知关于的方程至多有个不同的解，则实数的最大值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 设数列满足，．
    Ⅰ求，，，并猜想数列的通项公式；
    Ⅱ用数学归纳法证明中的猜想．
18. 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
    求项数；
    求展开式中的常数项与二项式系数最大的项．
19. 已知函数，．
    讨论函数在区间内的单调性；
    若函数在区间内无零点，求的取值范围．
20. 在中国文娱消费中，视听付费市场规模不断增长，从年到年在线音乐市场规模变化情况如表所示：

将年作为第年，设第年的市场规模为亿元．
与哪一个更适宜作为市场规模关于的回归方程？给出判断即可，不必说明理由
根据中的判断及表中的数据，求市场规模关于的回归方程．系数精确到
参考数据：令，，，，，，，．
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

21. 为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动．现有甲，乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目．规则如下：
    抛一次质地均匀的硬币，若正面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题．
    回答正确者得分，另一人得分；回答错误者得分，另一人得分．
    若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分．
    已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立．
    求乙同学最终得分的概率；
    记为甲同学的最终得分，求的分布列和数学期望．
22. 已知函数．
    Ⅰ若在处的切线与轴平行，求的值；
    Ⅱ有两个极值点，，比较与的大小；
    Ⅲ若在上的最大值为，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
等号两边同时除以，再进行化简，整理．
本题考查复数，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查归纳推理的思想方法，是基础题．
观察可得各式的值构成数列，，，，，，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．
【解答】
解：观察可得各式的值构成数列，，，，，，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为，，，，，，，，，，，第十项为，即，．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：设，则，令，得，
又，曲线在处的切线为，
即．
故选：．
求出原函数的导函数，令导函数值为求得值，可得切点的横坐标，再求出切点处的函数值，得到函数在切点处的切线方程，结合已知的直线方程可得值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义的应用，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：某地为方便居民接种，共设置了、、三个新冠疫苗接种点，每位接种者可去任一个接种点接种，
甲、乙两人去接种新冠疫苗，
基本事件总数，
其中两人不在同一接种点接种疫苗包含的基本事件个数，
两人不在同一接种点接种疫苗的概率为．
故选：．
甲、乙两人去接种新冠疫苗，基本事件总数，其中两人不在同一接种点接种疫苗包含的基本事件个数，由此能求出两人不在同一接种点接种疫苗的概率．
本题考查了古典概率计算公式、排列组合等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设为双曲线上异于左右顶点，的任意一点，
则，，
，
又在双曲线上，
，
，
直线与的斜率之积为定值．
故选：．
由已知椭圆的性质类比可得直线与的斜率之积为定值然后加以证明即可．
本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了类比推理思想方法，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，如图，假设个区域依次为，
分步进行分析：
首先：对于区域，三个区域两两相邻，有种情况，
再者：对于区域，若与的颜色相同，则有种情况，
若与的颜色不同，则有种情况，有种情况，此时区域的情况有种，
则区域有种情况，
则一共有种涂色方案；
故选：．
根据题意，假设五个区域分别为，据此分步讨论区域与区域的涂色方法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
先求出，再求解即可．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查运算求解能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由二项式系数和公式可得，则，
二项式为，其通项公式为，
展开式共有项，当，，时，展开式为有理项，
把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其他的个无理项先任意排，再把这个有理项插入其中的个空中，方法共有种，
有理项不相邻的概率为，
故选：．
由题意利用二项式系数的性质，求出，利用二项展开式的通项公式，求出有理项，再利用互不相邻的排列问题求法，求出有理项都互不相邻的概率．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，互不相邻的排列问题，概率问题，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设被调查的学生中男生的人数为，则由题可得列联表如下：

．
因为有以上的把握认为是否喜欢航天与学生性别有关，所以，即．
故选：．
设被调查的学生中男生的人数为，得出列联表，计算出，由可求出．
本题主要考查独立性检验，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由函数的解析式可得，
由题意可知函数在区间上有两个实数根，且上有且只有一个实数根，
由于二次函数的判别式，故不合题意；
二次函数，当时，，当时，，故不合题意；
二次函数，当时，，当时，，故不合题意；
绘制二次函数的图像，观察可得满足题意．

故选：．
首先求得导函数的解析式，然后将问题转化为函数在区间上有两个实数根，且上有且只有一个实数根，最后逐一考查所给的选项是否满足题意即可．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，已知函数的极值求参数的方法等知识，属于中等题．
 

11.【答案】 

【解析】解：小球从起点到第个格子一共跳了次，其中向左边跳动次，向右边跳动次，向左向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，所求概率为．
故选：．
小球从起点到第个格子一共跳了次，其中向左边跳动次，向右边跳动次，向左向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，由二项分布的概率公式计算可得．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，
，
求导可得，，
令，解得，
当时，，，
当时，，，
故在 上单调递减，在上单调递增，
故是函数的极小值点，
，
是的一个零点，不妨设，
若，
则，
故，解得．
故选：．
令，利用导数研究函数的单调性，，即可求解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：画出函数在上的图像，如图所示，

