2023届高考数学一轮复习精选用卷 第九章 概率与统计 考点52 古典概型+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第九章 概率与统计 考点52 古典概型+答案解析，共15页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试52　古典概型

高考
概览
高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度
考纲
研读
1.理解古典概型及其概率计算公式
2．会计算一些随机事件所包含的样本点数及事件发生的概率

一、基础小题
1．某银行储蓄卡上的密码是一个六位数号码，每位上的数字可以在0～9这10个数字中选取．某人未记住密码的最后一位数字，如果随意按密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是(　　)
A． B．
C. D．
答案　D
解析　只考虑最后一位数字即可，从0到9这10个数字中随机选一个的概率为.
2．食物相克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应．已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为(　　)
A． B．
C. D．
答案　C
解析　由题意，可得样本点总数n＝C＝10，所以它们相克的概率为P＝.故选C.
3．某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”“e”“k”三个字母组成，并且“k”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为(　　)
A． B．
C. D．
答案　B
解析　解法一：由题知可能的结果有CA＝4种，其中正确的只有一种，所以拼写正确的概率是.故选B.
解法二：由题知可能的结果有eak，aek，eka，ake，共4种，其中正确的只有一种，所以拼写正确的概率是.故选B.
4．一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是(　　)
A． B．
C. D．
答案　B
解析　3卷文集随机排列，共有A＝6种结果，其中卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的只有2种，所以卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是＝.故选B.
5．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数．现从1～15这15个数中随机抽取3个，则这三个数为勾股数的概率为(　　)
A． B．
C. D．
答案　C
解析　从这15个数中随机抽取3个数，样本点的个数为C，其中为勾股数的有(3，4，5)，(6，8，10)，(9，12，15)，(5，12，13)，共4个，故所求概率为P＝＝.故选C.
6．将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是(　　)
A． B．
C. D．
答案　C
解析　投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为所以a和b的组合有36种，若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，所以b2≥4a.当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1，2；当b＝4时，a可取1，2，3，4；当b＝5时，a可取1，2，3，4，5，6；当b＝6时，a可取1，2，3，4，5，6.满足条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝.故选C.
7．(多选)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则(　　)
A．P1·P2＝ B．P1＝P2＝
C．P1＋P2＝ D．P1＞P2
答案　ACD
解析　三辆车的出车顺序可能为123，132，213，231，312，321，共6种．方案一坐到“3号”车可能为132，213，231，共3种，所以P1＝＝；方案二坐到“3号”车可能为312，321，共2种，所以P2＝＝.所以P1＞P2，P1·P2＝，P1＋P2＝.故选ACD.
8．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈的概率是________．
答案　
解析　∵a·b＝m－n，夹角θ∈，∴a·b≥0，即m≥n.满足θ∈的点A(m，n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，点A(m，n)的样本点总数为36，故所求概率为＝.
二、高考小题
9．(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　)
A． B．
C. D．
答案　C
解析　将4个1和2个0安排在6个位置，选择2个位置安排0，共有C种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C种排法．所以2个0不相邻的概率P＝＝.故选C.
10．(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A． B．
C. D．
答案　A
解析　如图，从O，A，B，C，D 5个点中任取3点的取法分别为{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}，共10种不同取法，3点共线的有{O，A，C}与{O，B，D}，共2种情况．由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为＝.故选A.


