2022-2023学年上海市徐汇区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年上海市徐汇区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数y=3sin(x+π3)的一条对称轴是( )
A. x=0B. x=π6C. x=−π3D. x=π3
2.若AB⋅BC+AB2=0，则三角形ABC必定是三角形.( )
A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 等腰直角
3.已知数列{an}是等比数列，满足a5a11=4a8，数列{bn}是等差数列，且b8=a8，则b7+b9等于( )
A. 24B. 16C. 8D. 4
4.如图1甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则以下结论错误的是( )
A. 2OB+OE+OG=0B. OA⋅OD=−2 2
C. |AH+EH|=4D. |AH+GH|=4+2 2
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知a=(3,−1),b=(−1,2)，则a+b的坐标为______ .
6.函数y=tan(2x−π3)的最小正周期为______ .
7.计算：i=1+∞(14)i=______ .
8.设m=(3,2)，n=(a,−1)，且m//n，则a=______ .
9.函数y=2csx，x∈[−π3,π2]的值域为______ .
10.已知向量a=(2,1),b=(1,−1)，则b在a方向上的数量投影为______ .
11.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，φ∈(0,π)是偶函数，则φ=______ .
12.已知数列{an}，前n项的和是Sn，且Sn=1−(13)n，则an=______ .
13.在△ABC中，若∠C=90∘，AC=BC=4，则BA⋅BC=______.
14.《张丘建算经》卷上第22题中“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加______ 尺.
15.若函数y=sinx−m2,x∈[π3,4π3]有两个零点，则实数m的取值范围为______ .
16.设{an}是由正整数组成且项数为m的增数列，已知a1=1，am=100，数列{an}任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于{an}中任意序数不同的两项as和at，在剩下的项中总存在序数不同的两项ap和aq，使得as+at=ap+aq，则i=1mai的最小值为______.
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图像的一部分如图所示.求函数f(x)的解析式.
18.(本小题12分)
已知向量a=(1,2)，b=(x,1).
(1)求实数x的值，使|3a−b|=|a+b|；
(2)若x=2，求a−2b与a+b的夹角的余弦值.
19.(本小题12分)
已知等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，且S2=6，S5=152.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最大值，并求Sn取最大值时n的值.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sinx+2cs2x2+a−1的最大值为1.
(1)求函数f(x)的单调减区间；
(2)将函数f(x)的图像向右移动π6个单位，再将所得图像向上移动1个单位，得到y=g(x)的图像，如果y=g(x)在区间[−a,a]上有8个最大值，求a的取值范围.
21.(本小题12分)
已知an=n，bn=2n−1，记cn=max{b1−a1n,b2−a2n，…，bn−ann}(n=1、2、3、…)，其中max{x1,x2,…，xn}表示x1、x2、…、xn这n个数中最大的数.
(1)求c1、c2的值；
(2)证明：{cn}是等差数列.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：令x+π3=π2+kπ,k∈Z，
x=π6+kπ,k∈Z，
当k=0时，函数y=3sin(x+π3)的一条对称轴为x=π6.
故选：B.
根据正弦函数的图像特征，即可求得答案．
本题考查正弦函数的图像性质，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，由AB⋅BC+AB2=0，
得AB⋅(BC+AB)=AB⋅AC=0，
可得AB⊥AC，
则△ABC是以A为直角的直角三角形．
故选：B.
由AB⋅BC+AB2=0，得：AB⋅(BC+AB)=AB⋅AC=0，即：AB⊥AC，可得三角形是以∠A为直角的Rt△.
本题主要考查了平面向量数量积的含义，关键是通过向量的数量积为0得垂直关系，是基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等差数列、等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
由a5a11=4a8结合等比数列的中项性质，解出a8的值，由等差数列的中项性质可得b7+b9=2b8，能够求出结果．
【解答】
解：∵a5a11=a82=4a8，
∴a8=4或a8=0(舍去)，
∵a8=b8，∴b8=4，
∴等差数列{bn}中，b7+b9=2b8=8.
故选：C.
4.【答案】D
【解析】解：由题意可知，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正八边形ABCDEFGH，
所以∠AOH=∠HOG=∠AOB=∠EOF=∠FOG
=∠DOE=∠COB=∠COD=360∘8=45∘，
作AM⊥HD，则OM=AM= 2，
因为OA=2，所以OM=AM= 2，
所以A(− 2,− 2)，同理可得其余各点坐标，
B(0,−2)，E( 2, 2)，G(− 2, 2)，D(2,0)，H(−2,0)，
对于A， 2OB+OE+OG=(0+ 2− 2,−2 2+ 2+ 2)=0，故A正确；
对于B，OA⋅OD=(− 2)×2+(− 2)×0=−2 2，故B正确；
对于C，AH=(−2+ 2, 2)，EH=(−2− 2,− 2)，AH+EH=(−4,0)，
所以|AH+EH|= (−4)2+02=4，故C正确；
对于D，AH=(−2+ 2, 2)，GH=(−2+ 2,− 2)，AH⋅GH=(−4+2 2,0)，
|AH+GH|= (−4+2 2)2+02=4−2 2，故D不正确，
故选：D.
