2021-2022学年江西省宜春市丰城九中日新班高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年江西省宜春市丰城九中日新班高二（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，复数为虚部单位为纯虚数，则的共轭复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知且，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

4. 已知具有线性相关的变量，，设其样本点为，回归直线方程为，若为坐标原点，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某圆台的母线长为，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为：，则该圆台外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 哈三中招聘了名教师，平均分配给南岗群力两个校区，其中名语文教师不能分配在同一个校区，另外名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8. 如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆：，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，点和，点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 若，，，则(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知函数，则下列结论正确的是(    )

A.
B. 是图象的一条对称轴
C. 的最小正周期为
D. 将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称

11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作垂直于渐近线交两渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率可能为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知正方体棱长为，为空间中一点．下列论述正确的是(    )

A. 若，则异面直线与所成角的余弦值为
B. 若，三棱锥的体积为定值
C. 若，有且仅有一个点，使得平面
D. 若，则异面直线和所成角取值范围是
 

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 定义函数，则______．
14. 焦点在轴上且离心率大于的一个椭圆方程为______．
15. 已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则______．
16. 已知抛物线：，点为直线上一动点，过点作直线，与分别切于点，，则______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知的内角，，的对边分别为，，，．
    求的大小；
    若的周长为，面积为，求．
18. 本小题分
    在二项式的展开式中，第项二项式系数最大，且为奇函数．
    求；
    把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项都不相邻的概率．
19. 本小题分
    如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，是的中点，点在上，．
    证明：平面平面；
    若，，求二面角的余弦值．

20. 本小题分
    冬奥组委会为大会招募志愿者，对前来报名者进行专业知识测试，测试合格者录用为志愿者．现有备选题道，规定每次测试都从备选题中随机挑选出道题进行测试，至少答对道题者视为合格．已知甲、乙两人报名参加测试，在这道题中甲能答对道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．
    分别求甲、乙两人录用为志愿者的概率；
    记甲、乙两人中录用为志愿者的人数为，求的分布列及．
21. 本小题分
    已知曲线：的焦点为，曲线上有一点满足．
    求抛物线的方程；
    过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立．若存在，请求出点坐标．
22. 本小题分
    某班级共有名同学男女各占一半，为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分分为满分．最后组同学得分如表：

完成列联表，并判断是否有的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；
Ⅱ某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布，首先根据前组男女同学的分差确定和，然后根据后面组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面组男女同学分差与的差的绝对值分别为，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型．
存在；记满足的的个数为，在服从正态分布的总体个体数无穷大中任意取个个体，其中落在区间内的个体数大于或等于的概率为，．
试问该课题研究小组是否会接受该模型．

参考公式和数据：
，
；若，有，．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，
则．
故选：．
由已知先求出集合，，然后结合集合的交集及补集定义可求．
本题主要考查了集合的交集及补集的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：为纯虚数，
，解得，
，即，
的共轭复数的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，一定有，
当时，时可得，时可得，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
当时，时可得，时可得，由此即可判断．
本题考查了四个条件的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，
回归直线方程为，
，解得．
故选：．
根据已知条件，推出，，再结合线性回归方程的性质，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，
所以，即定义域为，
因为在上单调递减，
根据奇函数的对称性可知在上单调递减，
由得，
解得．
故选：．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
 