11．(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A． B．
C. D．
答案　A
解析　在所有重卦中随机取一重卦，其样本点总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的样本点数为C＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝＝.故选A.
12．(2018·全国Ⅱ卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)
A． B．
C. D．
答案　C
解析　不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种等可能的结果，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30包含的可能结果有3种，故概率为＝.故选C.
13．(2020·江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．
答案　
解析　根据题意可得样本点总数为6×6＝36，点数和为5的样本点有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4个，∴向上的点数和为5的概率为＝.
14．(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．
答案　
解析　解法一：样本点总数为C＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学的样本点有CC＋C＝7个，故所求概率为.
解法二：同解法一，得样本点总数为10，选出的2名同学中没有女同学的样本点有C＝3个，故所求概率为1－＝.
解法三：设3名男同学分别为A，B，C，2名女同学分别为a，b，则样本空间为{AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab}，共包含10个样本点，选出的2名同学中至少有1名女同学的事件所包含的样本点分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为.
解法四：同解法三，得样本点总数为10，选出的2名同学中没有女同学的事件所包含的样本点分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1－＝.
三、模拟小题
15．(2021·新高考八省联考)在三张卡片上分别写上三位同学的学号后，再把卡片随机分给这三位同学，每人一张，则恰有一位同学分到写有自己学号的卡片的概率为(　　)
A． B．
C. D．
答案　C
解析　设三位同学分别为A，B，C，他们的学号分别为1，2，3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如(1，3，2)表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号．三人可能拿到的卡片结果为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共6种，其中满足题意的结果有(1，3，2)，(2，1，3)，(3，2，1)，共3种，结合古典概型的概率计算公式可得，满足题意的概率P＝＝.故选C.
16．(2021·山东菏泽一模)菏泽万达商场在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是(　　)
A． B．
C. D．
答案　B
解析　若有4名顾客都领取一件礼品，则样本点总数n＝34＝81，其中他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的样本点个数为m＝CA＝36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是P＝＝＝.故选B.
17．(多选)(2021·湖北武汉市第十四中学月考)从集合A＝{－1，－3，2，4}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－5，1，4}中随机选取一个数记为b，则(　　)
A．ab>0的概率是
B．a＋b≥0的概率是
C．直线y＝ax＋b不经过第三象限的概率是
D．ln a＋ln b>1的概率是
答案　AC
解析　由题意可得(a，b)所有可能的取法有(－1，－5)，(－1，1)，(－1，4)，(－3，－5)，(－3，1)，(－3，4)，(2，－5)，(2，1)，(2，4)，(4，－5)，(4，1)，(4，4)，共12种．对于A，满足ab>0的取法有(－1，－5)，(－3，－5)，(2，1)，(2，4)，(4，1)，(4，4)，共6种，所以ab>0的概率为P＝＝，故A正确；对于B，满足a＋b≥0的取法有(－1，1)，(－1，4)，(－3，4)，(2，1)，(2，4)，(4，1)，(4，4)，共7种，所以a＋b≥0的概率为P＝，故B不正确；对于C，因为直线y＝ax＋b不经过第三象限，所以a1，所以a>0，b>0，ab>e，所有满足ln a＋ln b>1的取法有(2，4)，(4，1)，(4，4)，共3种，所以ln a＋ln b>1的概率为P＝＝，故D不正确．故选AC.
18．(2021·河北石家庄模拟)公元960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面．北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明在这种经济高涨的情况下得到广泛应用.1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，为数学的发展创造了良好的条件.11世纪至14世纪出现了一批著名的数学家和数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，现从三位数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选的两部专著中至少有一部不是杨辉所著的概率为(　　)
A. B．
C. D．
答案　B
解析　由题意，五部专著中有三部是杨辉所著．现从这五部专著中选择两部的样本点总数n＝C＝10，所选的两部专著中至少有一部不是杨辉所著包含的样本点个数m＝C＋CC＝7，则所选的两部专著中至少有一部不是杨辉所著的概率为P＝＝.故选B.
19．(多选)(2021·重庆市高三阶段考试)在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则(　　)
A．甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率为
B.甲、乙两人不在同一岗位服务的概率为
C．五名志愿者中有两人同时参加A岗位服务的概率为
D.五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率为
答案　ACD
解析　记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝＝，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是，A正确；记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝＝，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()＝1－P(E)＝，B错误；有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝＝，C正确；仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝，D正确．
20．(多选)(2021·河北省保定市高三月考)设集合M＝{2，3，4}，N＝{1，2，3，4}，分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m，n)落在直线x＋y＝k上”为事件Ak(3≤k≤8，k∈N*)，若事件Ak的概率最大，则k的取值可能是(　　)
A．4 B．5
C.6 D．7
答案　BC
解析　由题意，点P(m，n)的所有可能情况为(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共12个样本点，则事件A3＝“点P(m，n)落在直线x＋y＝3上”包含其中(2，1)，共1个样本点，所以P(A3)＝；事件A4＝“点P(m，n)落在直线x＋y＝4上”包含其中(2，2)，(3，1)，共2个样本点，所以P(A4)＝；事件A5＝“点P(m，n)落在直线x＋y＝5上”包含其中(2，3)，(3，2)，(4，1)，共3个样本点，所以P(A5)＝；事件A6＝“点P(m，n)落在直线x＋y＝6上”包含其中(2，4)，(3，3)，(4，2)，共3个样本点，所以P(A6)＝；事件A7＝“点P(m，n)落在直线x＋y＝7上”包含其中(3，4)，(4，3)，共2个样本点，所以P(A7)＝；事件A8＝“点P(m，n)落在直线x＋y＝8上”包含其中(4，4)，共1个样本点，所以P(A8)＝.综上可得，当k＝5或6时，P(Ak)max＝P(A5)＝P(A6)＝.故选BC.
21．(2021·河北张家口第三次模拟)2021年3月18日至19日的中美高层战略对话结束后，某校高二(1)班班主任王老师利用班会时间让学生观看了相关视频，见识了强大的祖国对中美关系的霸气表态，同学们非常激动，爱国情感油然而生．为使班会效果更佳，班主任王老师计划从由3名女生(分别记为甲、乙、丙)和4名男生(分别记为A，B，C，D)组成的学习小组中选出4名进行观后体会交流，则男生A和女生甲没有被同时选中的概率为________．
答案　
解析　从3名女生和4名男生组成的学习小组中选出4名，共有C＝35种选法，男生A和女生甲被同时选中有C＝10种选法，故所求概率P＝1－＝.
22．(2021·江苏南京金陵中学模拟)从集合中取两个不同的数a，b，则logab>0的概率为________．
答案　
解析　取两个不同的数a，b，记为有序数对(a，b)，所有样本点为(2，3)，，，(3，2)，，，，，，，，，共12种，满足logab>0的情况有(2，3)，(3，2)，，，共4种，故所求概率为.