根据题意，建立平面直角坐标系，写出需要点的坐标，然后利用向量加法的坐标运算、向量的数量积坐标运算及向量的坐标运算即可求解．
本题考查向量的基础知识，向量线性运算的坐标表示，属于中档题．
5.【答案】(2,1)
【解析】解：∵a=(3,−1),b=(−1,2)，
∴a+b=(2,1).
故答案为：(2,1).
利用平面向量的坐标运算法则求解．
本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
6.【答案】π2
【解析】解：因为函数y=tan(2x−π3)，所以T=π|ω|=π2.
所以函数y=tan(2x−π3)的最小正周期为π2.
故答案为：π2.
直接利用正切函数的周期公式T=π|ω|，求出函数的最小正周期．
本题是基础题，考查正切函数的周期的求法，考查计算能力，送分题．
7.【答案】13
【解析】解：因为(14)n+1(14)n=14，
所以{(14)n}是首项为14，公比为14的等比数列，
所以i=1+∞(14)i=141−14=13.
故答案为：13.
根据无穷等比数列的求和公式直接求出答案即可．
本题主要考查无穷等比数列的求和公式，属于基础题．
8.【答案】−32
【解析】解：m=(3,2),n=(a,−1)，且m//n，
则−3=2a，解得a=−32.
故答案为：−32.
根据已知条件，结合直线共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
9.【答案】[0,2]
【解析】解：∵x∈[−π3,π2]，
∴当x=π2时，函数y=2csx取得最小值，为y=2csπ2=0，
当x=0时，函数y=2csx取得最大值，为y=2cs0=2，
即函数的值域为[0,2].
故答案为：[0,2].
利用余弦函数的最值性质进行求解即可．
本题主要考查三角函数值域的求解，利用余弦函数的图象和性质进行求解是解决本题的关键，是基础题．
10.【答案】 55
【解析】解：∵a⋅b=2−1=1，|a|= 5，
∴b在a上的数量投影为a⋅b|a|=1 5= 55.
故答案为： 55.
根据向量a,b的坐标可求出a⋅b和|a|的值，然后根据投影的计算公式即可求出答案．
本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
11.【答案】π2
【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)，φ∈(0,π)是偶函数，
∴f(x)=f(−x)，即sin(2x+φ)=sin(−2x+φ)，
解得2x+φ=−2x+φ(无解)，或2x+φ+(−2x+φ)=π，
解得φ=π2.
故答案为：π2.
根据正弦函数的奇偶性即可得出答案．
本题考查正弦函数的奇偶性，属于基础题．
12.【答案】23×(13)n−1
【解析】解：∵数列{an}，前n项的和是Sn，且Sn=1−(13)n，
∴当n≥2时，an=Sn−Sn−1=1−(13)n−[1−(13)n−1]=23×(13)n−1，
又n=1时，a1=S1=1−(13)1=23适合上式，
∴an=23×(13)n−1.
故答案为：23×(13)n−1.
直接根据数列的前n项和与通项之间的关系求解即可．
本题主要考查数列通项公式的求解，考查计算能力，属于基础题．
13.【答案】16
【解析】解：∵∠C=90∘
∴CA⋅BC=0
BA=BC+CA
∴BA⋅BC=(BC+CA)⋅BC
=BC2+CA⋅BC
=16
故答案为：16
利用向量垂直的充要条件得到CA⋅BC=0；利用向量的运算法则将BA→用BC→,CA→表示，利用向量的运算律求出BA⋅BC的值．
本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律．
14.【答案】1629
【解析】解：设该妇子织布每天增加d尺，
由题意知S30=30×5+30×292d=390，
解得d=1629.
故该女子织布每天增加1629尺．
故答案为：1629.
设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列的前n项和公式能求出结果
本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的前n项和公式的合理运用．
15.【答案】[ 3,2)
【解析】解：若函数y=sinx−m2,x∈[π3,4π3]有两个零点，
即y=sinx−m2=0在[π3,4π3]上有两个解，
不妨令f(x)=sinx，x∈[π3,4π3]，t=m2，
当x∈[π3,π2)∪(π2,2π3]上与t=m2有两个交点，此时f(x)∈[ 32,1),
所以 32≤m2<1，解得 3≤m<2.
故答案为：[ 3,2).
