2021-2022学年广东省名校高三（下）开学数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年广东省名校高三（下）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若复数满足，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 想要得到的图像，只需要将的图像(    )

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

4. 下列函数与关于对称的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 拉面是很多食客喜好的食物师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折对折后面条根数变为原来的倍，再拉到上次面条的长度每次对折后，师傅都要去掉捨在一只手里的面团如果拉面师傅将面团拉成细丝面条，每次对折后去掉捨在手里的面团都是，第一次拉的长度是，共拉了次，则最后每根长的细丝面条的质量假定所有细丝面条粗线均匀，质量相等是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知点为圆：上一点，，，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数为自然对数的底，若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，得到如图所示的等高条形统计图，若被调查的男女人数相同，则下列说法中正确的有(    )

A. 被调查的学生中喜欢登山的男生人数比不喜欢登山的女生人数多
B. 被调查的男生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
C. 有的把握认为喜欢登山和性别有关不会受到被调查的男女生人数影响
D. 有的把握认为喜欢登山和性别有关会受到被调查的男女生人数影响

10. 下列结论正确的是(    )

A. 若，则
B. 函数的最小值为
C. 若，则
D. 函数的最小值

11. 如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面为等腰直角三角形，，，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列结论正确的是(    )

A.
B. 直线与直线夹角的余弦值为
C. 直线平面
D. 若是线段的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为
 

12. 设函数满足，则给出如下结论正确的是(    )

A. 关于点成中心对称
B. 若在上单调递增，则是在上单调递增
C. 若，则无极值
D. 对任意实数，直线与曲线有唯一公共点

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知向量，若，则______．
14. 名男生与名女生随机站成一排拍合照，名女生要求站在一起，则男生甲站在最左端的概率为______．
15. 双曲线的右焦点为，双曲线的一条渐近线与以为直径的圆交于点异于点，与过且垂直于轴的直线交于，若，则双曲线的离心率为______．
16. 半径为的球面上有，，，四点，且，，两两垂直，则，与面积之和的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知数列的前项和为，且满足，，．
    求的通项公式；
    数列满足，，，数列满足，的前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
18. 本小题分
    如图，正方形和所在的平面互相垂真，且边长都是，，，分别为线段，，上的动点，且，平面．
    证明：平面；
    当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．

19. 本小题分
    石门中学一校友为再现校园池塘内“白毛浮绿水，红掌拨清波”的美景，先后在池塘内放养了六只自白鹅和六只青鸭，鹅鸭的生养要有离水而居的平台，计划设计的平台为一个直角三角形米，米，在斜边外添加一个弧度数为的弓形浮板让鹅鸭上落，如图所示．
    求弓形的面积；
    弓形浮板要专业师傅来做，在一时做不了的情况下，应急所需，拿了一块梯形木板顶替，如图所示，，米，米，，为使浮板牢固，在背面沿对角钉了两条木条和，恰好，求木条和的长．
     

20. 本小题分
    学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得分，失败得分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得分，次局获胜得分，失败均得分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动每天两局时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动每天两局，各局比赛互不影响．
    Ⅰ求李明这天参加“双人对战”活动的总得分的分布列和数学期望；
    Ⅱ设李明在这天的“四人赛”活动每天两局中，恰有天每天得分不低于分的概率为求为何值时，取得最大值．
21. 本小题分
    已知椭圆的焦距为，且过点若直线为椭圆与抛物线：的公切线．其中点，分别为，上的切点．
    求椭圆的标准方程；
    求面积的最小值．
22. 本小题分
    已知函数．
    证明：当时，；
    若数列满足，且，证明：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
，
则．
故选：．
求出集合，，由此能求出．
本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查考查的运算，以及复数虚部的概念．
根据已知条件，结合复数的四则运算和复数模的公式，对化简，再结合复数虚部的概念，即可求解．

