（人教A版2019选择性必修第一册）专题18 圆锥曲线选填中档题汇编

专题18  圆锥曲线选填中档题汇编(1)

一．选择题（共10小题）

1．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设双曲线的标准方程为，由题意知，，

设，，，，

则有：，，

两式作差得：，

又的斜率是，

所以将代入，

解得，．

所以双曲线的标准方程是．

故选：．

2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，连接与轴交于点，若为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：在△中，，

，

由双曲线的定义知，，

，，

，

，即，即，

，即，

双曲线的渐近线方程为．

故选：．

3．若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为该双曲线上的任意一点，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，或，

由题意可得，，，，

则，，

，或，

当时，取最小值为．

故选：．

4．已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，且交轴于点，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为为的中垂线，所以，

又为的中点，所以，

设点，，，，因为，

所以，

同理可得，

所以，则，

又由已知椭圆方程可得，，所以，

则，所以，

因为，所以，

因为，且在上单调递增，

当时，，当时，，

所以，

故选：．

5．设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点．若，且，则双曲线的渐近线方程是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由双曲线的定义知，，

，

，，

，

，即，

在△中，由余弦定理知，，

，

，

化简得，，

双曲线的渐近线方程为，即．

故选：．

6．已知，是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为　　

A．5 B．4 C．2 D．1

【解答】解：是焦点为、的椭圆上一点，

为的外角平分线，，

设的延长线交的延长线于点，

，

，，

由题意知是△的中位线，

，

点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，

当点与轴重合时，

与短轴端点取最近距离．

故选：．

7．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则等于　　

A．4 B． C．2 D．3

【解答】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，在双曲线的右支上，

根据椭圆及双曲线的定义可得，，

可得，，设，，

四边形是平行四边形，所以，，

在△中由余弦定理得，，

化简得，

该式可化为：，

结合，，

则．

故选：．

8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，连接，，

过点的直线与圆相切于点，，

依题意可得，，，，，

，，

，

双曲线的渐近线方程为．

故选：．

9．过双曲线的右焦点作圆的切线，交轴于点，切圆于点，若，则双曲线的离心率是　　

A． B． C．2 D．

【解答】解：若，可得，且，

由，，可得，，

在中，由直角三角形的射影定理可得，

则，即，

则，

故选：．

10．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

设，，，则，，

根据双曲线的定义，得，

即，

解得，，

即，，，

△中，

，

在三角形中，

，，

，可得，

因此，该双曲线的离心率．

故选：．

二．多选题（共13小题）

11．已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是　　参考数据

A．椭圆的离心率 

B．双曲线的离心率 

C．椭圆上不存在点使得 

D．双曲线上存在不同的四个点，2，3，，使得垂直

【解答】解：如图，设，则由正六边形性质可得点，，

由点在椭圆上可得，结合，可得，

所以椭圆的离心率，故正确，

所以，

所以当点为椭圆上顶点时，，此时，故错误，

点，在双曲线的渐近线上可得，即，

所以双曲线的离心率，故正确，

当由正六边形的性质可知，双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点，，，，

使得垂直，故正确．

故选：．

12．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是　　

A．当，曲线为椭圆 

B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 

C．“或”是“曲线为双曲线”的充要条件 

D．不存在实数使得曲线为离心率为的双曲线

【解答】解：对于：当曲线表示椭圆时，且，解得，

但时，曲线为，表示圆，故错误；

对于：当时，曲线为，渐近线为，故正确；

对于：当曲线为双曲线，则，解得或，故正确；

对于：当曲线为离心率为的双曲线时，则，即，解得，

经检验时，曲线表示圆，故正确，

故选：．

13．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率可能为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意设，，，，

则，，

且为向量与的夹角，

因为为钝角，

则，即，，，

即，又，

所以，即，解得，

又，所以，

 故选：．

14．设，，，是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为　　

A．为定值 

B．直线过抛物线的焦点 

C．最小值为16 

D．到直线的距离最大值为4

【解答】解：设直线方程为，，，，，

将直线方程代入抛物线方程，焦点坐标

得，

则，，

，，．

于是直线方程为，该直线过定点．故正确；

焦点坐标不满足直线方程，所以不正确；

，

．当且仅当时，取等号，

最小值为16．所以正确；

到直线的距离，当时，取得最大值4，即正确；

故选：．

15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且△的面积为双曲线和椭圆焦点相同，且双曲线的离心率为，是椭圆与双曲线的一个公共点，若，则下列说法正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可得△的面积为，

