浙江省四校2022届高三下学期数学联考试卷及答案

浙江省四校2022届高三下学期数学联考试卷

一、单选题

1．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（　　）

A． B．

C． D．

2．已知复数，且，则（　　）

A． B． C．1 D．2

3．已知实数，满足约束条件，若目标函数的最大值是7，则实数（　　）

A． B． C． D．

4．“”是“”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．设随机变量，满足：，，若，则（　　）

A．3 B． C．4 D．

6．函数的图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

7．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（　　）

A．48 B．54 C．60 D．72

8．如图，在边长为2的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，则以下结论不正确的是（　　）

A．

B．直线与平面所成角最大值为

C．面积的最小值是

D．当时，平面平面

9．已知点F为双曲线(，)的左焦点，过原点O的直线与双曲线交于A、B两点(点B在双曲线左支上)，连接BF并延长交双曲线于点C，且，AF⊥BC，则该双曲线的离心率为(　　)

A． B． C． D．

10．已知正项数列满足，，则（　　）

A．对于任意正数，数列是单调

B．当时，数列的最大项是

C．当时，对恒成立

D．当时，对恒成立

二、填空题

11．已知实数，，满足，则直线恒过定点　          　，该直线被圆所截得弦长的取值范围为　        　.

12．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为，总结规律并以此类推下去，第个图形对应的点数为　     　，若这些数构成一个数列，记为数列，则　     　．

13．已知，则=　     　，=　     　．

14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　     　，表面积为　     　． 

15．在△中，角所对的边分别是，若，，则的最小值为　     　．

16．若不等式恒成立，则a的取值范围是　              　.

17．已知单位向量满足，，则对任意，的最小值为　     　.

三、解答题

18．已知函数 满足 ． 

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）设 ，且 ，求sin2α．

19．如图1所示，在矩形中，，，为中点，将沿折起，使点到点处，且平面平面，如图2所示.

（1）求证：；

（2）在棱上取点，使平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.

20．已知数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）等差数列满足，对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；

（3）若数列，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列是等差数列．

21．已知、分别为椭圆的右焦点和左顶点，，分别在椭圆上运动，点，分别在直线，上.

（1）若，求的值；

（2）记，若直线过点，求证：.

22．已知函数的图象与轴相切于原点．

（1）求，的值；

（2）若在上有唯一零点，求实数的取值范围．

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】D

3．【答案】B

4．【答案】A

5．【答案】C

6．【答案】D

7．【答案】C

8．【答案】C

9．【答案】B

10．【答案】D

11．【答案】（-1，2）；

12．【答案】92；336

13．【答案】-240；0

14．【答案】12；36

15．【答案】12

16．【答案】(-∞，2-2ln2]

17．【答案】

18．【答案】解：（Ⅰ）∵函数 ，  

∴ ，

∵ ，∴ ，

∴ ，

又 故 ；

（Ⅱ）由题意

，

∴ ，

∵ ，∴ ，

∴ ，

故

.

19．【答案】（1）证明：在矩形中，连接交于点，

由题知，，，

所以，即，

又，所以，

所以，即，

故在翻折后的四棱锥中，有，

又，所以平面，

又平面，所以

（2）解：如图所示，以点为原点，方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，

在矩形中，经计算可得，

因此，

过点作于点，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，所以，

又由(1)知，且，

所以平面，

所以，即有，

因为点在上，设，则，

由解得，即，

又平面的一个法向量为，且，

设直线与平面所成角为，

则

所以直线与平面所成角的正弦值为

20．【答案】（1）解：因，即，则当时，，即，

而当，则，即，于是有数列是以为公比，2为首项的等比数列，

因此，，

所以数列的通项公式是：，

（2）解：数列为等差数列且，则公差，，

对于任意的，恒成立，即，亦即恒成立，

令，则，

当，2时，，当时，，

于是得，，则，

所以实数k的取值范围是

（3）证明：对于任意的正整数n，，

当时，，而，则，

当时，，

上式两边同时乘以得：，

因此，，

即，从而有，而也满足上式，则，，，

所以数列是以为首项，公差为 的等差数列

21．【答案】（1）解：因为，

所以，

所以，

设，而，

则，

解得，，将其代入，

解得

（2）证明：设，若，则为椭圆的右顶点，

由直线过点知，为椭圆的左顶点，不符合题意，

所以，同理，

直线的方程为，联立椭圆得，消去，

整理得，

成立，

由，解得，

所以，所以，

当时，，，即直线轴，

由椭圆的对称性可得，

又因为，所以，

当时，，

直线的斜率，

同理，

因为过点，所以，所以，

在和中，

，，

所以，

因为，均为锐角，所以，

综上所述，若直线过点，则

22．【答案】（1）解：，

依题意，

即解得

（2）解：由（1）得，记，，所以，

①当时，

（ⅰ）当时，，所以为增函数，

又因为，，

所以存在唯一实数，使得．

（ⅱ）当时，，则．

由（ⅰ）（ⅱ）可知，单调递减，单调递增．

因为，

所以存在唯一实数，使得，

所以当时，，即单调递减；

，，即，单调递增．

因为，

所以存在唯一实数：，使得，

即在上有唯一零点，符合题意．

②当时，

，

记．

，

所以，

所以为增函数，，

所以为增函数，，则，

所以在上没有零点，不合题意，舍去．

综上，a的取值范围为．