【解答】

解：，
，
，
的虚部为．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：要想得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可；
故选：．
直接利用函数的关系式的变换把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，设要求函数图象上任意一点的坐标为，
其关于直线对称的点为，
则有，即要求函数为，
故选：．
根据题意，设要求函数图象上任意一点的坐标为，求出关于直线对称的点的坐标，由此分析可得答案．
本题考查函数的对称性，涉及函数解析式的计算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
由已知利用二倍角的正弦公式以及诱导公式即可化简求解．
本题考查了二倍角的正弦公式以及诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：拉面师傅拉次面条共有根面条，
在次拉面过程中共对折次，则去掉面的质量为；
剩下根面条的总质量为，
则每根面条的质量为
故选：．
求出拉面次后的面条总根数，再求出对折次去掉的面的质量，用剩余面的质量除以面条根数得答案．
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，设，则，，
则，
则，即，
设，其几何意义为点到点的距离，设；
点为圆：上一点，且，的最大值为，
则的最大值为；
故选：．
根据题意，设，求出向量的坐标，据此可得，即，设，分析的几何意义，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查圆的方程的应用，涉及向量模的计算，关键是分析的几何意义，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，可得，即有为偶函数，
由题意考虑时，有两个零点，
当时，，，
即有时，，
由，可得，
由，相切，设切点为，
的导数为，可得切线的斜率为，
可得切线的方程为，
由切线经过点，可得，
解得或舍去，
即有切线的斜率为，
由图象可得时，直线与曲线有两个交点，
综上可得的范围是．
故选：．
设，判断为偶函数，考虑时，的解析式和零点个数，运用导数的几何意义和数形结合思想，即可得到所求的范围．
本题考查函数的零点的个数问题解法，注意运用构造函数，运用函数的奇偶性和导数的几何意义，考查数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于综合题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设被调查的男女人数均为人，则由等高条形图可得：
性别与是否喜欢登山的列联表为：

由表可知，选项都正确；
又，且，
有的把握认为喜欢登山和性别有关会受到被调查的男女生人数影响，
选项错误，选项正确．
故选：．
设被调查的男女人数均为人，根据等高条形图，可得性别与是否喜欢登山的列联表，从而可判断，，再由公式及独立性检验思想即可判断，．
本题考查等高条形图，独立性检验思想，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于：，则，，则，故A对，
对于：，因为，又，在上单调递增，所以最小值为，故B错．
对于：因为所以，故C对，
对于：，当且仅当时取等号，而，故D错，
故选：．
直接利用基本不等式性质，特别注意三要素，可解．
本题考查基本不等式的性质，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对选项，由题意易证平面，平面，
，即，选项正确；
对选项，，分别是，的中点，，
即为直线与直线所成的角，
设，则，
，又，
，选项错误；
对选项，设，则，
在与中，
，，
，又，
，，
，又由选项的分析知，且，
平面，即直线平面，选项正确；
对选项，设，则，
则，，




，
又，
，选项正确．
故选：．
对选项，由题意易证平面，从而可得；
对选项，由，分别是，的中点，可得，从而得即为直线与直线所成的角，在解三角形即可判断；
对选项，先由三角函数证明，从而得，再结合，根据线面垂直判定定理即可判断；
对选项，将三棱锥的体积转化为三棱锥体积的二分之一，从而可计算出，再计算，从而得体积的比值．
本题考查线面垂直的判定定理，线面垂直的性质，异面直线所成角，锥体的体积的转化，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意，，整理得：，则，
，
所以关于点成中心对称，A正确；
对求导得，二次函数对称轴，而区间与关于数对称，
因在上单调递增，即当时，，因此，当时，，则在上单调递增，B正确；
当时，由得，即，整理得，
，，则二次函数有两个零点，，
当或时，，当时，，则在，处分别取得极大值和极小值，
当时，，同理可得有极大值和极小值，
综上得，有极值，不正确；
，由消去并整理得：
，
由得：，当且仅当时取“”，
当时，，方程组有唯一解，
当时，，方程组有唯一解，
因此，，方程组均有唯一解，
所以任意实数，直线与曲线有唯一公共点，D正确．
故选：．
由已知用表示，计算判断；求出导数结合二次函数性质判断；分类探讨导函数的零点判断；解给定直线方程与曲线方程组成的方程组判断作答．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，先求出，再结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：名男生与名女生随机站成一排拍合照，名女生要求站在一起，有种方案，
男生甲站在最左端有种方案，
则男生甲站在最左端的概率为．
故答案为：．
根据古典概型公式计算即可．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
由题意知，又，，，所以，
若，则，即，
在中，由勾股定理可得，
又，可得，
所以，化简可得，即，
所以，
故答案为：．
根据题意，利用直角三角形，渐近线的斜率，三角形的面积关系可得关于，，的方程，化简即可得出双曲线的离心率．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：半径为的球面上有，，，四点，且，，两两垂直，
如图所示

