河北省廊坊市第十二中学2022届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题 含答案

廊坊市十二中学2022届第一次模拟试题

高三数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1.设复数，为虚数单位，求（    ）

A. B. C. D.

2.集合，，求（    ）

A. B. C. D.

3.在各项均为正数的等比数列中，，且有，求（    ）

A.2 B.4 C.64 D.128

4.“”是“向量，，则”的什么条件（    ）

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要

5、如右图所示的程序框图，输入3个数，，，，则输出的为（    ）

A.0 B. C. D.

6.在《张丘建算经》中有一题“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”。意思为：现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，则该女子第30天比第1天多织布的尺数为（    ）

A. B.21 C. D.16

7.由0，1，2，3，4这5个数组成无重复数字的五位数且为偶数，共有多少种排法（    ）

A.24 B.48 C.60 D.62

8.函数是上的奇函数，满足，当时，有，求的值（    ）

A.0 B.1 C. D.

9.我市在2021年7月22日晚普降大雨，全市多地受灾严重，多条河流水位超警戒水位。某水文观测站，测得某条河流的水深与观测时间的线性回归方程为及变量，之间的相关数据如下表所示：

则下列说法正确的是（    ）

A.

B.该回归直线方程恒过点

C.可以预测，当时，

D.变量，之间呈正相关关系

10.知，为锐角，，则有（    ）

A. B. C. D.

11.在椭圆，（）的左右焦点分别为，过垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，求椭圆的离心率为（    ）

A. B. C. D.

12.已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上。

13.在，的正方形区域中任取一点，则点落在曲线下方的概率为______.

14.展开式中二项式系数和为______，展开式中常数项为______.

15.在三棱锥中，面，，，，求三棱锥外接球的表面积为_______.

16、已知双曲线，（，）的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则直线的斜率是双曲线的渐近线方程为______.

三、解答题：本大题共6小题，攻70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.11~21题为必考，每个题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必答题：共60分

17.（12分）、在一次联考中某两校共有3000名学生参加，成绩的频率分布直方图如图所示：

（1）求在本次考试中成绩处于内的学生人数。

（2）以两校这次考试成绩估计全省考生的成绩情况，现从全省考生中随机选取3人，记成绩在110分（包含110）以上的考生人数为，求的分布列和数学期望。

18.（12分）已知，，且

（1）求的单调区间。

（2）在中，，，的对边分别为，，，当，，，求的面积。

19.（12分）如图在四棱锥中，底面是矩形，，，，为的中点，面面。

（1）证明：面

（2）求二面角夹角的余弦值。

20.（12分）、已知抛物线，（）的焦点与椭圆的右焦点重合。

（1）求抛物线的方程。

（2）直线与抛物线交于，两点，当为何值时，以为直径的圆，恒过原点。

21（12分）、已知函数

（1）求的单调区间。

（2）若，证明：对任意的时恒成立。

（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一个作答，如果多做，则按所做的第一题计分

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

已知曲线，直线（为参数）

（1）写出曲线和直线的直角坐标方程。

（2）直线与曲线相交，点，设点，求。

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数且为非零常数.

（1）当时，求的解集；

（2）当时，求证

数学（理科）试卷参考答案

一、选择题：

1、D 2、A 3、C 4、A 5、D

6、D 7、C 8、A 9、C 10、C

11、A 12、B（提示：构造函数）

二、填空题：.

13、 14、64， 15、 16、，

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17、

解：（1）的频率为-------------------------------------------------2分

的人数为人-------------------------------------------------------4分

（2）由题可知110分及以上的考生概率为-------------6分

成绩在110分及以上的考生人数为----------------------------------------------7分

---10分

-------------------------------------------------------------------------12分

18、

解：（1），

----------------------------------------------------1分

-----------------------------------------------------------------------------2分

所以函数在，（）单调递增；

在，（）单调递减。------------------------5分

（2）方法一：由（1）可知

--------------------------------------------------------------------6分

角为锐角，-------------------------------------------------------------------8分

由，，

可知三角形为直角三角形，-------------------------------------------------------------10分

则-----------------------------------------------------------------------12分

方法一：由（1）可知

即

①

②

由①②及，

可得--------------------------------------------------------------------8分

由及，

可得----------------------------------------------------------------------------10分

12分

19、

证明：（1）

，，为的中点

----------------------------------2分

又为矩形且

，

-------------------------------------------------------------3分

，

面-------------------------------------------------------------------5分

（2）解：取得中点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系

，，，

面的一个法向量为------------------------------------------6分

设面的一个法向量为

，

令则，

-----------------------------------------------------------------------9分

------------------------------------------------10分

二面角为锐角，

----------------------------------------------12分

20、

解：因为椭圆的右焦点为------------------------------------1分

又因为，（）的焦点为-----------------------------------------2分

所以即

所以抛物线的方程为-------------------------------------------------------4分

（2）因为直线与抛物线交于，两点

联列方程可得

，-----------------------------------6分

由解得，设，，

以为直径的圆，恒过原点。

则

------------------------------------------------------------------------------8分

，，

解得，

所以当，时，为直径的圆，恒过原点-----------------------------12分

21、

解：（1）已知函数的定义域为-------------------------------------1分

--------------------------------------------------------2分

令即，又因为，所以即--------------------3分

令即，又因为，所以即----------------4分

在单调递减；在单调递增。--------------------------5分

（2）因为定义域为

-----------------------------------------------------------6分

令

及

则在单调递增-------------------------------------8分

则在单调递增

-----------------------------------------------10分

对任意的时恒成立-------------------------------------------12分

22、

解：（1）∵

∴

-----------------------------------------------------------2分

又∵即∵两式相减可得---------------------4分

（2）由题可知将代入中-------------------6分

化简可得

，------------------------------------------------8分

又因为在圆内，所以

--------------10分

23、（1）解：因为所以

--------------------1分

当时，即；--------------------------------------------2分

当时，恒成立；---------------------------------------------------------------3分

当时，即；--------------------------------------------4分

综上所述----------------------------------------------------5分

（2）由题可知------------------7分

又因为，即，-------------------------------------------8分

所以----------------------------------------10分