2023届高考数学一轮复习精选用卷 第九章 概率与统计 考点57 用样本估计总体+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第九章 概率与统计 考点57 用样本估计总体+答案解析，共22页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试57　用样本估计总体

高考
概览
高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、低等难度
考纲
研读
1.了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图，并体会它们各自的特点
2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差
3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差、百分位数)，并做出合理的解释
4．会计算分层随机抽样的样本均值与样本方差
5．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想
6．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题

一、基础小题
1．一组数据90,92,99,97,96，x的众数是92，则这组数据的中位数是(　　)
A．94 B．95
C.96 D．97
答案　A
解析　数据90,92,99,97,96，x的众数是92，则x＝92，所以这组数据为90,92,92,96,97,99，则这组数据的中位数是×(92＋96)＝94.故选A.
2．如图所示是根据某市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是(　　)

A．－2 B．0
C．1 D．2
答案　D
解析　由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为－3，－2，－1，－1,0,0，1,2,2,2，因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是＝2.
3．在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积和的，且样本量为80，则中间一组的频数为(　　)
A．0.25 B．0.5
C.20 D．16
答案　D
解析　设中间一组的频数为x，依题意有＝，解得x＝16.
4．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图，若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是(　　)

A．1.78小时 B．2.24小时
C．3.56小时 D．4.32小时
答案　C
解析　该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是(1×0.12＋3×0.2＋5×0.1＋7×0.08)×2＝3.56小时．
5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级
人数
平均分数
方差
甲
20
甲
2
乙
30
乙
3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为(　　)
A．3 B．2
C．2.6 D．2.5
答案　C
解析　由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为s2＝×[2＋(甲－)2]＋×[3＋(乙－)2]＝×2＋×3＝2.6.
6．2020年4月24日下午，随着最后1例新冠肺炎重症患者治愈，武汉重症病例实现了清零，抗疫工作取得了阶段性重大胜利．某方舱医院从出院的新冠肺炎患者中随机抽取100人，将这些患者的治疗时间(都在[5,30]天内)进行统计，制作出频率分布直方图如图所示，则估计该院新冠肺炎患者治疗时间的中位数是(　　)

A．16 B．17
C．18 D．19
答案　B
解析　设这100名新冠肺炎患者治疗时间的中位数是x，∵(0.01＋0.05)×5＝0.3＜0.5，(0.01＋0.05＋0.1)×5＝0.8＞0.5，∴x∈[15,20)，0.3＋(x－15)×0.1＝0.5，解得x＝17，则该院新冠肺炎患者治疗时间的中位数是17.故选B.
7．(多选)乐乐家共有七人，已知今年这七人年龄的众数为35，平均数为44，中位数为55，标准差为19，则5年后，下列说法中正确的是(　　)
A．这七人岁数的众数变为40
B．这七人岁数的平均数变为49
C．这七人岁数的中位数变为60
D．这七人岁数的标准差变为24
答案　ABC
解析　根据众数、平均数、中位数的概念得5年后，每人的年龄相应增加5，而标准差不变，所以这七人年龄的众数变为40；平均数变为49；中位数变为60；标准差不变，为19.故选ABC.
8．(多选)为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，测量了他们的体重(单位：千克)．健身之前他们的体重情况如三维饼图1所示，经过半年的健身后，他们的体重情况如三维饼图2所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下列结论正确的是(　　)