则设四面体置于长方体模型中，外接球的半径为，
故，
，
由于，
所以，故，
故答案为：．
首先求出长方体的外接球的半径，进一步利用三角形的面积和基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：长方体的棱长和外接球的半径之间的关系式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
 

17.【答案】解：当时，，所以，
当时，，
，为从第项开始的常数列，
，

因为，所以，
所以数列的奇数项构成以为首项，为公比的等比数列，
故，
，
又因为在上单调递增，
整数的最小值为． 

【解析】根据递推公式，结合常数列的定义进行求解即可；
根据等比数列和等差数列的前项和公式，结合数列的单调性进行求解即可．
本题考查了数列的递推关系式以及数列单调性的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：平面平面，平面平面，，平面，
平面，，
又且，，，
又平面，、平面，
面．
依题意得，，
，
当时，即，，为中点时，三棱锥体积最大，
以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
同理可得，平面的法向量为，
，，
由图可知，二面角为钝角，
二面角的余弦值为． 

【解析】只需证明，，即可证明面．
依题意得，，，即可得当时，即，，为中点时，三棱锥体积最大，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角的余弦值．
本题考查空间中线与面的位置关系、二面角的求法，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由勾股定理得，
设弓形所在圆的圆心为，在线段的垂直平分线上，半径为，则，
在中由正弦定理得，，
则弓形的面积为：
如图，过作于，以为轴，为轴建立直角坐标系．

设，则，，，，
则，．
因为，所以，
，或舍去，
，，，，
，． 

【解析】首先由勾股定理求出，再由正弦定理求出外接圆的半径，最后根据计算可得；
如图，过作于，以为轴，为轴建立直角坐标系，设，即可表示出点、、、的坐标．
再根据，即可得到，从而求出的值，即可求出点、、、的坐标，再根据两点的距离公式解得可得．
本题主要考查扇形的面积公式和利用向量解决实际问题，属于中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ的取值范围是，，，，，，．
所以的分布列为

．
Ⅱ由题意知“每天得分不低于分”的概率为，
所以天中恰有天每天得分不低于分的概率，，
当时，，在单增，
当时，，在单减，
所以当时，取得最大值． 

【解析】可取，，，，，，求出对应随机变量的概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可；
先求出一天得分不低于分的概率，再求出恰有天每天得分不低于分的概率为，再根据导出求出函数的单调区间，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：椭圆半焦距，依题意，，，
又，解得，，
所以椭圆的标准方程为：．
显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，，
由消去并整理得：，
则，即，，
由消去并整理得：，
则，即，
，点到直线的距离为，

，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最小值为． 

【解析】根据给定条件，列出关于，的方程，求解作答．
设出直线的方程，分别与抛物线，椭圆的方程联立，求出切点纵坐标，再求出面积的函数关系，借助均值不等式计算作答．
本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

22.【答案】证明：要证，则只需证明在上恒成立，
令，则，
令，
所以，
在上恒成立，
所以在上单调递增，
又，即，
所以在上单调递增，
又，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
要证，只需证，
当时，，所以，
又，
所以，则，
只需证，
即证，
由可知，当时，，即证，
即证，
即证，
令，
只需证当时，，
则，
令，
则，
令，
则，
则在上单调递增，
又，
所以在上恒成立，即在上单调递增，
又，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，
所以原不等式成立． 

【解析】要证，则只需证明在上恒成立，令，则只需证明，即可得出答案．
要证，只需证，当时，，只需证，即证，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．