即有，则，

设双曲线的方程为，在第一象限，且，，

由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，

解得，，

在△中，，

则，可得，

则，即有，

由，可得，

则，，，，

所以选项正确；错误．

故选：．

16．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是　　

A．的方程为 

B．的离心率为 

C．曲线经过的一个焦点 

D．直线与有两个公共点

【解答】解：设双曲线的方程为，

根据条件可得，且，

解得，，

所以双曲线的方程为，故对；

离心率，故错；

双曲线的焦点为，，将代入得，所以对；

联立，整理得，则△，故只有一个公共点，故错，

故选：．

17．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，，分别为，在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是　　

A． B．为等腰直角三角形 

C．直线的斜率为 D．线段的长为

【解答】解：由抛物线方程，可得焦点，

准线方程为，

由题意可得直线的斜率不为0，

由题意设直线的方程为：，

设，，，，

由题意可知，，

将直线与抛物线联立整理得，

则，，

中，，，，即，即，所以正确；

中，由正确，不可能，更不会或为直角，所以不正确；

中，因为，所以，即，又，，

所以，解得，即，所以直线的斜率为，所以正确；

中，由题意可得弦长，所以正确．

故选：．

18．在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是　　

A．双曲线的渐近线方程为 

B．双曲线的方程为 

C．为定值 

D．存在点，使得

【解答】解：双曲线的离心率为，

，，渐近线方程为，故错误；

又，则，，则双曲线方程为，故正确；

，，设，则，故正确；

，

点在第一象限，渐近线方程为，，则，

，即存在点，使得，故正确．

故选：．

19．我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，分别为左、右、上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆为“黄金椭圆”的是　　

A． 

B． 

C．轴，且 

D．四边形的内切圆过焦点，

【解答】解：由椭圆，可得，，，，，，

对于，，即为，所以，即，不符题意，错误；

对于，若，则，即，所以，

即有，解得舍去），符合题意，正确；

对于，若轴，且，所以，

由，可得，解得，又，所以，不符题意，故错误；

对于，若四边形的内切圆过焦点，，

即四边形的内切圆的半径为，则，结合，

所以，即，解得（舍去）或，所以，故正确．

故选：．

20．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，则　　

A．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于3，则抛物线的方程为 

B．若，则直线的斜率为 

C．若直线的斜率为，则 

D．设线段的中点为，若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为

【解答】解：对于，抛物线的焦点为，，

准线方程为，

由抛物线的定义可得，解得，

所以抛物线的方程为，故正确；

对于，可设，，，，

直线的方程为，与抛物线联立，

消去，可得，

可得，，①由，

即为，可得，②，

由①②可得，，

则，可得，即有直线的斜率为，

故错误；

对于，若直线的斜率为，由选项可得，，

由抛物线的弦长公式可得，故错误；

对于，抛物线的焦点到准线的距离为，则该抛物线的方程为，

设直线的方程为，

设，，，，联立可得，△，，

所以，

，到轴的距离为，

所以，当且仅当时，取得等号，故正确．

故选：．

21．已知，分别为双曲线的左、右焦点，，分别为其实轴的左、右端点，且，点为双曲线右支一点，为△的内心，则下列结论正确的有　　

A．离心率 

B．点的横坐标为定值 

C．若成立，则 

D．若垂直轴于点，则

【解答】解：，且，，

，，，即选项正确；

设内切圆与△的三边分别相切于点，，，如图所示，

由圆的切线长定理知，，，，

由双曲线的定义知，，

而，

，，

，即点的横坐标为定值，故选项正确；

设圆的半径为，

，

，即，

，即，

，即选项正确；

假设点在第一象限，设其坐标为，则，

垂直轴于点，

，，，

，

若，则，化简得，

此时点与重合，不符合题意，即选项错误．

故选：．

22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其长轴长是短轴长的，若点是椭圆上不与，共线的任意点，且△的周长为16，则下列结论正确的是　　

A．的方程为 

B．的离心率为 

C．双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为 

D．点是圆上一点，点，是的左、右顶点不与，重合），设直线，的斜率分别为，，若，，三点共线，则

【解答】解：根据题意可得，解得，，，

对于：椭圆的方程为，即正确；

对于，即错误；

对于：双曲线的渐近线为，

联立，且，，解得，，

双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，即正确；

对于：由题意知，，，

设，，则，

在圆上，且，，三点共线，

，，

，即，故选项正确．

故选：．

23．发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数．已知：曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是　　