A．他们健身后，体重在区间[90,100)内的人数不变
B．他们健身后，体重在区间[100,110)内的人数减少了2个
C．他们健身后，体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减轻
D．他们健身后，这20名肥胖者的体重的中位数位于区间[90,100)
答案　ACD
解析　题图1中体重在区间[90,100)，[100,110)，[110,120)内的人数分别为8,10,2；题图2中体重在区间[80,90)，[90,100)，[100,110)内的人数分别为6,8,6.故选ACD.
二、高考小题
9．(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(　　)
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
答案　C
解析　由频率分布直方图，知该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，故A正确；由频率分布直方图，知该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正确；由频率分布直方图，知该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，故C不正确；由频率分布直方图，知该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，故D正确．故选C.
10．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是(　　)
A．样本x1，x2，…，xn的标准差
B．样本x1，x2，…，xn的中位数
C．样本x1，x2，…，xn的极差
D．样本x1，x2，…，xn的平均数
答案　AC
解析　由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势．故选AC.
11．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c为非零常数，则(　　)
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
答案　CD
解析　由题可知＝，＝＝＋c＝＋c，因为c≠0，所以≠，A错误；若样本数据x1，x2，…，xn的中位数为xk，因为yi＝xi＋c，c≠0，所以样本数据y1，y2，…，yn的中位数为yk＝xk＋c≠xk，B错误；设sx表示样本数据x1，x2，…，xn的标准差，sy表示样本数据y1，y2，…，yn的标准差，则样本数据y1，y2，…，yn的标准差sy＝ ＝＝ ＝sx，所以C正确；设样本数据x1，x2，…，xn中最大的为xn，最小的为x1，因为yi＝xi＋c，所以样本数据y1，y2，…，yn中最大的为yn，最小的为y1，极差为yn－y1＝(xn＋c)－(x1＋c)＝xn－x1，所以D正确．故选CD.
12．(2021·天津高考)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70)，[70,74)，…，[94,98]，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是(　　)

A．20 B．40
C.64 D．80
答案　D
解析　由频率分布直方图可知，评分在区间[82,86)内的影视作品数量为400×0.050×4＝80.故选D.
13．(2020·全国Ⅲ卷)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　　)
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
答案　B
解析　对于A，该组数据的平均数为A＝(1＋4)×0.1＋(2＋3)×0.4＝2.5，方差为s＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65；对于B，该组数据的平均数为B＝(1＋4)×0.4＋(2＋3)×0.1＝2.5，方差为s＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85；对于C，该组数据的平均数为C＝(1＋4)×0.2＋(2＋3)×0.3＝2.5，方差为s＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05；对于D，该组数据的平均数为D＝(1＋4)×0.3＋(2＋3)×0.2＝2.5，方差为s＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45.因此，B项这一组样本数据的标准差最大．故选B.
14．(2019·全国Ⅱ卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(　　)
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
答案　A
解析　中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A.
15．(2019·全国Ⅱ卷)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
答案　0.98
解析　平均正点率
＝＝0.98.则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.
16．(2019·江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________．
答案　
解析　这组数据的平均数为8，故其方差为s2＝×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝.
三、模拟小题
17．(2021·河北张家口第三次模拟)某中学春季运动会上，12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同，按成绩从高到低取前6位进入决赛，如果小明知道了自己的成绩后，则他可根据其他11位同学成绩的哪个数据判断自己能否进入决赛(　　)
A．中位数 B．平均数
C．极差 D．方差
答案　A
解析　12位同学参赛，按成绩从高到低取前6位进入决赛，正好一半，因此可根据中位数判断小明是否能进入决赛．故选A.
18．(多选)(2022·广东省花都区高三上学期调研)四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的有(　　)
A．中位数为3，众数为3
B．平均数为3，众数为4
C．平均数为3，中位数为3
D．平均数为2，方差为2.4
答案　BD
解析　对于A，当掷骰子出现的结果为1,2,3,3,6时，满足中位数为3，众数为3，所以A不能判断；对于B，若平均数为3，且出现点数为6，则其余4个数的和为9，而众数为4，故其余4个数的和至少为10，所以B可以判断；对于C，当掷骰子出现的结果为1,1,3,4,6时，满足平均数为3，中位数为3，可以出现点6，所以C不能判断；对于D，若平均数为2，且出现点数6，则方差s2>×(6－2)2＝3.2>2.4，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6.故选BD.
19．(多选)(2021·安徽蚌埠高三模拟)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数
D．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差
答案　AC
解析　由题图可得，甲＝＝6，乙＝＝6，A正确；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，B错误；甲的成绩的第80百分位数为＝7.5，乙的成绩的第80百分位数为＝7.5，所以二者相等，C正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D错误．
20．(多选)(2021·广东肇庆第二次统一检测)某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将所得数据分成6组：[90,91)，[91,92)，[92,93)，[93,94)，[94,95)，[95,96]，得到如图所示的频率分布直方图，则关于这100件产品，下列说法中正确的是(　　)

