高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课前预习ppt课件

第二课时　一元二次不等式的应用

课标要求　1.掌握与一元二次不等式相关联的不等式的解法.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.

素养要求　从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算、数学建模素养.

1.问题　不等式≥0的解集与(x＋1)(x－2)≥0的解集相同吗？不等式<0与(x－3)(x＋2)<0等价吗？

提示　不相同；等价.

2.思考　你能否写出“关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R”的充要条件？解集是呢？

提示　(1)a>0且Δ＝b2－4ac<0；

(2)a<0且Δ＝b2－4ac≤0.

3.简单的分式不等式的解法

4.一元二次不等式恒成立问题

(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且Δ<0.

(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.

5.做一做　若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________.

答案　{a|－4<a<0}

解析　依题意，Δ＝a2－4×(－a)<0，则－4<a<0.

6.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.

(1)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<x1或x>x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√)

(2)利用一元二次不等式解实际问题时，要注意实际问题的意义.(√)

(3)不等式≥0的解集为{x|x≥1或x≤0}.(×)

提示　分式不等式中的分母不等于0，解集为{x|x>1或x≤0}.

题型一　简单分式不等式的解法

例1 解不等式：(1)<0；(2)≤1.

解　(1)<0⇔(2x＋1)(1－x)<0，

不等式等价于(x－1)>0，解得x>1或x<－.

故原不等式的解集为.

(2)因为≤1，所以－1≤0，

所以≤0，

则(4－x)(2x－3)≤0且2x≠3.

∴(x－4)≥0且x≠

从而x<或x≥4.

故原不等式的解集为.

思维升华　简单分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.

训练1 (1)解不等式>1.

(2)关于x的不等式ax－b>0的解集是，求关于x的不等式>0的解集.

解　(1)不等式>1可化为>0，

化简得>0，即<0，

∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－.

∴原不等式的解集为.

(2)∵不等式ax－b>0的解集是，

∴a>0，且a＝2b，

则不等式>0等价于>0.

∴(x－1)(x－5)<0，解得1<x<5.

因此原不等式的解集为{x|1<x<5}.

题型二　不等式恒成立问题

角度1　在R上恒成立

例2 已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围.

解　当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.

当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，

由y<0恒成立，

∴其图象都在x轴的下方，

即开口向下，且与x轴无交点.

∴解得－1<k<0.

综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}.

角度2　在给定范围内的恒成立

例3 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.

解　令y＝x2＋mx＋4.

由于y<0在1≤x≤2上恒成立，

所以y＝0的根一个小于1，另一个大于2.

如图，可得解得m<－5.

∴m的取值范围是{m|m<－5}.

思维升华　解决不等式恒成立问题的两种思路

(1)转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满足题目要求的条件，构造含参数的不等式(组)，求得参数范围.

(2)分离参数，通过求参数的最值，进而确定参数的范围.

训练2 设函数y＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围；

(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围.

解　(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；

若m≠0，则⇒－4<m<0.

∴m的取值范围为{m|－4<m≤0}.

(2)y<－m＋5恒成立，

即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，

∵x2－x＋1＝＋>0，

又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.

∵函数y＝＝在1≤x≤3时的最小值为，

∴只需m<即可.

∴m的取值范围为.

题型三　一元二次不等式的实际应用

例4 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.

(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；

(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.

解　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.

依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%

＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10).

(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元).

依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，

化简得x2＋40x－84≤0，

解得－42≤x≤2.

又因为0<x<10，所以0<x≤2.

即x的取值范围为{x|0<x≤2}.

思维升华　利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：

(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；

(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；

(3)求解所列出的不等式(组)；

(4)结合题目的实际意义确定答案.

训练3 某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.

解　设花坛的宽度为x m，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x) m.

根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600，

整理得x2－700x＋60 000≥0，

解得x≥600(舍去)或x≤100，

由题意知x>0，所以0<x≤100，

所以当x在0<x≤100之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.

[课堂小结]

1.解简单的分式不等式，可直接等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组.当分式不等式中含有等号，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意.

