2021-2022学年湖北省华大新高考联盟高三（下）开学数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年湖北省华大新高考联盟高三（下）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2. 若，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 命题：若为钝角，则；命题：，是假命题，则实数的取值范围是下列命题为真命题的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知是内一点，满足，则：(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

5. 已知，则曲线与交点个数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知，求(    )

A.  B.  C.  D.

8. 为保障妇女权益、促进妇女发展、推动男女平等，我国于年颁布实施中国妇女发展纲要年以下简称纲要纲要实施以来，我国积极推动和支持妇女参政议政，妇女参与决策和管理的比例明显提高，妇女的政治权利得到有力保障和加强年召开的第十三届全国人民代表大会共有女代表名，政协第十三届年全国委员会中有女委员人．第一到十三届历届全国人大女代表、政协女委员所占比重如图：
   
   下列结论错误的是(    )

A. 第十三届全国人大女代表所占比重比第十一届提高个百分点
B. 第十三届全国政协女委员所占比重比第四届提高个百分点以上
C. 从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值低于
D. 第十三届全国人大代表的人数不高于人

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 祖暅公元世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与距离为的平面截两个几何体得到及两截面，可以证明总成立．若椭半球的短轴，长半轴，则下列结论正确的是(    )

A. 椭半球体的体积为
B. 椭半球体的体积为
C. 如果，以为球心的球在该椭半球内，那么当球体积最大时，该椭半球体挖去球后，体积为
D. 如果，以为球心的球在该半球内，那么当球体积最大时，该椭半球体挖去球后，体积为

10. 已知双曲线的右焦点为，坐标原点为，左、右顶点分别为、，为双曲线上的点，且轴连接交轴于，连接交直线于，下列结论正确的是(    )

A. 双曲线的离心率为 B.
C. 点到直线的距离为 D. 直线斜率为或

11. 已知数列，为的前项和，其中，，则下列结论正确的是(    )

A. 是等差数列 B. 是等差数列
C.  D.

12. 如图，已知平面垂直于平面，四边形为菱形，，，，下列结论正确的是(    )

A. 异面直线与直线所成角的余弦值为
B. 异面直线与直线所成角的余弦值为
C. 若三棱锥的顶点都在球上，则球心在平面内
D. 若三棱锥的顶点都在球上，则球的表面积为
 

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则抛物线的焦点坐标为______．
14. 若，则______．
15. 已知数列，为的前项和，，，则______．
16. 若恒成立，则的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知在数列中，．
    求数列的前项和；
    设，求数列的项的和．
18. 本小题分
    在中，，，分别为角，，的对边，，，且，．
    求角大小；
    为边上一点，，且______，求的面积．
    从为的平分线，为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线并作答．如果都选，以选计分．
19. 本小题分
    如图，在三棱柱中，侧面底面，，且为的中点．
    求证：平面；
    求二面角的余弦值．