A．b＝0.25
B．长度落在区间[93,94)内的个数为35
C．长度的众数一定落在区间[93,94)内
D．长度的中位数一定落在区间[93,94)内
答案　ABD
解析　对于A，由频率和为1，得(0.35＋b＋0.15＋0.1×2＋0.05)×1＝1，解得b＝0.25，故A正确；对于B，长度落在区间[93,94)内的个数为100×0.35＝35，故B正确；对于C，这100件产品长度的众数不一定落在区间[93,94)内，故C错误；对于D，由(0.1×2＋0.25)×1＝0.450.5，知这100件产品长度的中位数一定落在区间[93,94)内，故D正确．故选ABD.
21．(多选)(2021·湖南师大附中高三第二次月考)甲、乙两所学校高三年级分别有1200人、1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层随机抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，考生成绩都分布在[70,150]内，并作出了如下频数分布统计表，规定考试成绩在[120,150]内为优秀，则下列说法正确的有(　　)
分组
[70,80)
[80,90)
[90,100)
[100,110)
甲校
频数
3
4
8
15
乙校
频数
1
2
8
9

分组
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
甲校
频数
15
x
3
2
乙校
频数
10
10
y
3
A．计算得x＝10，y＝7
B．估计甲校优秀率为25%，乙校优秀率为40%
C．估计甲校和乙校众数均为120
D．估计乙校的数学平均成绩比甲校高
答案　ABD
解析　对于A，甲校抽取110×＝60人，乙校抽取110×＝50人，故x＝10，y＝7，故A正确；对于B，估计甲校优秀率为＝25%，乙校优秀率为＝40%，故B正确；对于C，甲校众数的估计值为105,115，乙校众数的估计值为115,125，故C错误；对于D，甲校平均成绩为109.5，乙校平均成绩为114.6，故D正确．
22．(多选)(2021·湖南六校联考)下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天，下列说法正确的有(　　)

A．该市14天空气质量指数的平均值大于100
B．此人到达当日空气质量优良的概率为
C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为
D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大
答案　AD
解析　×(86＋25＋57＋143＋220＋160＋40＋217＋160＋121＋158＋86＋79＋37)＝113.5，故A正确；在6月1日至13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为，故B不正确；6月1日至14日连续两天包含的样本点有13个，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的样本点是{4,5}，{5,6}，{7,8}，{8,9}，共4个，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率是，故C不正确；由空气质量指数趋势图可以看出，从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大，故D正确．故选AD.
23．(2021·山东潍坊高三质检)为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的体重的方差为124，男员工的平均体重为70 kg，标准差为4，女员工的平均体重为50 kg，标准差为6.若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________．
答案　30
解析　设男员工的权重为ω男，由题意可知样本的平均数＝ω男男＋(1－ω男)女＝70男＋50(1－ω男)＝20ω男＋50，样本的方差s2＝
ω男[s＋(男－)2]＋(1－ω男)[s＋(女－)2]，即ω男[42＋(70－20ω男－50)2]＋(1－ω男)[62＋(50－20ω男－50)2]＝124，解得ω男＝0.4，因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为×(1－0.4)＝30.

一、高考大题
1．(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1

旧设备
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s和s.
(1)求，，s，s；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果－≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
解　(1)由表中的数据可得：
＝
＝10，
＝
＝10.3，
s＝×[(9.8－10)2＋(10.3－10)2＋(10.0－10)2＋(10.2－10)2＋(9.9－10)2＋(9.8－10)2＋(10.0－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2＋(9.7－10)2]＝0.036，
s＝×[(10.1－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.0－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋(10.6－10.3)2＋(10.5－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.5－10.3)2]＝0.04.
(2)由(1)中的数据可得－＝10.3－10＝0.3,2＝2＝2＝，因为0.3＝>，所以－>2.所以可以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
2．(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
解　(1)由表中数据可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.4，乙厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.28.
(2)甲分厂加工100件产品的总利润为40×(90－25)＋20×(50－25)＋20×(20－25)－20×(50＋25)＝1500元，
所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元/件．
乙分厂加工100件产品的总利润为28×(90－20)＋17×(50－20)＋34×(20－20)－21×(50＋20)＝1000元，
所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元/件．
故厂家应选择甲分厂承接加工业务．
3．(2019·全国Ⅲ卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
解　(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，
故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
4．(2018·全国Ⅰ卷)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0，
0．1)
[0.1，
0．2)
[0.2，
0．3)
[0.3，
0．4)
[0.4，
0．5)
[0.5，
0．6)
[0.6，
0．7]
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0，
0．1)
[0.1，
0．2)
[0.2，
0．3)
[0.3，
0．4)
[0.4，
0．5)
[0.5，
0．6]
频数
1
5
13
10
16
5

