2023届高考数学一轮复习精选用卷 函数与方程思想专练+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 函数与方程思想专练+答案解析，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
函数与方程思想专练 一、选择题1．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P，则|PF2|＝(　　)A. B．C. D．4答案　C解析　如图，令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，那么⇒⇒r2＝.故选C.2．(2022·青海省西宁市高三复习检测(一))关于x的方程cos2x－sinx＋a＝0，若0<x≤时方程有解，则a的取值范围是(　　)A．[－1,1] B．(－1,1]C．[－1,0] D．答案　B解析　∵cos2x－sinx＋a＝0，∴a＝sinx－cos2x＝sinx－(1－sin2x)＝2－，∵0<x≤，∴0<sinx≤1，∴<sinx＋≤，∴<2≤，∴－1<2－≤1，即－1＜a≤1.∴a的取值范围为(－1,1]．故选B.3．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0答案　B解析　原不等式可变形为2x－5－x≤2－y－5y.即2x－x≤2－y－－y.故设函数f(x)＝2x－x，f(x)为增函数，所以x≤－y，即x＋y≤0.故选B.4. 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为(　　)A.米 B．2米C．(1＋)米 D．(2＋)米答案　D解析　由题意，设BC＝x(x>1)米，AC＝t(t>0)米，则AB＝AC－0.5＝(t－0.5)米，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°，即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得t＝(x>1)，即t＝x－1＋＋2，因为x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋，此时t取最小值2＋.故选D.5．(多选)(2021·河北邢台高三质检)对于数列{an}，若存在数列{bn}满足bn＝an－(n∈N*)，则称数列{bn}是{an}的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”叙述正确的是(　　)A．若数列{an}是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列B．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最大值C．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最小值D．若an＝1－n，则其“倒差数列”有最大值答案　ACD解析　若数列{an}是单增数列，则bn－bn－1＝an－－an－1＋＝(an－an－1)(1＋)，虽然有an>an－1，但当1＋<0时，bn<bn－1，因此{bn}不一定是单增数列，A正确；若an＝3n－1，则bn＝3n－1－，易知{bn}是递增数列，无最大值，有最小值，最小值为b1，B错误，C正确；若an＝1－n，则bn＝1－n－，当n为偶数时，an＝1－n∈(0,1)，∴bn＝an－<0；当n为奇数时，an＝1＋n>1，显然{an}是递减的，因此bn＝an－也是递减的，即b1>b3>b5>…，∴{bn}的奇数项中有最大值为b1＝－＝>0，∴b1＝是数列{bn}(n∈N*)中的最大值，D正确．故选ACD.二、填空题6．已知向量a＝(1,0)，b＝(λ，2)，|2a－b|＝|a＋b|，则实数λ＝________.答案　解析　由a＝(1,0)，b＝(λ，2)，得2a－b＝(2,0)－(λ，2)＝(2－λ，－2)，a＋b＝(1＋λ，2)，所以|2a－b|2＝(2－λ)2＋(－2)2＝8－4λ＋λ2，|a＋b|2＝5＋2λ＋λ2，又|2a－b|＝|a＋b|，所以8－4λ＋λ2＝5＋2λ＋λ2，解得λ＝.7．(2021·河北衡水中学全国高三第一次联考)已知实数a，b∈(，＋∞)，且满足－>ln ，则a，b，的大小关系是________．答案　a>>b解析　由－>ln ，得＋ln a>＋ln b．设f(x)＝＋ln x，则f′(x)＝－＋＝.当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，故f(x)在区间(，＋∞)上单调递增，又f(a)>f(b)，所以a>b，所以a>>b.8．(2022·江苏盐城、淮安、宿迁、如东等地高三第一次大联考)现有一块正四面体形状的实心木块，其棱长为9 cm.