北京三十一中2021-2022学年中考数学四模试卷含解析

这是一份北京三十一中2021-2022学年中考数学四模试卷含解析，共26页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列各运算中，计算正确的是，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022中考数学模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．有一组数据：3，4，5，6，6，则这组数据的平均数、众数、中位数分别是（ ）
A．4.8，6，6 B．5，5，5 C．4.8，6，5 D．5，6，6
2．如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（　　）

A． B． C． D．
3．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（　 　）
A．﹣10= B．+10=
C．﹣10= D．+10=
4．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　

A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，已知AB∥CD，AD＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
6．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为( )

A．8 B．10 C．13 D．14
7．下列各运算中，计算正确的是（　　）
A．a12÷a3=a4 B．（3a2）3=9a6
C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2 D．2a•3a=6a2
8．随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价20%，现售价为a元，则原售价为（　　）
A．（a﹣20%）元 B．（a+20%）元 C．a元 D． a元
9．下列计算正确的是( )
A．(a－3)2＝a2－6a－9 B．(a＋3)(a－3)＝a2－9
C．(a－b)2＝a2－b2 D．(a＋b)2＝a2＋a2
10．如图，已知BD与CE相交于点A，ED∥BC，AB=8，AC=12，AD=6，那么AE的长等于（ ）

A．4 B．9 C．12 D．16
11．实数的倒数是（ ）
A． B． C． D．
12．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，矩形ABCD，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得矩形AEFG，连接CG、EG，则∠CGE=________．

14．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD=_______°．

15．已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则扇形半径为_____．
16．因式分解：=______．
17．已知，则＝_______．
18．已知正方形ABCD的边长为8，E为平面内任意一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，当点B，D，G在一条直线上时，若DG=2，则CE的长为_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x 的函数关系图象．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）直接写出自变量x的取值范围．

20．（6分）小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？

21．（6分）某农场用2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
22．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：

（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？
（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；
（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．
23．（8分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．

（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，CE＝2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．
24．（10分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．

25．（10分）如图，AC是的直径，点B是内一点，且，连结BO并延长线交于点D，过点C作的切线CE，且BC平分．
求证：；
若的直径长8，，求BE的长．

26．（12分）已知一次函数y＝x+1与抛物线y＝x2+bx+c交A（m，9），B（0，1）两点，点C在抛物线上且横坐标为1．
（1）写出抛物线的函数表达式；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）平面内是否存在点Q在直线AB、BC、AC距离相等，如果存在，请直接写出所有符合条件的Q的坐标，如果不存在，说说你的理由．

27．（12分）如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B，点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D，CF为⊙O的切线交BM于点F．
（1）求证：CF＝DF；
（2）连接OF，若AB＝10，BC＝6，求线段OF的长．




参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、C
【解析】
解：在这一组数据中6是出现次数最多的，故众数是6；
而将这组数据从小到大的顺序排列3，4，5，6，6，处于中间位置的数是5，
平均数是：（3+4+5+6+6）÷5=4.8，
故选C．
【点睛】
本题考查众数；算术平均数；中位数．
2、A
【解析】
过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，x+3），得出DN=x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=，求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（x+3）2+（-x）2=()2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON=求出即可．
【详解】
过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，