根据正弦函数的图像性质，利用y=sinx−m2,x∈[π3,4π3]有两个零点，可以看成是f(x)=sinx，x∈[π3,4π3]与t=m2有两个交点，即可求解．
本题考查函数的零点与方程的根，属于中档题．
16.【答案】5454
【解析】解：因为数列{an}任意相邻两项的差的绝对值不超过1，a1=1，所以0≤a2≤2，
又{an}是由正整数组成且项数为m的增数列，所以a2=1或a2=2，
当a2=2时，a4≥a3≥2，此时a1+a2=3这与在剩下的项中总存在序数不同的两项ap和aq，使得as+at=ap+aq矛盾，
所以a2=1，类似地，必有a3=1，a4=1，a5=2，a6=2，
由as+at=ap+aq得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合，
i=1mai=a1+a2+...+am要最小，则每项尽可能小，且m值要尽量小，
则a5+a6=4=a1+a7，a7=3，
同理，a8=4，a9=5，…，am−6=98，当{an}中间各项为公差为1的等差数列时，可使得m值最小，且满足已知条件．
由对称性得最后6项为am=am−1=am−2=am−3=100，am−4=am−5=99，
则i=1mai=a1+a2+...+am的最小值S=(1+99)×992+4×100+3×1+2+99=5454.
故答案为：5454.
本题为数列的新定义题，由已知可推出，当2≤k≤m时，ak=ak−1或ak=ak−1+1，根据a1=1，可推出数列{an}前6项，结合题意，应有a7=3，a8=4，a9=5，…，am−6=98，中间各项为公差为1的等差数列时，可使得m值最小，同理推出数列后6项，即可得出最小值．
本题考查对于数列的新定义题，关键在于读懂题意，根据已知，可推出数列的前6项以及后6项，进而推得中间项和取的最小值应满足的条件，是难题．
17.【答案】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图像的一部分，
可得A=2，T=2πω=5+3，∴ω=π4.
再根据五点法作图，可得π4×1+φ=π2，
∴φ=3π4，故f(x)=2sin(π4x+3π4).
【解析】由题意，根据图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω值，根据五点法作图求出φ，可得函数的解析式．
本题主要考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω值，根据五点法作图求出φ，可得函数的解析式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)3a−b=(3−x,5)，a+b=(1+x,3)，|3a−b|=|a+b|，
(3−x)2+25= (1+x)2+9，
解得x=3.
(2)a−2b=(−3,0)，a+b=(3.3)，|a−2|=3,|a+b|=3 2，
cs=(a−2b)⋅(a+b)|a−2b||a+b|=−93×3 2=− 22.
【解析】(1)利用向量的坐标运算，结合向量的模的求法，求解即可．
(2)利用向量的数量积转化求解向量的夹角的余弦函数值即可．
本题考查向量的基本运算，向量的数量积的应用，模的求法，是基础题．
19.【答案】解：(1)由题意得2a1+d=65a1+10d=152，
解得a1=72，d=−1，
所以an=72−(n−1)=92−n；
(2)Sn=72n+−n(n−1)2=−n22+4n=−12(n−4)2+8，
当n=4时，Sn取最大值为8.
【解析】(1)由已知结合等差数列的通项公式先求出首项及公差，进而可求；
(2)由已知结合等差数列的求和公式及二次函数的性质可求．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)= 3sinx+1+csx+a−1=2sin(x+π6)+a，
f(x)max=2+a=1，即a=−1，
令2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2,k∈z，则2kπ+π3≤x≤2kx+4π3,k∈Z，
故函数的单调递减区间[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k∈Z；
(2)因为f(x)=2sin(x+π6)+1，
则g(x)=2sin(x−π6+π6)−1+1=2sinx，
则函数的第一个最大值为x=−8π+π2，第八个最大值为x=6π+π2，
则 −10π+π2<−a≤8π+π2，6π+π2≤a<8π+π2，
解得15π2≤a<17π2，
故a的取值范围为{a|15π2≤a<17π2}.
【解析】(1)先利用二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求；
(2)结合函数图象的平移先求出g(x)的解析式，然后结合正弦函数的性质可求．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意，an=n，bn=2n−1，
则a1=1，b1=3，
故c1=max{1−1}=0，c2=max{1−1×2,3−2×2}=−1，
(2)证明：对于b1−a1n，b2−a2n，…，bn−ann，(n=1、2、3、…)，
当k∈N且n≥2时，(bk−akn)−(b1−a1n)=[(2k−1)−nk]−1+n=(2k−2)−n(k−1)=(2−n)(k−1)，
由于k>1且2−n≤0，
则有(bk−akn)−(b1−a1n)≤0，即(bk−akn)≤(b1−a1n)，
由于cn=max{b1−a1n,b2−a2n，…，bn−ann}(n=1、2、3、…)，对于任意的n∈N且n≥2，都有cn=b1−a1n=1−n，
故当n≥2时，cn−cn−1=−1，为定值；
故数列{cn}是等差数列．
【解析】(1)根据题意，由数列的递推公式可得答案；
(2)根据题意，先证明当k∈N且n≥2时，有(bk−akn)≤(b1−a1n)，即可得cn=b1−a1n=1−n，结合等差数列的定义分析可得结论．
本题考查数列的应用，涉及数列的表示方法，属于中档题．