6.【答案】 

【解析】解：由圆台的母线长为，母线与轴所在直线的夹角是，
则，，
即，，
又上、下底面的面积之比为：，
则，
即，，
设该圆台外接球的半径为，
则，
设，
则，
则，，
解得：，，
则该圆台外接球的表面积为，
故选：．
由已知条件求出该圆台外接球的半径，然后结合球的表面积公式求解即可．
本题考查了空间几何体的外接球问题，重点考查了球的表面积公式，属中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意知，先将名语文老师分到两个校区，有种方法，
第二步将名数学老师分成组，一组人另一组人，有种分法，然后再分到两个校区，共有种方法，
第三步只需将其他人分成组，一组人另一组人，由于每个校区各人，故分组后两人所去的校区就已确定，共有种方法．
根据分步乘法计数原理共有种．
故选：．
先将名语文老师分到两个校区，再将名数学老师分成组再分到两个校区，最后只需将其他人分成组，结合每个校区各人即可得出结果．
本题考查排列组合及简单计数原理，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，基本不等式的应用，属于较难题．
设出抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的定义，求得，根据基本不等式，即可求得答案．
【解答】
解：设抛物线的方程：，焦点为，
则，则，
抛物线的标准方程：，焦点坐标，准线方程为，
圆：的圆心为，半径为，
由直线过圆的圆心即抛物线的焦点，
可设直线的方程为：，设、坐标分别为，
由，联立得 ，
在抛物线内，则恒成立，
，，
，，

，
则

当且仅当时等号成立，
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次判断选项：
对于，，变形可得，当且仅当时等号成立，A错误；
对于，，当且仅当时等号成立，B正确；
对于，，当且仅当时等号成立，C错误；
对于，，当且仅当时等号成立，D正确；
故选：．
根据题意，由基本不等式的性质依次判断选项，可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，注意不等式的变形，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，故A正确，
令，解得：，时，对称轴是，故B错误，
由，故最小正周期为，故C正确，
将的图象向左平移个单位后，
得到的解析式是，其图象不关于原点对称，故D错误，
故选：．
根据两角的正弦公式化简，判断，根据正弦函数的图像和性质判断，，即可．
本题考查了正弦函数的图像和性质，考查转化思想，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设点，由双曲线对称性，不妨令直线垂直于渐近线：，即，
则，
直线的方程为：，
由，解得点的横坐标，
由，解得点的横坐标，
当时，点在线段的延长线上，
由得，
因此有，
整理得，则离心率，
当时，点在线段的延长线上，
由得，
因此有，
整理得，则离心率，
所以双曲线的离心率为或．
故选：．
设点，求出，由对称性设出的方程，与渐近线方程联立求出线段长，再分情况计算作答．
本题考查了双曲线的离心率的求解，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，由题，如图，为中点，取的中点，连接，，

则，或其补角即为异面直线与所成角，
由题意得，，，，故A正确；
对于，由条件，可知点的轨迹为线段，
，到平面的距离为定值，且的面积为定值，
三棱锥体积为定值，故B正确；
对于，由，可知点在线段上分别为，中点，
平面，平面即为平面，点为平面与直线交点，

此交点在延长线上，故C错误；
对于，由，可知点的轨迹为线段，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，

，，，设，
则，，
，
令，
当，即时，，此时直线和所成角为；
当，即时，则，，
令
当，时，取最大值为，
直线和所成角的最小值为，
异面直线和所成角取值范围是，故D正确．
故选：．
根据向量关系式确定动点位置或轨迹，然后判断各个选项的正误．
本题考查命题真假的判断，考查动点的轨迹、点到平面的距离、三棱锥的体积公式、异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，
则，
则；
故答案为：．
根据题意，由函数的解析式计算可得答案．
本题考查分段函数的额求值，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意设椭圆的标准方程为，且，又，即可设，
不妨设，，，，故满足条件的椭圆方程为．
故答案为：．
由题意设椭圆的标准方程为，且，又，即可设，不妨设，，根据即可求得，故得到满足条件的一个答案．
本题考查椭圆的性质，属于基础题
 

15.【答案】 

【解析】解：函数的相邻两个零点之间的距离是，，
，
则，
故答案为：．
由题意，利用正切函数的周期性和零点求出，可得函数的解析式，再利用特殊角的正切函数值，从而求得
本题主要考查正切函数的周期性和零点，特殊角的正切函数值，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线：，导数为，
设切点分别为，，
，，
切线的方程为，即，
同理切线的方程为，
又因为切线过点，
所以得，
又因为切线也过点，
所以得，
所以，是方程的两实根，
由韦达定理得，，
因为，，
所以