∵N在直线y=x+3上，
∴设N的坐标是（x，x+3），
则DN=x+3，OD=-x，
y=x+3，
当x=0时，y=3，
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
即OA=4，OB=3，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，
∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，
∴3×4=5OC，
OC=，
∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴sin45°=，
∴ON=，
在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2，
即（x+3）2+（-x）2=()2，
解得：x1=-，x2=，
∵N在第二象限，
∴x只能是-，
x+3=，
即ND=，OD=，
tan∠AON=．
故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．
3、B
【解析】
根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．
【详解】
解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：
+10=．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
4、B
【解析】
根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD=DB= AB=
在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2，
解得，OA=4
∴OD=OC-CD=3，
∵AO=OE,AD=DB,
∴BE=2OD=6
故选B
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键
5、C
【解析】
由等腰三角形的性质可求∠ACD＝70°，由平行线的性质可求解．
【详解】
∵AD＝CD，∠1＝40°，
∴∠ACD＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝70°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．
6、C
【解析】
根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案．
【详解】
连接PE、PF、PG，AP，
由题意可知：∠PEC＝∠PFA＝PGA＝90°，
∴S△PBC＝BC•PE＝×4×2＝4，
∴由切线长定理可知：S△PFC+S△PBG＝S△PBC＝4，
∴S四边形AFPG＝S△ABC+S△PFC+S△PBG+S△PBC＝5+4+4＝13，
∴由切线长定理可知：S△APG＝S四边形AFPG＝，
∴＝×AG•PG，
∴AG＝，
由切线长定理可知：CE＝CF，BE＝BG，
∴△ABC的周长为AC+AB+CE+BE
＝AC+AB+CF+BG
＝AF+AG
＝2AG
＝13，
故选C．

【点睛】
本题考查切线长定理，解题的关键是画出辅助线，熟练运用切线长定理，本题属于中等题型．
7、D
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得.
【详解】A、原式=a9，故A选项错误，不符合题意；
B、原式=27a6，故B选项错误，不符合题意；
C、原式=a2﹣2ab+b2，故C选项错误，不符合题意；
D、原式=6a2，故D选项正确，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键．
8、C
【解析】
根据题意列出代数式，化简即可得到结果．
【详解】
根据题意得：a÷(1−20%)=a÷= a(元)，
故答案选：C.
【点睛】
本题考查的知识点是列代数式，解题的关键是熟练的掌握列代数式.
9、B
【解析】
利用完全平方公式及平方差公式计算即可．
【详解】
解：A、原式=a2-6a+9，本选项错误；
B、原式=a2-9，本选项正确；
C、原式=a2-2ab+b2，本选项错误；
D、原式=a2+2ab+b2，本选项错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．
10、B
【解析】
由于ED∥BC，可证得△ABC∽△ADE，根据相似三角形所得比例线段，即可求得AE的长．
【详解】
∵ED∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴ =，
∴ ==，
即AE=9；
∴AE=9.
故答案选B.
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.
11、D
【解析】
因为＝，
所以的倒数是.
故选D.
12、B
【解析】
A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选C．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、45°
【解析】
试题解析：

如图，连接CE，
∵AB=2，BC=1，
∴DE=EF=1，CD=GF=2，
在△CDE和△GFE中

∴△CDE≌△GFE(SAS)，
∴CE=GE，∠CED=∠GEF，



故答案为
14、15
【解析】
根据圆的基本性质得出四边形OABC为菱形，∠AOB=60°，然后根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系得出答案．
【详解】
解：∵OABC为平行四边形，OA=OC=OB，
∴四边形OABC为菱形，∠AOB=60°，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD=30°，
∴∠BAD=30°÷2=15°．
故答案为：15.
【点睛】
本题主要考查的是圆的基本性质问题，属于基础题型．根据题意得出四边形OABC为菱形是解题的关键．
15、1
【解析】
根据弧长公式l=代入求解即可．
【详解】
解：∵，
∴．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=．
16、2（x+3）（x﹣3）．
【解析】
试题分析：先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）.
考点：因式分解.
17、3
【解析】
依据可设a=3k,b=2k，代入化简即可．
【详解】
∵，
∴可设a=3k,b=2k，
∴=3
故答案为3.
【点睛】
本题主要考查了比例的性质及见比设参的数学思想，组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
18、2或2．
【解析】
本题有两种情况，一种是点在线段的延长线上，一种是点在线段上，解题过程一样，利用正方形和三角形的有关性质，求出、的值，再由勾股定理求出的值，根据证明，可得，即可得到的长.
【详解】
解：