A．曲线过坐标原点 

B．曲线关于坐标原点对称 

C．曲线关于坐标轴对称 

D．若点在曲线上，则△的面积不大于

【解答】解：由题意设动点坐标为，

则，

即，

若曲线过坐标原点，将点代入曲线的方程中可得与已知矛盾，

故曲线不过坐标原点，故错误；

把方程中的被代换，被 代换，方程不变，

故曲线关于坐标原点对称，故正确；

因为把方程中的被代换，方程不变，故此曲线关于轴对称，

把方程中的被 代换，方程不变，故此曲线关于轴对称，

故曲线关于坐标轴对称，故正确；

若点在曲线上，则，

，当且仅当时等号成立，

故△的面积不大于，故正确．

故选：．

三．填空题（共10小题）

24．已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的最大值为　10　．

【解答】解：取椭圆的下焦点，取椭圆上任一点，由题意可得在椭圆外，

由椭圆的定义可得：，当且仅当，，三点共线时取得最大值，

由椭圆的方程可得，所以下焦点，，

所以，

所以的最大值为，

故答案为：10．

25．设为椭圆的左焦点，为上第一象限的一点．若，，则椭圆的离心率为　　．

【解答】解：设，则，另设椭圆的右焦点为，如图所示，连接，

则在三角形中，由余弦定理可得

化简可得：，解得或，

若，则由勾股定理可得三角形是以为直角的直角三角形，此时在第二象限与已知矛盾，

故，所以，由直角三角形的性质可得三角形为直角三角形，且，

由勾股定理可得，解得，

所以由椭圆定义可得，得，

故椭圆离心率为，

故答案为：．

26．在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点，、为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，若△的面积为，则直线的斜率为　　．

【解答】解：由已知可得三角形的面积为，

得，所以，

所以椭圆方程为，

又直线的方程为，与椭圆方程联立可得，

解得或（舍去），所以，

即点 的坐标为，，

所以，

故直线的斜率为，

故答案为：．

27．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点相同，则双曲线的方程为　　，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为　　．

【解答】解：由抛物线的方程可得，所以，

即，解得，

所以双曲线的方程为：，

由题意设直线的方程为：，直线的方程为：，

则，联立方程，消去整理可得：

，设，，，，

则，同理可得，

由抛物线的性质可得，，

所以，

当且仅当时取等号，此时的最小值为24，

故答案为：24．

28．汽车前照灯的反射镜为一个抛物面．它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上．由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过透镜的折射等作用达到照亮路面的效果．如图，从灯泡发出的光线经抛物线反射后，沿平行射出，的角平分线所在的直线方程为，则抛物线方程为　　．

【解答】解：设，的夹角为，因为轴，

所以，则，

因为为的角平分线，所以，

所以，

所以直线的方程为：，与直线联立方程可得：

，即点的坐标为，

把点的坐标代入抛物线方程可得：或（舍去），

所以迫切性的方程为：，

故答案为：．

29．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若，且，则直线的方程为　　．

【解答】解：如图，设，在准线上的射影分别为，，

则，，

，，，

直线的倾斜角为，其斜率为，

又，则，，代入得：

，解得，

，，

，即．

故答案为：．

30．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为　　．

【解答】解：抛物线的焦点，

可得直线的方程为，

联立抛物线，消去可得，

设，的横坐标分别为，，可得，，

则，

又到直线的距离为，

则的面积为．

故答案为：．

31．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，抛物线的准线与轴交于点，当最大时，弦长度是　8　．

【解答】解：抛物线的标准方程为，

所以焦点，准线方程为，

因为抛物线的准线与轴交于点，

所以点，

设，，，则有，

所以，

，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以当时，最大，此时，

故．

答案为：8．

32．以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点．已知，，则的焦点到准线的距离为　4　．

【解答】解：设抛物线为，如图，，

，，，，

，

，解得，

抛物线的方程为，

的焦点到准线的距离为4．

故答案为：4．

33．已知是抛物线与双曲线上有一个公共的焦点，点为抛物线上任意一点，，则的最小值是　　．

【解答】解：双曲线上的标准方程为，则焦点坐标，

所以的焦点，则，

抛物线方程，准线方程为

过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，

则，为锐角．

故当最小时，最小，

故当和抛物线相切时，最小．

设切点，，则的斜率为求得，可得，

所以．

故答案为：．