，
将，代入，得，
故答案为：．
可得切线的方程为，切线的方程为，利用切线过点，可得，是方程的两实根，得，，可得，即可求解．
本题考查了抛物线的切线方程、平面向量数量积运算，考查了转化思想、运算能力，属于难题．
 

17.【答案】解：因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
由为三角形内角得；
因为的面积，
所以，
又，
由余弦定理得，
解得． 

【解析】由已知结合和差角公式进行化简可求，进而可求；
由已知结合余弦定理及三角形面积公式进行化简即可求解．
本题主要考查了和差角公式三角化简求值中的应用，还考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解；因为为奇函数，则为奇数，所以为偶数，
又二项式的展开式的第项的二项式系数最大，则，
展开式的通项公式为，，，，，
令，则，，，所以二项式的展开式中有项为有理项，
又因为展开式中共有项，全排共有种排法，
有理项都不相邻的排法共有，
则有理项都不相邻的概率为． 

【解析】先根据幂函数的奇偶性得出为偶数，再根据二项式系数的系数即可求出的值；求出展开式的通项公式，令的指数为整数，求出展开式的有理项的个数，然后求出展开式的所有项全排的个数，再求出有理项都不相邻的排法数，根据古典概率的计算公式即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到求解有理项的求解，考查了古典概率的计算公式以及学生的运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：由题意得，，，
在中，由余弦定理得，
所以是直角三角形，
即，
又，且，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
解：由知平面，平面，
，
又，，
所以平面，
以为坐标原点，分别以，及平行于所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，
连接，在平行四边形中，易得，
在直角三角形中，，
于是，，，
由得，
设平面的法向量，则，
取得，，
由知轴平面，
所以平面的法向量，
则，
因为二面角为钝角，
故所求二面角的余弦值为． 

【解析】由条件计算可得，从而可判定是直角三角形，即有，再结合条件，可证得平面，进而由面面垂直的判定定理可证结论；
建立空间直角坐标系，将二面角的问题转化为向量夹角进行计算．
本题考查了空间中的垂直关系，二面角的知识，属于中档题．
 

20.【答案】解：从道题中任选道共有种取法，
因为甲能答对道题中的道题，故甲能答对所选的道题中的道或道的选法有种，
故事件甲被录用为志愿者的概率，
因为乙能答对每道题的概率均为，
故乙被录用为志愿者的概率．
由已知可得的可能取值有，，，
，，，
所以的分布列为：

所以，
所以． 

【解析】利用古典概型概率公式求出甲被录用为志愿者的概率，利用独立事件概率乘法公式求乙被录用为志愿者的概率；
由条件确定的可能取值，及取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式及性质求．
本题考查相互独立事件概率的乘法公式以及离散型随机变量的概率分布列及数学期望，是中档题．
 

21.【答案】解：在曲线上，则，则，
而，
故抛物线的方程为．
易知直线的斜率不为，
故设：，，，联立：，
故，．，
因为，则，
则或舍，故．
因为，都在轴上，要使得，则轴为的角平分线，
若，则垂直于轴，轴平分，
则垂直于轴，则直线的方程为，此时，
而，相异，故，
同理故A与的斜率互为相反数，
即
为定值．
故当时，有恒成立． 

【解析】由焦半径公式代入求解，从而得抛物线方程；
设直线方程：，联立方程组，通过可得的值，由题意得出轴为的角平分线，将韦达定理代入所给条件求解即可．
本题主要考查抛物线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

22.【答案】解：由表中数据，可得列联表；

所以，计算，
所以没有的把握说“该次大赛是否得满分”与“同学性别”有关；
Ⅱ由题意知，，；
又，，，，，而，，
所以不存在；
又满足的的个数为，即；
当，；
设从服从正态分布的总体个体数无穷大中任意取个个体，
其中值属于的个体数为，
则，
所以，；
综上，第种情况出现，所以该小组不会接受该模型． 

【解析】由表中数据画出列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
Ⅱ由题意知、的值，利用和计算对应的概率值，从而得出结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了概率的计算问题，是中档题．