2021-2022学年北京市顺义区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年北京市顺义区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共16分）

1. 下列图案中，不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 方程的根是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

3. 点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 某校组织环保知识竞赛，为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有名同学成为区级参赛选手的候选人，具体情况如表：

如果从这名同学中选出位参加区级比赛总体水平高且状态稳定，你会推荐(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5. 一元二次方程配方后可化为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如果一组数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7. 学习了四边形之后，王老师用如图所示的方式表示了四边形与特殊的四边形的关系，则图中的“”和“”分别表示(    )

A. 表示菱形，表示正方形 B. 表示正方形，表示菱形
C. 表示正方形，表示梯形 D. 表示菱形，表示梯形

8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数的图象上的一个动点，过点作轴交函数的图象于点，点在轴上点在点的左侧，且，连接，有如下四个结论：
   四边形一定是平行四边形；
   四边形可能是菱形；
   四边形可能是矩形；
   四边形可能是正方形．
   所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共8小题，共16分）

9. 函数中，自变量的取值范围是______．
10. 如图，在中，点，分别是，的中点，若，则的长为______．

11. 某校对名女生的身高进行了测量，身高在单位：这一小组的频率为，则该小组有______人．
12. 在如图所示的多边形中，根据标出的各内角度数，求出的值是______．

13. 若关于的方程的一个根是，则的值是______．
14. 一次函数的图象如图所示，那么 ______， ______填“”或“”．

15. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______．
16. 等边的边长为，点是边上的任意一点不与点，重合，过点分别作，，交，于点，，则四边形的周长是______．

三、解答题（本题共12小题，共68分）

17. 一次函数的图象经过点，，求一次函数的表达式．
18. 已知：如图，四边形和都是平行四边形．求证：四边形是平行四边形．

19. 解方程：．
20. 已知：如图，菱形中，对角线，交于点，，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求矩形的周长．

21. 年北京冬奥会的举办促进了冰雪旅游，小明为了解寒假期间冰雪旅游的消费情况，从某滑雪场的游客中随机抽取了人，获得了这些游客当天消费额单位：元的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：
    滑雪场游客消费额数据的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，，：
    
    滑雪场游客消费额数据在这一组的是：
    
    滑雪场游客消费额数据的平均数为元．
    根据以上信息，解决下列问题：
    求滑雪场游客消费额数据在这一组的频率，并补全频数分布直方图；
    滑雪场游客消费额数据的中位数是______；
    若滑雪场在寒假期间的一个月内日均游客人数为人，估计滑雪场这个月按天计算的游客消费总额．
22. 列方程解应用题：
    某工厂一月份的产品产量为万件，由于工厂管理理念更新，管理水平提高，产量逐月提高，三月份的产量提高到万件，求一至三月该工厂产量的月平均增长率．
23. 已知：直线和外一点．
    求作：的平行线，使它经过点．
    
    作法：在直线上任取一点，以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点；
    连接，分别以点，为圆心，以，的长为半径作弧，两弧相交于点
    点在的上方；
    作直线．
    所以直线即为所求．
    
    使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：连接．
    ，，
    四边形是，______，______填推理依据．
    ______填推理依据．
    即．
24. 已知：关于的方程．
    请判断这个方程根的情况；
    若该方程的一个根小于，求的取值范围．
25. 已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．
    当点的坐标为时．
    求，的值；
    当时，______填“”，“”或“”．
    当时，若交点在第三象限，结合图象，直接写出的取值范围．

26. 在平面直角坐标系中，已知点，点．
    如果四边形是以原点为对称中心的平行四边形，直接写出点，的坐标；
    记横、纵坐标都为整数的点叫做整点．
    写出中的平行四边形内部不包括边界的整点的个数；
    已知▱的对称中心在轴上，且点，点分别在点，的右侧，当▱内部不包括边界的整点的个数恰好为个时，设直线的表达式为，求的值及的取值范围．

27. 如图，是正方形的对角线，点在上，点在边上，作，与射线交于点．
    依题意补全图形；
    用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
    直接写出线段，和之间的数量关系．

28. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的等积点．已知，点．
    在，，中，点的等积点是______；
    若点是点的等积点，求的值；
    点在直线上，若点的等积点原点除外也是点的等积点，求点的坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B、、都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：
则，
解得：，．
故选：．
直接二次项系数化，进而开平方得出答案．
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故选：．
根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，利用关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由于丙的方差较小、平均数较大，则应推荐丙．
故选：．
此题有两个要求：成绩较好，状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛，从而得出答案．
本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

5.【答案】 

【解析】解：方程移项得：，
配方得：，即．
故选：．
方程移项后，两项加上一次项系数一半的平方配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
变化后的数据的平均数是：，
方差是：，
故选：．
根据题目中的数据可以求得变化后的数据的平均数和方差，从而可以解答本题．
本题考查方差、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，会计算一组数据的方差和平均数．
 

7.【答案】 

【解析】解：矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形既是菱形也是矩形，
表示正方形，表示菱形，
故选：．
根据特殊的平行四边形的概念判断即可．
本题考查的是特殊的平行四边形，正确理解矩形、菱形、正方形之间的关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，轴，