(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
解　(1)

(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为1＝×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为2＝×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.
估计该家庭使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．
二、模拟大题
5．(2021·河南郑州一模)河阴石榴是河南省荥阳市的特产，距今已有2100多年的历史，河阴石榴籽粒大，色紫红，甜味浓，被誉为“中州名果”．河阴石榴按照果径大小可以分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某超市老板从采购的一批河阴石榴中随机抽取100 kg，根据石榴的等级分类标准得到的数据如下表所示：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
重量(kg)
10
30
40
a
(1)求a的值并计算礼品果所占的比例；
(2)用样本估计总体，超市老板参考以下两种销售方案进行销售：
方案1：不分类卖出，单价为20元/kg；
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下表所示：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价(元/kg)
16
18
22
24
从超市老板的角度考虑，应该采用哪种方案较好？并说明理由．
解　(1)a＝100－10－30－40＝20，礼品果所占比例是＝0.2.
(2)理由一：设方案2的石榴售价的平均数为，＝16×＋18×＋22×＋24×＝20.6，
因为＝20.6>20，所以从超市老板的销售利润角度考虑，采用方案2比较好．
理由二：设方案2的石榴售价的平均数为，＝16×＋18×＋22×＋24×＝20.6，
虽然＝20.6>20，但20.6－20＝0.6，差额不太大，从超市老板后期对石榴分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好．
6．(2022·湖南师大附中第一次大练习)某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(单位：分)整理后，得到如图所示的频率分布直方图(其中分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[90,100])．

(1)求成绩在[70,80)的频率，并补全此频率分布直方图；
(2)求这次考试平均分的估计值(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)；
(3)若从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．
解　(1)成绩在[70,80)的频率为1－(0.005＋0.015＋0.020＋0.030＋0.005)×10＝0.25.
补全频率分布直方图如下：

(2)依题意可得，平均分＝(45×0.005＋55×0.015＋65×0.020＋75×0.025＋85×0.030＋95×0.005)×10＝72.5.
故这次考试平均分的估计值为72.5.
(3)成绩在[40,50)和[90,100]的人数分别是3和3，所以从成绩在[40,50)和[90,100]内的学生中任选两人，将[40,50)分数段的3人编号为A1，A2，A3，将[90,100]分数段的3人编号为B1，B2，B3，从中任取两人，则样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的．其中，在同一分数段内的事件所含样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共6个，故所求概率P＝＝.
7．(2021·河北省衡水市第一中学高三上学期第一次调研)“2021年全国城市节约用水宣传周” 已于5月9日至15日举行．成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样、内容丰富的活动．进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识．为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95), [95,100]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计这300名业主评分的中位数；
(2)若先用比例分配的分层随机抽样的方法从评分在[90,95)和[95,100]的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5名业主中任意选取2人做进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在[95,100]的频率．
解　(1)∵第三组的频率为1－(0.020＋0.025＋0.030＋0.035＋0.050)×5＝0.200，
∴a＝＝0.040.
又第一组的频率为0.025×5＝0.125，第二组的频率为0.035×5＝0.175，第三组的频率为0.200，∴前三组的频率之和为0.125＋0.175＋0.200＝0.500，
∴这300名业主评分的中位数为85.
(2)由频率分布直方图，知评分在[90,95)的人数与评分在[95,100]的人数的比值为3∶2，
∴采用比例分配的分层随机抽样法抽取5人，评分在[90,95)的有3人，评分在[95,100]的有2人．
不妨设评分在[90,95)的3人分别为A1，A2，A3，评分在[95,100]的2人分别为B1，B2，
则从5人中任选2人的所有可能情况有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10种．
其中选取的2人中至少有1人的评分在[95,100]的情况有{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共7种．
故这2人中至少有1人的评分在[95,100]的概率为P＝.