当点在线段的延长线上时，如图3所示.
过点作于，
是正方形的对角线，
,

,
在中，由勾股定理，得：
,
在和中，，
,


，
当点在线段上时，如图4所示.
过作于．
是正方形的对角线，


，

在中，由勾股定理，得：

在和中，，
,


，
故答案为或．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和三角形全等的证明.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）y=-2x+31，（2）20≤x≤1
【解析】
试题分析：（1）根据函数图象经过点（20，300）和点（30，280），利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式；
（2）根据试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克1元，结合草莓的成本价即可得出x的取值范围．
试题解析：
（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：

解得：
∴y与x的函数解析式为y=-2x+31，
(2) ∵试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克1元，且草莓的成本为每千克20元，
∴自变量x的取值范围是20≤x≤1．
20、（1）结果见解析；（2）不公平，理由见解析.
【解析】
判断游戏是否公平，即是看双方取胜的概率是否相同，若相同，则公平，不相同则不公平．
21、1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4hm2和0.2hm2.
【解析】
此题可设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题中的等量关系列出二元一次方程组解答即可
【详解】
设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷
根据题意可得
解得
答：每台大小收割机每小时分别收割0.4公顷和0.2公顷.
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键在于弄清题意，找到合适的等量关系
22、（4）500；（4）440，作图见试题解析；（4）4.4．
【解析】
（4）利用0.5小时的人数除以其所占比例，即可求出样本容量；
（4）利用样本容量乘以4.5小时的百分数，即可求出4.5小时的人数，画图即可；
（4）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．
【详解】
解：（4）由题意可得：0.5小时的人数为：400人，所占比例为：40%，
∴本次调查共抽样了500名学生；
（4）4.5小时的人数为：500×4.4=440（人），如图所示：

（4）根据题意得：=4.4，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间为4.4小时．
考点：4．频数（率）分布直方图；4．扇形统计图；4．加权平均数．
23、见解析
【解析】
试题分析：（1）先证得四边形ABED是平行四边形，又AB=AD， 邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四边形ABED是菱形，∠ABC=60°，所以∠DEC=60°，AB=ED，又EC=2BE，EC=2DE，可得△DEC是直角三角形．
试题解析：梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
又AB=AD，
∴四边形ABED是菱形；
（2）∵四边形ABED是菱形，∠ABC=60°，
∴∠DEC=60°，AB=ED，
又EC=2BE，
∴EC=2DE，
∴△DEC是直角三角形，
考点：1．菱形的判定；2．直角三角形的性质；3．平行四边形的判定
24、（1）AE=DF，AE⊥DF，理由见解析；（2）成立，CE:CD=或2；（3）
【解析】
试题分析：（1）根据正方形的性质，由SAS先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形的边长为a，由勾股定理求出AC=AE=a，根据正方形的性质知∠ADC=90°，然后根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；
（3）由（1）（2）知：点P的路径是一段以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最大，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．
试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中
，
∴，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，
∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°-90°=90°，
∴AE⊥DF；
（2）（1）中的结论还成立，
有两种情况：

①如图1，当AC=CE时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得，
，
则；

②如图2，当AE=AC时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，
∴DE=CD=a，
∴CE:CD=2a:a=2；

即CE:CD=或2；
（3）∵点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是以AD为直径的圆，
如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，
此时CP的长度最大，
∵在Rt△QDC中，
∴，
即线段CP的最大值是.
点睛：此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，能综合运用性质进行推挤是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大.
25、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
先利用等腰三角形的性质得到，利用切线的性质得，则CE∥BD，然后证明得到BE=CE；
作于F，如图，在Rt△OBC中利用正弦定义得到BC=5，所以，然后在Rt△BEF中通过解直角三角形可求出BE的长．
【详解】
证明：，，
，
是的切线，
，
，
．
平分，
，
，