20. 本小题分
    某学习网按学生数学成绩的水平由高到低分成甲、乙两档，进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲、乙档学生做对每道题的概率分别为，，现从甲、乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合．
    现从甲档中选取一名学生，该生道题做对道题的概率为，求出的最大值点；
    若以作为的值，求每一个互助组合做对题的概率；
    现选取个组合，记做对题的组数为随机变量，当时，取得最大值，求相应的和．
21. 本小题分
    已知定圆：，动圆过点，且和圆相切．
    求动圆圆心的轨迹的方程；
    若过点的直线交轨迹于，两点，与轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，请说明理由．
22. 本小题分
    已知函数．
    讨论函数的单调性．
    当时，若有两个零点，，且实数满足恒成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，
，
则．
故选：．
求出集合，，利用并集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，对于，，
又由为钝角，即，则有，必有，
故，是真命题；
对于，当时，是假命题，故是假命题；
故是真命题；
故选：．
根据题意，分析命题和的真假，进而由复合命题真假的判断方法分析可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及全称、特称命题的关系，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，设的中点为，则，
则，
若，则，
所以是中线上靠近点的三等分点，
即，则：：，
故选：．
根据题意，设的中点为，由条件，可得，是中线上靠近点的三等分点，由此求出：．
本题考查平面向量基本定理，涉及向量的数乘运算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：在同一坐标系内作出函数，的函数图像，如图所示：
因为，
当时，，
当时，，根据图像可知，交点个数为个．
故选：．
在同一坐标系内作出函数，的函数图像，结合三角函数的范围，当时，，当时，，可得答案．
本题考查了两函数的交点个数，也考查了学生作图能力，作出图像是解答本题的难点，也是关键点，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．
本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
则．
故选：．
把已知条件根据诱导公式化简，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后代入即可求解．
本题主要考查了诱导公式及二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】对于，第十三届全国人大女代表所占比重为，
第十一届为，提高个百分点，故A正确；
对于，第十三届全国政协女委员所占比重为，第四届为，
提高个百分点，故B正确；
对于，从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值为：
，高于，故C错误；
对于，第十三届全国人大代表的人数约为，故D正确．
故选：．
根据折线图逐一分析判断各个选项能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意知，短轴，长半轴的椭半球体的体积为，A正确，B错误；
椭球的轴截面是椭圆，它的短半轴长为，长半轴长为，所以半焦距为，
由于，所以为椭圆的焦点，因此是椭圆的最小焦半径，即球的最大半径为，
该椭半球体挖去球后，体积为，故C正确，D错误．
故选：．
由题可知，利用柱体和锥体的体积公式计算之后可判断，；利用椭圆的性质可判断球的最大半径为，进一步计算可判断，．
本题考查数学文化、圆柱和圆锥的体积公式；考査运算求解能力、知识迁移能力和空间想象能力；灵活运用题中原理的含义是求解本题的关键，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，
所以∽，∽，
所以，，所以，
所以，
由知，，即，
所以，
所以，即，故A正确；
所以，即直线是双曲线的渐近线，
所以点到直线的距离为，故C正确；
由条件可得，
所以，即直线的斜率为，即D正确；
又，即直线的斜率为，它不与直线垂直，所以，故B错误．
故选：．
由可得，结合条件可得，进而可得，然后逐项判断即可．
本题主要考查双曲线的性质，考查圆锥曲线与向量的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由已知有：当为奇数时，，
当为偶数时，，
即当时，，
即数列为等差数列，即选项A正确；
又，即数列为等差数列，即选项B正确；
由已知可得为等差数列，
又，则，
则，即选项C错误；
，即选项D正确，
故选：．
由已知可得：当时，，然后可得数列为等差数列且数列为等差数列，然后结合等差数列前项和公式求解即可．
本题考查了数列的递推式，重点考查了等差数列前项和公式，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：平面垂直于平面，，平面平面，
平面，同理平面，
四边形是边长为菱形，，
，
取中点，则，，
四边形为平行四边形，
，
在直角三角形中，，
又，
在中由余弦定理得，，
即异面直线与直线所成角的余弦值为，故A错误；

，根据条件可知，，
，
在中由余弦定理得，，
又，
异面直线与直线所成角或补角，
异面直线与直线所成角的余弦值为，故B错误；
空间中到、两点距离相等的点的集合为平面，
所以球心在平面内，故C正确；
取线段的中点为，
，故为线段的垂直平分线，所以球心直线，
取的中点为，以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

设，是球心，
只需要使，即，
解得：，
所以，
所以，故D正确．
故选：．
取中点，则，为异面直线与直线所成角，通过计算可判断，由题知异面直线与直线所成角或补角，进而判断，结合条件及球的性质可判断，利用坐标法可得，可判断．
本题主要考查了异面直线所成角，球的表面积计算，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆：的圆心，
代入抛物线方程可得：，解得，
所以抛物线：，焦点坐标为．
故答案为：．
求出圆的圆心坐标，代入抛物线方程，求出，然后求解焦点坐标．
本题考查抛物线的简单性质，圆的方程的应用，是中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：令，
则，
，
，
由，可得，
又，则，
故答案为：．
令，求出，，，再求出即可．
本题考查了二项式定理的应用，考查了方程思想，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由于，，
当时，，，
得：，
整理得，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以．
由于，所以，
所以．

