2021-2022学年河北省保定市莲池区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年河北省保定市莲池区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如果，那么下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列多项式中，能进行因式分解的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，，，是五边形的三个外角，边，的延长线交于点，如果，那么的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列式子从左到右的变形一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 不等式的正整数解的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在方格纸中，经过变换得到，正确的变换是(    )

A. 把绕点逆时针方向旋转，再向下平移格
B. 把向下平移格，再绕点逆时针方向旋转
C. 把绕点顺时针方向旋转，再向下平移格
D. 把向下平移格，再绕点顺时针方向旋转
 

8. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 小颖乘公交车去离家千米的展览馆看画展，出发分钟后，爸爸发现小颖忘带门票了，于是立即开车给她送门票，结果两人同时到达展览馆，若开车的平均速度是公交车的平均速度的倍．若设公交车的平均速度为千米时，根据题意，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 若式子有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 或 D. 且

12. 如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连结，则的周长等于(    )

A.  B.  C.  D.

13. ▱中，，为对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是(    )

A.  B.
C.  D.

14. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

15. 如图所示，已知在中，，，交于点，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

16. 如图，将▱沿对角线进行折叠，折叠后点落在点处，交于点，有下列结论：≌；；；，其中正确结论的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共3小题，共9分）

17. 若多项式因式分解为，则______．
18. 已知方程有增根，则的值为______．
19. 如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为______秒时，直线在四边形内部截出一个平行四边形．

三、解答题（本大题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    计算
    因式分解；
    解方程；
    解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
     
21. 本小题分
    先将化简，再从，，三个数中选择一个合适的数作为的值代入求值．
22. 本小题分
    如图，点，，，在直线上之间不能直接测量，点、在异侧，测得，，．
    求证：≌；
    连接、，求证：四边形是平行四边形．

23. 本小题分
    阅读与思考
    如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

任务：
填空：“办法一”依据的一个数学定理是______；
根据“办法二”的操作过程，证明；
尺规作图：请在图的木板上，过点作出的垂线在木板上保留作图痕迹，不写作法；
说明你的作法所依据的数学定理或基本事实写出一个即可．

24. 本小题分
    阅读下列材料：
    关于的方程：的解是，；即的解是；的解是，；的解是，；
    请观察上述方程与解的特征，比较关于的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．
    由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
    如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于的方程：．
25. 本小题分
    某花卉市场计划购进，两种盆栽共盒，这两种盆栽的进价和售价如表所示：

已知用元全部购进种盆载的数量比用元全部购进种盆栽的数量多盆，求的值；
花卉市场规定种盆栽的进货数量不超过种盆栽进货数量的倍，应该怎样制定方案使花卉市场在销售完这两种盆载后获得的利润最大，最大利润为多少？

26. 本小题分
    在一节数学综合实践课上，张老师将两个等腰直角三角形摆放在一起，带领同学们进行了如下探究．如图，在和中，，，．
    【初步感知】
    如图，点在边上，连接，若，求的长度；
    【深入探究】
    如图，将绕点逆时针旋转，旋转过程中，直线分别与直线、交于点、，当是等腰三角形时，求旋转角的度数；
    【拓展延伸】
    小明课下继续探究，将绕点继续旋转，当点、、在同一条直线上，连接如图，小明发现，只要过点作，即可探究、和之间的数量关系，请你帮助小明完成上述探究．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后和原图形重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，当，时不成立，故该选项不符合题意；
选项，不等式两边都乘，不等号的方向改变，故该选项符合题意；
选项，当，时不成立，故该选项不符合题意；
选项，当，时不成立，故该选项不符合题意；
故选：．
通过举反例排除，，选项；根据不等式的基本性质判断选项．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，无法分解因式，故此选项不合题意；
B、，无法分解因式，故此选项不合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用公式法分解因式进而判断得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：多边形的外角和为，
，
，
．
故选：．
利用多边形的外角和为即可求解．
本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．任意多边形的外角和等于．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、当时，，错误，不符合题意；
D、，错误，不符合题意．
故选：．
根据分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
可取的正整数有，，，共个，
故选：．
先求出不等式的解集，再取符合条件的正整数即可．
本题考查求一元一次不等式的正整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，把绕点顺时针方向旋转，再向下平移格可得，
故选：．
由图形可直接求解．
本题考查了旋转的性质，平移，利用数形结合解决问题是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，令时，则，
，
，
由图可得：不等式的解集为．
故选：．
先求出点坐标，再观察图象，利用一次函数与一元一次不等式的关系得出结论．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