；
解：作于F，如图，
 的直径长8，
．
，
，
，
，
在中，
设，则，
，即，解得，
．
故答案为（1）证明见解析；（2） ．
【点睛】
本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连半径，见垂直也考查了解直角三角形．
26、（1）y＝x2﹣7x+1；（2）△ABC为直角三角形．理由见解析；（3）符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．
【解析】
（1）先利用一次函数解析式得到A（8，9），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先利用抛物线解析式确定C（1，﹣5），作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，证明△ABM和△BNC都是等腰直角三角形得到∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝8 ，BN＝1，从而得到∠ABC＝90°，所以△ABC为直角三角形；
（3）利用勾股定理计算出AC＝10 ，根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到Rt△ABC的内切圆的半径＝2 ，设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，则AI、BI为角平分线，BI⊥y轴，PQ为△ABC的外角平分线，易得y轴为△ABC的外角平分线，根据角平分线的性质可判断点P、I、Q、G到直线AB、BC、AC距离相等，由于BI＝×2＝4，则I（4，1），接着利用待定系数法求出直线AI的解析式为y＝2x﹣7，直线AP的解析式为y＝﹣x+13，然后分别求出P、Q、G的坐标即可．
【详解】
解：（1）把A（m，9）代入y＝x+1得m+1＝9，解得m＝8，则A（8，9），
把A（8，9），B（0，1）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣7x+1；
故答案为y＝x2﹣7x+1；
（2）△ABC为直角三角形．理由如下：
当x＝1时，y＝x2﹣7x+1＝31﹣42+1＝﹣5，则C（1，﹣5），
作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，
∵B（0，1），A（8，9），C（1，﹣5），
∴BM＝AM＝8，BN＝CN＝1，
∴△ABM和△BNC都是等腰直角三角形，
∴∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝8，BN＝1，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC为直角三角形；
（3）∵AB＝8，BN＝1，
∴AC＝10，
∴Rt△ABC的内切圆的半径＝，
设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，
∵I为△ABC的内心，
∴AI、BI为角平分线，
∴BI⊥y轴，
而AI⊥PQ，
∴PQ为△ABC的外角平分线，
易得y轴为△ABC的外角平分线，
∴点I、P、Q、G为△ABC的内角平分线或外角平分线的交点，
它们到直线AB、BC、AC距离相等，
BI＝×2＝4，
而BI⊥y轴，
∴I（4，1），
设直线AI的解析式为y＝kx+n，
则，
解得，
∴直线AI的解析式为y＝2x﹣7，
当x＝0时，y＝2x﹣7＝﹣7，则G（0，﹣7）；
设直线AP的解析式为y＝﹣x+p，
把A（8，9）代入得﹣4+n＝9，解得n＝13，
∴直线AP的解析式为y＝﹣x+13，
当y＝1时，﹣x+13＝1，则P（24，1）
当x＝0时，y＝﹣x+13＝13，则Q（0，13），
综上所述，符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．

【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质和三角形内心的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质是解题的关键．
27、（1）详见解析；（2）OF＝．
【解析】
（1）连接OC，如图，根据切线的性质得∠1+∠3=90°，则可证明∠3=∠4，再根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后根据等角的余角相等得到∠BDC=∠5，从而根据等腰三角形的判定定理得到结论；
（2）根据勾股定理计算出AC=8，再证明△ABC∽△ABD，利用相似比得到AD=，然后证明OF为△ABD的中位线，从而根据三角形中位线性质求出OF的长．
【详解】
（1）证明：连接OC，如图，

∵CF为切线，
∴OC⊥CF，
∴∠1+∠3＝90°，
∵BM⊥AB，
∴∠2+∠4＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠3+∠5＝90°，∠4+∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠5，
∴CF＝DF；
（2）在Rt△ABC中，AC＝＝8，
∵∠BAC＝∠DAB，
∴△ABC∽△ABD，
∴，即，
∴AD＝，
∵∠3＝∠4，
∴FC＝FB，
而FC＝FD，
∴FD＝FB，
而BO＝AO，
∴OF为△ABD的中位线，
∴OF＝AD＝．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．