车工师傅欲从木块的某一个面向内部挖掉一个体积最大的圆柱，则当圆柱底面半径r＝________cm时，圆柱的体积最大，且最大值为________cm3.答案　　3π解析　设圆柱上底面圆心为O1，下底面圆心为O2，O2为正四面体底面中心，圆柱的上底面与正四面体侧面ACD的交点N在侧面中线AM上，∵正四面体棱长为9，∴BM＝9×＝.∴O2M＝，BO2＝3，AO2＝3，设圆柱底面半径为r，高为h，由O1N∥O2M得＝，∴h＝3－2r，∴V圆柱＝πr2(3－2r)＝3πr2－2πr3，令f(r)＝3πr2－2πr3，f′(r)＝6πr－6πr2，令f′(r)＝0得r＝，∴r＝时，f(r)max＝π×3×(3－2×)＝3π.三、解答题9．在△ABC中，D是BC边的中点，AB＝3，AC＝，AD＝.(1)求BC边的长；(2)求△ABC的面积．解　(1)设BD＝x，则BC＝2x，在△ABD中，有cos∠ABD＝＝，在△ABC中，有cos∠ABC＝＝，且∠ABD＝∠ABC，即＝，解得x＝2，所以BC＝4.(2)由(1)可知，cosB＝，B∈(0，π)，得sinB＝，所以S△ABC＝·AB·BC·sinB＝×3×4×＝3.10．(2021·贵州省凯里一中月考)在等差数列{an}中，已知a3＋a4＝84－a5，a8＝36.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，求的最小值．解　(1)由a3＋a4＝84－a5得a4＝28，由得∴数列{an}的通项公式为an＝22＋(n－1)×2＝2n＋20.(2)由(1)得，Sn＝22n＋×2＝n2＋21n，∴＝n＋＋21，n∈N*，令f(x)＝x＋＋21，x＞0，f′(x)＝1－，当x∈(0,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，又n∈N*，f(4)＝f(5)＝30，∴当n＝4或5时，取最小值，为30.11．(2022·湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格．该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是，，第二轮比赛时两组通过的概率分别是，，两轮比赛过程相互独立．(1)若将该部门获得决赛资格的小组数记为X，求X的分布列及数学期望；(2)比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次(与答题顺序无关)，若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组”．该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为p(0<p<1)且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为f(p)，当p＝p0时，f(p)最大，试求p0的值．解　(1)设甲、乙通过两轮制的初赛分别为事件A1，A2，则P(A1)＝×＝，P(A2)＝×＝.由题意知X的取值可能为0,1,2，则P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝.那么X的分布列为X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝1.(2)由题意，知小组中2人答对的概率为C(1－p)2p2,3人答对的概率C(1－p)p3，则f(p)＝6(1－p)2p2＋4(1－p)p3＝2p4－8p3＋6p2.f′(p)＝8p3－24p2＋12p＝4p(2p2－6p＋3)，令f′(p)＝0得p1＝0(舍去)，p2＝，p3＝(舍去)，在上，f(p)单调递增，在上，f(p)单调递减．故p＝时，f(p)最大．所以p0＝.12．在平面直角坐标系中，动点M到定点F(－1,0)的距离与它到直线x＝－2的距离之比是常数，记点M的轨迹为T.(1)求轨迹T的方程；(2)过点F且不与x轴重合的直线m与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，在轨迹T上是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．解　(1)设M(x，y)，根据动点M到定点F(－1，0)的距离与它到直线x＝－2的距离之比是常数，得＝，整理得＋y2＝1，∴轨迹T的方程为＋y2＝1.(2)假设存在直线m，设直线m的方程为x＝ky－1，由消去x，得(k2＋2)y2－2ky－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝，∴线段AB的中点H的坐标为.∵四边形APBQ为菱形，∴直线PQ为线段AB的中垂线．∴直线PQ的方程为y－＝－k，令y＝0，解得x＝－，即P.设Q(x0，y0)，∵P，Q关于点H对称，∴＝，＝(y0＋0)，解得x0＝，y0＝，即Q.∵点Q在椭圆上，∴2＋22＝2，解得k2＝，于是＝，即＝±，∴直线m的方程为y＝x＋或y＝－x－.