9.【答案】 

【解析】解：开车的平均速度是公交车的平均速度的倍，公交车的平均速度为千米时，
开车的平均速度为千米时．
依题意得：，
即．
故选：．
由开车及公交车速度间的关系，可得出开车的平均速度为千米时，利用时间路程速度，结合开车比乘公交车少用分钟，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、因为高相等，三个底是平行四边形的底，根据三角形和平行四边形的面积可知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；
B、因为两阴影部分的底与平行四边形的底相等，高之和正好等于平行四边形的高，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；
C、根据平行四边形的对称性，可知小阴影部分的面积等于小空白部分的面积，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；
D、无法判断阴影部分面积是否等于平行四边形面积一半，错误．
故选：．
利用平行四边形的性质，根据三角形的面积和平行四边形的面积逐个进行判断，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，并利用性质结合三角形的面积公式进行判断，找出选项．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
且．
故选：．
根据分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，平分，，
，，
点为的中点，
，
的周长．
故选：．
根据等腰三角形三线合一的性质可得，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：、由，无法判断，故本选项符合题意；
B、如图，连接与相交于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、四边形是平行四边形，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即，
四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：．
连接与相交于，根据平行四边形的对角线互相平分可得，，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
原式，
故选：．
先根据得出与的关系，再代入所求代数式进行计算即可．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据全等三角形的判定和性质定理以及平角的定义即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平角的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由折叠可得，，，
又平行四边形中，，，
，，
在和中，
，
≌，故正确；
，
，
，即，故正确；
，
又，
，
，故正确；
不一定是的中点，
不一定成立，故错误；
故选：．
根据即可判定≌，根据全等三角形的性质以及等式性质，即可得到，根据，即可得出根据不一定是的中点，可得不一定成立．
本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定与性质以及平行线的判定的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 

17.【答案】 

【解析】解：

，
．
故答案为：．
将展开，合并同类项，与原多项式对照即可得出答案．
本题考查了因式分解，掌握因式分解和整式乘法互为逆变形是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：方程两边都乘以得，
，
分式方程有增根，
，
解得，
，
解得．
故答案为：．
方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的最简公分母等于求出方程有增根，然后代入求解即可得到的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
根据最简公分母确定增根的值；
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

19.【答案】或 

【解析】解：设点运动了秒，
，，，，
当时，且，则四边形是平行四边形，
即，
；
当时，且，则四边形是平行四边形，
即，
，
综上所述：当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点运动了秒或秒，
故答案为：或．
由题意可得，分或两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
 

20.【答案】解：

；
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是原分式方程的解；
，
由得：，
由得：，
原不等式组的解集是，
解集表示在数轴上，如图所示：． 

【解析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解分式方程，因式分解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】解：原式

，
且，
，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌；
≌，
，，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】先证明，再根据即可证明．
根据全等三角形的性质得到，，进而得到，根据平行四边形的判定即可证得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法．
 

23.【答案】解：，，，
，
，
故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；
故答案为：勾股定理的逆定理；
由作图方法可知，，，
，，
，
，
，
即；
如图所示，直线即为所求；
答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 

【解析】根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
根据直角三角形的性质即可得到结论；
根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，正确的理解题意是解题的关键．
 

24.【答案】解：猜想的解是，．
验证：当时，方程左边，方程右边，
方程成立；
当时，方程左边，方程右边，
方程成立；
的解是，；

由得，
，，
，． 

【解析】此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：的解为，，据规律解题即可．
解此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律：的解为，．
 

25.【答案】解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：的值为；
设购进种盆栽盆，则购进种盆栽盆，销售利润元，
由题意得：，
解得：，
由可知，，
由题意得：，
，
随着的增大而减小，
当时，，
此时，
答：购进种盆栽盆，购进种盆栽盆时，销售利润最大，最大利润为元． 

【解析】由题意：用元全部购进种盆载的数量比用元全部购进种盆栽的数量多盆，列出分式方程，解方程即可；
设购进种盆栽盆，则购进种盆栽盆，销售利润元，由题意：种盆栽的进货数量不超过种盆栽进货数量的倍，列出一元一次不等式，解得，再由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】解：如图中，
在中，，
，
；
如图中，当时，，

如图中，当时，．

如图中，当时，，．

综上所述，满足条件的的值为或或；
，
，
，
又，
．
，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
． 

【解析】利用勾股定理求出的长，即可得出答案；
根据图形的旋转分情形分别画出图形，即可解决问题；
利用证明≌，得，，再利用等腰直角三角形三边关系可得答案．
本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．