，
又，
四边形是平行四边形，
故正确；
设，则，
，
当时，四边形是菱形，
，
，

解得：不符合题意，，
存在的情况，
即四边形可能是菱形，
故正确；
如图，点是函数的图象上的一个动点，

存在点的横坐标为，此时四边形是矩形，
故正确；
当时，，
此时，如图所示，
四边形不为正方形，
故错误，不符合题意；
本题正确的结论有：．
故选：．
由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，可作判断；
根据列方程，方程有解在之间，由此可作判断；
当与的横坐标相等时，四边形是矩形，此种情况存在，可作判断；
在矩形的基础上，计算与不相等，可作判断．
本题反比例函数与四边形的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键是熟知特殊四边形的判定．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：
人，
该小组有人，
故答案为：．
根据频数总次数频率，进行计算即可解答．
本题考查了频数与频率，熟练掌握频数总次数频率是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：五边形的内角和为，
由题意得，，
解得．
故答案为：．
先根据计算五边形的内角和，然后列出关于的方程，解出的值即可．
本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟练掌握内角和的计算公式．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入，则．
解得．
故答案为：．
把代入原方程即可求出的值．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
 

14.【答案】   

【解析】解：直线过一、三、四象限．
．
直线与轴负半轴的交点为．
．
故答案为：，．
由图可以看出，直线过一、三、四象限，则，直线与轴负半轴相交，则．
本题考查了一次函数图象的位置与系数的关系，理解掌握这种关系是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
即，
解得，
故答案为：．
根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，列出方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根的条件．
 

16.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，，
，，
，，四边形为平行四边形，
和都为等边三角形，，，
，，
，
四边形的周长为



．
故答案为：．
由三角形为等边三角形，得到三条边相等，三个角相等都为，再由两直线平行同位角相等及等边三角形的判定得到三角形与三角形为等边三角形，表示出四边形周长，等量代换即可求出所求．
此题考查了等边三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

17.【答案】解：一次函数的图象经过点，，
，解得．
这个一次函数的解析式为：． 

【解析】根据点、的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形为平行四边形．
，且，
四边形是平行四边形
，且，
，且，
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质可得，且，，且，进而可证明四边形为平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
 

19.【答案】解：，
则或，
，． 

【解析】根据本题方程的特点，利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
 

20.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由可知，四边形是矩形，
，，
矩形的周长． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论；
证是等边三角形，得，则，再由勾股定理得，然后由矩形的性质得，，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：由题意知消费额数据在这一组的频数为，
消费额数据在这一组的频率为，
消费额数据在这一组的频数为，
补全图形如下：

滑雪场游客消费额数据的中位数是，
故答案为：；
元，
答：估计滑雪场这个月按天计算的游客消费总额为元．
先根据已知数据得出这一组的频数为，再除以样本容量可得其频率，根据各组人数之和等于总人数可得这一组的频数，继而可补全图形；
用滑雪场游客消费额数据的平均数日均游客人数可得答案．
本题考查频数分布直方图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设一至三月该工厂产量的月平均增长率为，
，
解得，舍去，
即该厂一至三月该工厂产量的月平均增长率是． 

【解析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该厂一至三月份的月平均增长率．
本题考查一元二次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意．列出相应的方程．
 

23.【答案】平行四边形  两组对边分别相等的四边形为平行四边形  平行四边形的两组对边分别平行 

【解析】解：如图，为所作；

证明：连接，
，，
四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，
平行四边形的两组对边分别平行，
即．
故答案为：平行四边形，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，平行四边形的两组对边分别平行．
根据几何语言画出对应的几何图形；
利用作法得到，，根据平行四边形的判定方法得到四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
 

24.【答案】解：在已知一元二次方程中，，，
，
故原方程始终有两个实数根；
，
，
解得，，
由题意，即，
故该方程的一个根小于时，．
故的取值范围为． 

【解析】根据根的判别式即可求出答案．
求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案．
本题考查了一元二次方程根的分布，解题的关键是熟练运用根的判别式以及方程的解法，本题属于中等题型．
 

25.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，
，，
，；
画出函数或函数的图象如图，

观察图象，当时，，
故答案为：；
当时，交点在第三象限，如图，

观察图象，当时，若交点在第三象限，的取值范围．
利用待定系数法即可求得；观察图象求得即可；
根据图象即可求得．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象和性质，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图，点的坐标为，点的坐标为；

由图可知：平行四边形内部不包括边界的整点的个数是个；
四边形是平行四边形，
，
点，点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
直线的解析式为：，

▱内部不包括边界的整点的个数恰好为个，
当过点时，，
当过点时，，，
综上，的值是，的取值范围是． 

【解析】直接根据中心对称的坐标特征写出点，的坐标；
直接根据图可得；
先根据四边形是平行四边形，先计算的解析式，可得，再确定▱内部不包括边界的整点的个数恰好为个时的边界点和，将和两点的坐标代入中可得结论．
本题属于一次函数和平行四边形的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握新定义“整点”，学会利用图象法，寻找特殊点解决问题，此题有一定的难度．
 

27.【答案】解：依题意补全图形如下，

．
证明：过点作于点，于点，

四边形是正方形，
，，
，，
，
四边形是正方形，
，
又，
，
又，
≌，
；
．
证明：由可知，，，
，
又，
，
．
即． 

【解析】依题意补全图形即可；
过点作于点，于点，证出四边形是正方形，得出，证明≌，由全等三角形的性质得出；
由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，寻找全等三角形解决问题．
 

28.【答案】， 

【解析】解：，则，
是点的等积点；
，则，
是点的等积点；
，则，
不是点的等积点；
故答案为：，；
点是点的等积点，
，即，
或；
设点的等积点为，
，
设，则点的等和点为，
，
，即，
解得．
．
根据定义判断即可；
根据定义得到关于的方程，解方程即可；
设点的等积点为，则，设，则点的等积点为，则，进而得出，即方程即可求得的值．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义是解题的关键．