2023届高考数学一轮复习精选用卷 第七章 平面解析几何 考点39 两条直线的位置关系与距离公式+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第七章 平面解析几何 考点39 两条直线的位置关系与距离公式+答案解析，共11页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试39　两条直线的位置关系与距离公式

高考
概览
高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度
考纲
研读
1.能根据两直线方程判断这两条直线平行或垂直
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离

一、基础小题
1．已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为(　　)
A．0或3或－1 B．0或3
C．3或－1 D．0或－1
答案　D
解析　由题意知1×3a－a2(a－2)＝0，即a(a2－2a－3)＝0，解得a＝0或a＝－1或a＝3，经验证，当a＝3时，两直线重合．故选D.
2．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是(　　)
A．[－10,10] B．[－10,5]
C．[－5,5] D．[0,10]
答案　D
解析　由题意得，点P到直线的距离为
＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．
3．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为(　　)
A．7 B．9
C.11 D．－7
答案　A
解析　由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.因为直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.又点(－1,1)在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.
4．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(　　)
A. B．
C. D．
答案　C
解析　直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|＝.
5．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝(　　)
A．0 B．1
C.－2 D．－1
答案　C
解析　因为l1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，解得n＝－4，所以直线l2的方程为x－2y－3＝0.又l1，l2之间的距离是，所以＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2.故选C.
6．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为(　　)
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
答案　D
解析　由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令可得x＝－3，y＝1，所以M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0.故选D.
7．已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为(　　)
A. B．
C. D．
答案　A
解析　(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方．由已知可得点P在直线l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝.故选A.
8．在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线l1：x－my＋2m－1＝0，l2：mx＋y－m－2＝0的交点为P，过点O分别向直线l1，l2引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为(　　)
A．3 B．
C.5 D．
答案　D
解析　将直线l1的方程变形得(x－1)＋m(2－y)＝0，由得则直线l1过定点(1,2)，同理可知，直线l2过定点(1,2)，

所以，直线l1和直线l2的交点P的坐标为(1,2)，易知，直线l1⊥l2，如图所示，易知，四边形OMPN为矩形，且|OP|＝＝，设|OM|＝a，|ON|＝b，则a2＋b2＝5，四边形OMPN的面积为S＝|OM|·|ON|＝ab≤＝，当且仅当即当a＝b＝时，等号成立，因此，四边形OMPN面积的最大值为.故选D.
9．(多选)已知直线l：mx＋y－m＋1＝0，A(1,2)，B(3,4)，则下列结论正确的是(　　)
A．存在实数m，使得直线l与直线AB垂直
B．存在实数m，使得直线l与直线AB平行
C．存在实数m，使得点A到直线l的距离为4
D．存在实数m，使得以线段AB为直径的圆上的点到直线l的最大距离为＋
答案　ABD
解析　∵直线l：mx＋y－m＋1＝0，A(1,2)，B(3，4)，∴直线l的斜率为－m，直线AB的斜率为1，故当m＝1时，直线l与直线AB垂直；当m＝－1时，直线l与直线AB平行，故A，B正确；直线l：mx＋y－m＋1＝0，即m(x－1)＋y＋1＝0，令求得可得直线经过定点P(1，－1)，由于AP＝3，故点A到直线l的最大距离为3，故C错误；由于A(1,2)，B(3，4)，AB＝＝2，故以AB为直径的圆的圆心Q(2,3)，且PQ＝＝，圆的半径为，圆心Q到直线l的最大距离为，故以线段AB为直径的圆上的点到直线l的最大距离为＋，故D正确．
10．(多选)经过点P(0,1)的直线l与两直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0分别交于P1，P2两点，且满足＝2，则(　　)
A．点P1的坐标为
B．|P1P2|＝
C．点P2的坐标为(7,1)
D．直线l的方程为y＝1
答案　BD
解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l与两直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0的交点P1，P2的坐标分别为，(0,8)，则＝，＝(0,7)，不满足＝2，故直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx＋1，则直线l与两直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0的交点P1，P2的横坐标分别为，，∵＝2，∴0－＝2，解得k＝0，则P1，P2的坐标分别为(－7,1)，，∴|P1P2|＝，直线l的方程为y＝1.故选BD.
11．已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________，此时a＝________，b＝________.
答案　25　5　5
解析　由两直线互相平行可得a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，＋＝1.又a，b为正数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号．故2a＋3b的最小值为25.
12. 如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0，2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．

答案　(4，＋∞)
解析　从特殊位置考虑．如图，因为点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，所以kA1F＝4.又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2,1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，所以kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．