一、高考大题
1．(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
解　(1)由已知，得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由(1)知，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝.
二、模拟大题
2．(2021·四川省遂宁市高三三模)我国的高等教育中对于硕士研究生的培养，按照培养方向分类，可分为普通硕士和专业硕士两类：一类是普通硕士，根据我国的有关规定，普通硕士教育以培养教学和科研人才为主，授予学位的类型主要是学术型学位；另一类是专业硕士，根据国务院学位委员会的定位，专业型学位为具有职业背景的学位，培养特定职业高层次专门人才．专业硕士教育的学习方式比较灵活，大致可分为在职攻读和全日制学习两类．某大学团委为了解该校大学一年级的学生对未来的考硕士研究生的规划，从中随机抽取容量为100的样本，其中有考硕士研究生规划的有24人(其中有考普通硕士规划的6人中，2名是男生，4名是女生).
(1)若从样本中选一位学生，那么该同学有考普通硕士规划的概率是多大？
(2)从这6名有考普通硕士规划的学生中，选出3个人，求其中男生至少有一人的概率．
解　(1)样本容量为100，其中有考普通硕士规划的有6人，故该同学有考普通硕士规划的概率P＝＝.
(2)从6人中选取3人有C＝20种情况，
其中至少有一个男生有CC＋CC＝16种情况，故其中男生至少有一人的概率P＝＝.
3．(2021·湖南省四校高三摸底调研联考)为检查学生学习传染病防控知识的成效，某校高一年级部对本年级1500名同学进行了传染病防控知识检测，并从中随机抽取了300份答卷，按得分区间[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]分别统计，绘制成频率分布直方图如上．

(1)估计高一年级传染病防控知识答卷得分的中位数(结果精确到个位)；
(2)根据频率分布直方图，按各得分区间的人数的比例，从得分在区间[80，90)内和[90，100]内的学生中任选7人，并从这7人中随机选3人作传染病预防知识宣传演讲，求这3人中至少有一人得分在区间[90，100]内的概率.
解　(1)设高一年级传染病防控知识答卷得分的中位数的估计值为x，根据频率分布直方图得，0.005×10＋0.010×10＋0.022×10＝0.37，0.37＋0.028×10＝0.65，则x∈[70，80).由0.37＋0.028(x－70)＝0.5(中位数左边和右边小长方形的面积和均为0.5)，
解得x＝74≈75.
∴估计高一年级传染病防控知识答卷得分的中位数为75.
(2)根据频率分布直方图得，得分在区间[80，90)内和[90，100]内的频率分别为0.25，0.1，对应人数的比为5∶2，
∴所选的7人中，得分在[80，90)内的有5人，得分在[90，100]内的有2人．
∴从7人中随机选3人，这3人中至少有一人得分在区间[90，100]内的概率为1－＝.
4．(2021·湖北省武汉市第十四中学月考)袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中红色球有3个，黄色球有2个，绿色球有1个．规定取出红色球记1分，取出黄色球记2分，取出绿色球记3分．在无法看到球颜色的情况下，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回袋中，然后由乙取出剩余的球，规定取出球的总积分多者获胜．
(1)求甲、乙平局的概率；
(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性．
解　(1)甲从6个球中取出3个球，有C＝20种情况，6个小球总分为3×1＋2×2＋1×3＝10分，故甲、乙平局时都得5分，此时，甲取出的3个小球中有1个红色球和2个黄色球，或有2个红色球和1个绿色球，共有CC＋CC＝6种情况，所以平局的概率为P1＝＝.
(2)由甲先取球时，若甲获胜，得分只能是7分或6分，即取出的3个小球中有1个绿色球和2个黄色球，或有1个绿色球和1个黄色球和1个红色球，共7种情况，
所以甲获胜的概率P2＝，
由(1)可得平局的概率为P1＝，
所以乙获胜的概率为P3＝1－－＝，
由上述可知甲、乙获胜的概率相同．同理，由乙先取球时，甲、乙获胜的概率也相同. 故先后取球的顺序不影响比赛的公平性．
5．(2021·湖北省武汉市部分学校高三9月起点质量检测)在某班学生举办的庆祝建党一百周年活动中，指定4名同学依次在分别写有“建”“党”“百”“年”四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果．
(1)求最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率；
(2)用X表示结果中这四个字各出现次数中的最大值，求E(X).
解　(1)因为是放回地简单随机抽样，所以每位同学都有四种选择，故共有4×4×4×4＝256种，其中最后的结果中没有“建”“党”两字，有2×2×2×2＝16种，
“建”“党”两字只出现一个，有2×(C×2×2×2＋C×2×2＋C×2＋1)＝130种，
所以最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率为＝.
(2)X的可能取值为4，3，2，1，
所以P(X＝4)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
所以E(X)＝4×＋3×＋2×＋1×＝.