故答案为：．
直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：函数，都是单调递增函数，都至多有一个零点，
因为恒成立，所以函数，有公共零点，
记为，则，即，
，设．
，，在单调递增
在单调递减，单调递增
，，，
．
故答案为：．
函数，都是单调递增函数，都至多有一个零点，记为，则，，设，求导，利用单调性可求的取值范围．
本题考查函数恒成立问题，以及转化思想的应用，属中档题．
 

17.【答案】解：，
数列的前项和
．
，
数列的项的和． 

【解析】，利用裂项求和方法即可得出数列的前项和．
，利用等比数列的求和公式即可得出数列的项的和．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：，，且，
，
，
，
在三角形中，，
，故A；
选：因为为的平分线，所以，
又因为，所以，
即，则，
又由余弦定理可得，即，
所以，即，解得或舍去．
所以；
选：因为为的中点，则，，则，
故有，即，
又由余弦定理可得，解得，
所以． 

【解析】利用向量共线的坐标运算可求得，再利用正弦定理可求得，从而可求得角的大小；
选：利用，结合三角形面积公式可得，再由余弦定理求得，即可求出面积；
选：利用中点以及，得到，再利用余弦定理求得，即可求出面积．
本题考查三角函数的恒等变换和三角形的余弦定理、面积公式的运用，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：，且为的中点，，
又侧面底面，交线为，且平面，
平面．
如图，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．

因为边长呈比例关系，不妨设．
由已知可得，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则有，取，得，为平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
则有，令，得，为平面的一个法向量，
．
所求二面角的余弦值为． 

【解析】推导出，由此能证明平面．
连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出所求二面角的余弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以时，取得最大值．
设每个互组组合做对题的概率为，
．
由知每个组合做对题的概率为，做错题的概率为，
所以，，
因为时，取得最大值，单调递增，
考虑二次项系数取最大值即可，
当时，取得最大值，
此时时，． 

【解析】由题意，求得，再利用导数求最值即可；
求得，再求最大值时的，及期望即可．
本题考查离散型随机变量，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：设，，
因为在圆内，
所以，
所以的轨迹为椭圆，其中，，
所以的轨迹方程为：；
易知直线的斜率存在，设直线方程，
则与轴交于，
设直线交椭圆于，，
由得，
，，
 又由，，
，
，
同理可得，
，
所以当直线的倾斜角变化时，的值为定值． 

【解析】由条件可判断的轨迹为椭圆，由此可得轨迹方程；
设直线方程，求得点坐标，将直线的方程与椭圆方程进行联立，结合韦达定理和，，可求得为定值．
本题考查了轨迹方程，直线与椭圆的综合，属于中档题．
 

22.【答案】解：函数，可得，
当时，定义域为，，解得；，解得．
的增区间为，减区间为．
当时，定义域为，，解得；，解得．
的增区间为，减区间为．
，
令，则，在上单调递增，在上单调递减，
则要使有两个零点，．
故时，有两个零点，，不妨设易知，
，，，，
即．
令，在上恒成立．
因为，，易知，
令，则，．
令，，对称轴．
若，即时，，故，在上单调递减，
则，符合题意；
若，即时，，故存在唯一，有，
从而在上单调递增，在上单调递减，从而，不合题意．
综上所述，的取值范围是． 

【解析】求出导函数，通过当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调区间．
通过，得到，令，则，判断函数的单调性，求出函数的极值点，时，有两个零点，，不妨设易知，推出在上恒成立．令，求出导函数，令，求出，对称轴然后讨论若，满足题意；若，转化求解的取值范围．
本题考查函数导数的应用，函数的单调区间的求法，函数的极值的求法，是难题．