二、高考小题
13．(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　)
A．1 B．2
C.2 D．4
答案　B
解析　抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝，解得p＝2(p＝－6舍去)．故选B.
14．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B．
C. D．2
答案　B
解析　由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1，0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，即为|AP|＝.故选B.
15．(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A. B．
C. D．
答案　B
解析　由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意，所以圆心必在第一象限．设圆心的坐标为(a，a)，a＞0，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.由题意可得(2－a)2＋(1－a)2＝a2，可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)．点(1,1)，(5,5)到直线2x－y－3＝0的距离均为d＝＝，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为.故选B.
16．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
答案　4
解析　解法一：由题意可设P(x0>0)，则动点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号．故所求最小值是4.
解法二：设P(x0>0)，则曲线在点P处的切线的斜率为k＝1－.令1－＝－1，结合x0>0得x0＝，∴P(，3)，曲线y＝x＋(x>0)上的动点到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝＝4.
三、模拟小题
17．(2022·济南模拟)若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
答案　C
解析　设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．
18．(2022·河北省实验中学高三开学考试)若直线l1：y＝kx－k＋1与直线l2关于点(2,3)对称，则直线l2一定过定点(　　)
A．(－3,5) B．(3，－5)
C．(3,5) D．(5,3)
答案　C
解析　直线l1：y＝kx－k＋1可化为y－1＝k(x－1)，故一定经过点(1,1)；点(1,1)关于点(2,3)的对称点的坐标为(3,5)，由于直线l1：y＝kx－k＋1与直线l2关于点(2,3)对称，所以直线l2一定过定点(3,5)．故选C.
19．(2021·吉林省梅河口市第五中学月考)已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　∵直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴m＝4，将直线3x＋2y－3＝0的方程化为6x＋4y－6＝0，则两条平行直线之间的距离d＝＝.故选D.
20．(多选)(2022·河北省实验中学高三开学考试)瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是(　　)
A．(2,0) B．(0,2)
C．(－2,0) D．(0，－2)
答案　AD
解析　设C(x1，y1)，AB的垂直平分线为y＝－x，△ABC的欧拉线方程为x－y＋2＝0，与直线y＝－x的交点为M(－1,1)，∴|MC|＝|MA|＝，∴(x1＋1)2＋(y1－1)2＝10　①，由A(－4,0)，B(0,4)，得△ABC的重心为，代入欧拉线方程x－y＋2＝0，得x1－y1－2＝0　②，由①②可得x1＝2，y1＝0或x1＝0，y1＝－2.故选AD.
21．(多选)(2021·湖南永州高三复习检测)已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的可能取值为(　　)
A. B．
C.－ D．－
答案　BCD
解析　设l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0，易知l1与l2交于点A，l3过定点B(0，－1)．因为l1，l2，l3不能构成三角形，所以l1∥l3或l2∥l3或l3过点A.当l1∥l3时，m＝；当l2∥l3时，m＝－；当l3过点A时，m＝－，所以实数m的可能取值为－，－，.故选BCD.
22．(2021·安徽四校联考(二))已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
答案　6x－y－6＝0
解析　设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
23．(2022·山东省历城二中上学期学情检测)已知m∈R，动直线l1：x＋my－1＝0过定点A，动直线l2：mx－y－2m＋1＝0过定点B，则B点坐标为________；若直线l1与l2相交于点P(异于点A，B)，则△PAB周长的最大值为________．
答案　(2,1)　2＋
解析　由条件知直线l1过定点A(1,0)，直线l2过定点B(2,1)，所以|AB|＝＝，又因为1×m＋m×(－1)＝0，所以l1⊥l2，即PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝2，|PA|＋|PB|≤2 ＝2，当且仅当|PA|＝|PB|＝1时取等号，所以|PA|＋|PB|＋|AB|≤2＋，故△PAB周长的最大值为2＋.
24．(2021·岳阳模拟)已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，则m＝________，＋的最小值为________．
答案　0　
解析　因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，设点Q(4,0)到直线l的距离为d，当d＝|PQ|时取最大值，所以＝3，解得m＝0.所以a＋c＝2，则＋＝(a＋c)·＝×≥×＝，当且仅当c＝2a＝时取等号．

一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．(2022·陕西榆林质量检测)已知两条不重合的直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解　(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.
又因为直线l1过点(－3，－1)，
所以－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.
(2)因为直线l2的斜率存在，且l1∥l2，
所以直线l1的斜率存在．
所以＝1－a.①
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②
联立①②，可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
2．(2021·深圳调研)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
解　(1)设A′(x，y)，由题意知
解得
所以A′.
(2)在直线m上取一点M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设M′(a，b)，则
解得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
则由得N(4,3)．
又因为m′经过点N(4,3)，
所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为直线l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
所以直线l′的方程为2x－3y－9＝0.