2021-2022学年上海市浦东新区华东师大附属东昌中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年上海市浦东新区华东师大附属东昌中学高二（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量，的回归模型时，分别选择了种不同模型，计算可得它们的相关系数分别如表：

则建立的回归模型拟合效果最好的同学是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

2. 下列命题中，错误的命题为(    )

A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大

3. 已知函数的图象如图所示，其中是函数的导函数，则函数的大致图象可以是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列关于曲线的结论正确的是(    )

A. 曲线是椭圆 B. 的取值范围是
C. 关于直线对称 D. 曲线所围成的封闭图形面积大于

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

5. 函数在到之间的平均变化率为______．
6. 若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长为______．
7. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______．
8. 在箱子中有个小球，其中有个红球，个白球．从这个球中任取个，记表示白球的个数，则______．
9. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积单位：和材积量单位：，得到如下数据：

则该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数______精确到．

10. 设随机变量行合二项分布服从，则______．
11. 现有张卡片，分别写上数字，，，，从这张卡片中随机抽取张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则______．
12. 已知直线：与抛物线有且只有一个公共点，则实数的值为______．
13. 从，，，，，，，，这个数字中不放回地依次取个数，事件“第一次取到的是偶数”，“第二次取到的是奇数”，则______．
14. 已知，为双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则此双曲线的渐近线方程为______．
15. 实数满足，则的取值范围是______．
16. 若在上严格增，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    求下列函数的导数；
    ；
    ．
18. 本小题分
    一医疗队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯卫生习惯分为良好和不够良好两类的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了例称为病例组，同时在未患该疾病的人群中随机调查了人称为对照组，得到如下数据：

问：能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

19. 本小题分
    甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得分，负方得分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立．
    求甲学校获得冠军的概率；
    用表示乙学校的总得分，求的分布与期望．
20. 本小题分
    已知椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为、．
    求的值；
    点在椭圆上，求线段的长度的最大值及取最大值时点的坐标；
    不过点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，若证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
21. 本小题分
    已知函数的定义域为，其解析式为，其中，．
    当时，讨论函数的单调性；
    若函数有且仅有一个极值点，求的取值范围；
    若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：相关系数的绝对值越接近于，
则拟合效果越好，，
故建立的回归模型拟合效果最好的同学是甲．
故选：．
根据已知条件，结合相关系数的定义，即可求解．
本题主要考查相关系数的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，根据二项分布的期望，方差公式可得
解得选项错误，根据方差的定义容易判断选项正确，
根据正态曲线的对称性：，选项正确；
设，这里且，
当时，并令，解得，又，
于是，时，，即，另一方面，，
结合可知时，
即，综上可知最大，即时概率最大，选项正确．
故选：．
选项利用二项分布的期望和方差求解，选项根据方差的定义很容易判断，选项利用正态曲线的对称性求解，选项列出的概率，利用数列的单调性求解．
本题考查离散型随机变量，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数图象的判断，考查导数性质等基础知识，考查函数与方程思想，考查函数与方程思想，是基础题．
当时，，是减函数；当时，，是增函数；当时，，是增函数；当时，，是减函数．由此能得到函数的大致图象．
【解答】
解：由函数的图象得到：
当时，，是减函数，排除选项C和；
当时，，是增函数，排除；
当时，，是增函数，排除，；
当时，，是减函数，排除．
由此得到函数的大致图象可以是．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：因为曲线，不是椭圆方程，
所以曲线不是椭圆，故A正确；
因为曲线，
所以，所以，故B错误；
曲线与轴正半轴的交点坐标为，
若曲线关于直线对称，
则点也在曲线上，
又，所以点不在曲线上，
所以曲线不关于直线对称，故C错误；
对于，曲线与坐标轴的交点坐标为，，
则以，四点为顶点的四边形的面积为，
所以曲线所围成的封闭图形面积大于，故D正确．
故选：．
根据椭圆的标准方程即可判断；易得，即可判断；举出反例即可判断；求出曲线与坐标轴的四个交点所构成的四边形的面积，即可判断．
本题考查了曲线与方程的综合应用，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：函数在到之间的平均变化率为，
故答案为：．
利用平均变化率的定义求解．
本题主要考查了平均变化率的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程，
由方程表示双曲线，所以，，
所以虚轴长为．
故答案为：．
根据双曲线标准方程直接求解．
本题主要考查双曲线的几何性质，由双曲线方程求解虚轴的长度等知识，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，得，
，又，
曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：在箱子中有个小球，其中有个红球，个白球．
从这个球中任取个，
基本事件总数，
记表示白球的个数，则包含的基本事件个数，
．
故答案为：．
从这个球中任取个，基本事件总数，记表示白球的个数，则包含的基本事件个数，由此能求出．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据相关系数的公式计算即可．
本题考查相关系数的计算，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意，，故D．
故答案为：．
根据二项分布的方差公式求解，再根据方差的性质求解即可．
本题考查了二项分布的方差公式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：现有张卡片，分别写上数字，，，，从这张卡片中随机抽取张，
基本事件总数，
记所抽取卡片上数字的最小值为，则包含的基本事件个数，
．
故答案为：．
基本事件总数，记所抽取卡片上数字的最小值为，则包含的基本事件个数，由此能求出的值．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