由定积分的几何意义可知，，
故答案为：．
画出函数在上的图像，利用定积分的几何意义求解即可．
本题主要考查了定积分的计算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于，
则且，则，所以，
又，所以，即，
所以．
故答案为：．
利用正态分布的对称性，得到，从而得到，列出等式，求解即可．
本题考查了正态分布的理解和应用，解题的关键是掌握正态曲线的对称性，考查了逻辑推理与运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：表示事件“经次传球后，球在甲的手中”．
设次传球后球在甲手中的概率为，，，，，．
则有，．
所以．
即，，，，
所以，且．
所以数表示以为首项，为公比的等比数列．
所以，所以
故次传球后球在甲手中的概率是．
故答案为：．
记次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，利用全概率公式列式，再借助数列递推公式求通项，当时计算即可．
本题主要考查古典概型，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：当时，显然方程，不满足题意；
当时，方程化为，只有一个解，不满足题意；
当时，由可得，，
两边取自然对数得，，
，
，
设，则，
令得，，
当时，，单调递减；当时，，
单调递增；当时，，单调递减，
在处取得极大值，极大值为，
又当时，；当时，；当时，；当时，，
画出函数的大致图象，如图所示，
方程至多有个不同的解，等价于函数与至多有个交点，
由函数的图象可知，，
设，
则有，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以；
所以，
作出的大致图象，如图所示；

设，
则的解集为，
所以的最大值为．
故答案为：．
分，，三种情况讨论，当时，设，利用导数得的单调区间及值极，作出的大致图象，结合图象得，再令，上式等价于，利用导数得的单调区间及值极，作出的大致图象，结合图象可得的范围，即可得答案．
本题考查了转化思想、导数的综合运算及数形结合思想，综合性较强，属于难题．
 

17.【答案】Ⅰ解：由，，可得：，，，
由，，，可猜想：．
Ⅱ证明：当时，成立；
假设当时，猜想成立，即．
则当时，
，
即当时，猜想成立，
由可知，对于任意的，都有成立．
综上所述，猜想得证． 

【解析】Ⅰ根据首项和递推公式可求出，，，根据，，，可猜得通项公式；
Ⅱ根据数学归纳法的步骤进行证明即可．
本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法的应用等知识，属于中等题．
 

18.【答案】解：二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，
前三项系数的绝对值分别为，，，
，即，求得舍去，或．
二项式，即，它的通项公式为，
令，可得，故展开式的常数项为．
二项式系数为，故当时，二项式系数最大，故第五项二项式系数最大，
该项为． 

【解析】等差数列的性质及二项式系数的性质列式求得；
直接求解第三项的二项式系数，然后写出二项展开式的通项，由的指数为求得，则展开式中常数项可求；再据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，是中档题．
 

19.【答案】解：，
当时，，故在恒成立，故在单调递减，
当时，，故在恒成立，故在单调递增，
当时，令，解得，故在单调递增，单调递减，
综上所述：时，故在单调递增，时，在单调递增，单调递减，时，在单调递减；
由有：当时，在单调递减，
，即在无零点，满足题意，
当时，故在单调递增，
，即在无零点，满足题意，
当时，在单调递增，单调递减，
因为，要使得无零点，仅需大于等于即可，
，解得：，
所以，
综上所述，的取值范围是：． 

【解析】对函数求导，讨论其极值点与定义域区间端点的大小关系；
根据所判断的单调性分类讨论研究函数零点即可．
本题主要考查利用导函数讨论函数单调性及求解函数最值，属于中档题．
 

20.【答案】解：由表中数据可得，随着年份的增长，市场规模增长速度越来越快，故更适宜．
，，，
因为系数要求精确到，
所以关于的回归方程为． 

【解析】结合表中的增长速度，即可求解．
根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．
 

21.【答案】解：记乙同学最终得分为事件，
则可能情况为甲回答两题且错两题；甲、乙各答一题且各对一题；乙回答两题且对一题错一题，
则，
所以乙同学得分的概率是．
甲同学的最终得分的所有可能取值是，，，，．
当时，其概率值为：
，
当时，其概率值为：
，
当时，其概率值为：
，
当时，其概率值为：
，
当时，其概率值为：
．
的分布列为：

结合分布列可计算随机变量的数学期望：
，
所以的数学期望为． 

【解析】根据题意得到乙同学最终得分的所有可能情况，求出其概率再相加即可；
根据题意写出甲同学的最终得分的所有可能取值，求出其概率再运用期望计算公式求得的数学期望即可．
本题主要考查离散型随机变量及其分布列，概率统计的实际应用等知识，属于中等题．
 

22.【答案】解：Ⅰ因为，．
所以．
依题意，，
所以．
Ⅱ令，得，，的情况如下：

所以极值点为，，不妨设，即，．
所以，．
所以．
所以．
Ⅲ法一：
当时，在单调递增，
此时，
解得或舍．
当时，在单调递减，在单调递增，
此时或，
解得，，，均舍．
当时，在单调递减，
此时，与矛盾．
当时，在单调递增，在单调递减，
此时，
解得舍．
当时，此时在单调递增．
此时，
解得舍或．
综上，或．
法二：根据函数的单调性，最大值只可能为，，．
解方程，，可得，，，．
经检验，只有，符合题意． 

【解析】Ⅰ对函数求导，依题意可得，由此可求得的值；
Ⅱ表示出与，然后作差比较即可；
Ⅲ法一：分，，，及讨论函数的单调性，进而得到最值，由此建立关于的方程，解出即可；法二：根据函数的单调性，最大值只可能为，，，解方程后验证即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查作差法比较大小，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．