2.不等式恒成立问题：(1)分离参数是一种行之有效的方法.(2)利用不等式与函数的关系，进行转化、借助图象的几何直观求解.

3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，根据题意，列出不等关系再求解.

一、基础达标

1.不等式≥0的解集为(　　)

A.{x|－1<x≤1}   B.{x|－1≤x<1}

C.{x|－1≤x≤1}   D.{x|－1<x<1}

答案　B

解析　原不等式⇔

∴－1≤x<1.

2.不等式≥1的解集是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　不等式≥1，移项得－1≥0，即≤0，

可化为或

解得≤x<2，

则原不等式的解集为.

3.若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)

A.{k|－3<k≤0}   B.{k|－3≤k<0}

C.{k|－3≤k≤0}   D.{k|－3<k<0}

答案　D

解析　∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，∴k≠0，

又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，

则必有

解得－3<k<0.

4.若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为(　　)

A.{x|x>1或x<－2}

B.{x|1<x<2}

C.{x|x>2或x<－1}

D.{x|－1<x<2}

答案　C

解析　∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，

∴a>0，且a＝b.

故＝>0，等价为(x＋1)(x－2)>0.

∴x>2或x<－1.

5.若存在x∈R，使得≥2成立，则实数m的取值范围为(　　)

A.{m|m≤0}  B.{m|m>0}

C.{m|m≥－2}  D.{m|m<－2}

答案　C

解析　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，

∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，

∴m≥2x2－8x＋6能成立，

令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，

∴m≥－2，

∴m的取值范围为{m|m≥－2}.

6.不等式>0的解集为________.

答案　{x|x>－5且x≠2}

解析　>0⇔⇔

所以原不等式的解集为{x|x>－5且x≠2}.

7.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价b所在的范围应是________.

答案　{b|90<b<100}

解析　设每个涨价a元，则涨价后的利润与原利润之差为(10＋a)(400－20a)－10×400＝－20a2＋200a.

要使商家利润有所增加，则必须使－20a2＋200a>0，

即a2－10a<0，得0<a<10.

∴售价b所在的范围应为90<b<100.

8.若关于x的不等式>0的解集为{x|<－1或x>4}，则实数a＝________.

答案　4

解析　由题意知，不等式的解集为{x|x<－1或x>4}，

则(x－a)(x＋1)>0⇔(x＋1)(x－4)>0，故a＝4.

9.若关于x的不等式ax2＋2x＋2>0在R上恒成立，求实数a的取值范围.

解　当a＝0时，原不等式可化为2x＋2>0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；

当a≠0时，要使原不等式的解集为R，

只需解得a>.

综上，所求实数a的取值范围为.

10.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

解　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，

整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1).

(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，

必须有

即解得0<x<，

所以投入成本增加的比例x的取值范围为.

二、能力提升

11.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　)

A.{t|1≤t≤3}   B.{t|3≤t≤5}

C.{t|2≤t≤4}   D.{t|4≤t≤6}

答案　B

解析　设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，

则y＝2 400×t%＝60(8t－t2).

令y≥900，即60(8t－t2)≥900.

解得3≤t≤5.

12.不等式≤3的解集是________.

答案　

解析　由≤3，得－3≤0，

则≥0.

∴解得x<0或x≥.

∴不等式≤3的解集是.

13.关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.

解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，

∴4x＋m<2(x2－2x＋3)恒成立，

∴m<2x2－8x＋6恒成立，

设y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2，

则当x＝2时，y有最小值为－2.

∴m<－2.

∴实数m的取值范围为{m|m<－2}.

三、创新拓展

14.正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A.{m|m≥3}   B.{m|m≤3}

C.{m|m≤6}   D.{m|m≥6}

答案　D

解析　∵a>0，b>0，＋＝1，

∴a＋b＝(a＋b)·

＝10＋＋≥10＋2＝16，

当且仅当3a＝b，即a＝4，b＝12时，“＝”成立.

若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，

则－x2＋4x＋18－m≤16，

即－x2＋4x＋2≤m对任意实数x恒成立.

∵－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6≤6，

∴m≥6，故选D.