12.【答案】或 

【解析】解：由，得，
，
整理，得，
直线：与抛物线有且只有一个公共点，
，解得，
当直线与轴平行时，所以直线与抛物线有一个交点．
故答案为：或．
由，结合已知条件，知，直线与抛物线的轴平行时，也满足题意，由此能求出的值．
本题考查直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
 

13.【答案】 

【解析】解：从，，，，，，，，这个数字中不放回地依次取个数，
事件“第一次取到的是偶数”，“第二次取到的是奇数”，
，，
则．
故答案为：．
利用条件概率求解．
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，
由得，；
；
；
，
；
；
；
此双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
先将代入双曲线方程，根据，转化求解，这样即可求得该双曲线的渐近线方程．
考查双曲线的标准方程，双曲线的焦点及焦距，一元二次方程的求根公式，双曲线的渐近线方程的概念及求法．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为实数满足，
可设，，，
所以，其中，
当时，有最大值为，
当时，有最小值为，
所以的取值范围是，
故答案为：．
根据题意可利用圆的参数方程，将所求的式子的最值问题转化为三角函数的最值问题求解即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，利用圆的参数方程转化为三角函数求最值是解题关键，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为在上严格增，
且，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则在上恒成立，
当，即时，只需，即，此时无解；
当，即时，只需，即，此时无解；
当，即时，只需，即．
综上所述，．
故答案为：
由题意可得在上恒成立，设，结合二次函数的性质即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
 

17.【答案】解：．
． 

【解析】利用导数的运算法则求解．
本题主要考查了导数的运算，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题意得列联表：

，
有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异． 

【解析】根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
 

19.【答案】解：甲学校要获得冠军，需要在场比赛种至少获胜场，
当甲场都获胜时，概率为，
当甲获胜场时，概率为，
所以甲学校获得冠军的概率为；
解：可取，，，，
，
，
，
，
则的分布列为：

所以． 

【解析】分甲场都获胜和甲获胜场两种情况讨论，再结合相互独立事件的乘法公式计算即可得出答案；
写出随机变量的所有可能取值，分别求出对应随机变量的概率，即可得出分布列，再根据期望公式即可求出数学期望．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意可知椭圆的焦点在轴上，
则，所以，
所以．
由得椭圆的方程为，
则，设，
则，
因为点在椭圆上，
所以，
则，
则，
所以当时，的最大值为，此时，
所以
证明：，设设直线的方程为，，，
联立方程组，消去得：
，
则，，
所以
，
因为若，
所以，
即，
即，
即，
即，
化简可得：，
解得或，
又因直线不过点，
所以，
所以直线得方程为，
所以直线过定点． 

【解析】易得椭圆的焦点在轴上，根据椭圆得离心率即可求得；
设，根据两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得出答案；
设直线的方程为，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理和两点间的斜率公式化简，结合，即可求得与的关系，从而可得出结论．
本题考查直线与椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
 

21.【答案】解：．
当时，．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：

所以在，内是增函数，在，内是减函数．
，显然不是方程的根．
因为函数有且仅有一个极值点，
所以成立，
即，所以，
这时是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是
因为，
所以当时，，故恒成立．
当时，；当时，，
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为了使得，不等式在上恒成立，
当且仅当，即，恒成立，
所以，
因此满足条件的的取值范围是． 

【解析】当时，，当导函数大于时求原函数的单调增区间，当导函数小于时求原函数的单调递减区间；
由于，若函数有且仅有一个极值点，则恒成立，从而可求得的取值范围；
依题意，可得函数在上的最大值是与两者中的较大者，即，解之即可求出的范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查不等式恒成立问题，突出转化与化归思想与综合分析和解决问题的能力的考查，属于难题．