【最新版】高中数学高三培优小题练阶段滚动检测(三)

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这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练阶段滚动检测(三)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

阶段滚动检测(三)
(时间：120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12题，每小题5分，共60分)
1．(2022·邢台模拟)设全集U＝R，A＝{y|y＝2x＋1}，B＝{x|ln x<0}，则(∁UA)∩B等于(　　)
A．{x|0 C. D．∅
答案　A
解析　因为A＝{y|y＝2x＋1}＝{y|y>1}，
所以∁UA＝{y|y≤1}，B＝{x|ln x<0}＝{x|0 因此(∁UA)∩B＝{x|0 2．(2022·延安质检)三个数30.2，0.23，log0.23的大小顺序是(　　)
A．30.2<0.23 B．30.2 C．log0.23<30.2<0.23
D．log0.23<0.23<30.2
答案　D
解析　由指数函数和对数函数的图象与性质可知30.2>1,0<0.23<1，log0.23<0，
所以log0.23<0.23<30.2.
3．已知角α的终边上有一点P的坐标是(－1，2)，则cos α的值为(　　)
A．－1 B．2 C. D．－
答案　D
解析　∵角α的终边上有一点P的坐标是(－1,2)，
则|OP|＝＝3，
∴cos α＝－.
4．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x等于(　　)
A．log32 B．－2
C．log32或－2 D．2
答案　A
解析　当x≤1时，3x＝2，
∴x＝log32；
当x>1时，－x＝2，
∴x＝－2(舍去)．
∴x＝log32.
5．函数f(x)＝x2·sin x的部分图象大致是(　　)

答案　A
解析　f(x)＝x2·sin x，定义域为R.
f(－x)＝(－x)2·sin(－x)＝－x2·sin x，
可得－f(x)＝f(－x)．
所以f(x)是奇函数，排除B，D两项．
当x∈时，显然有f(x)>0，
所以排除C项，故选A.
6．已知函数f(x)＝ex－ax，则“a<0”是“函数f(x)为增函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为f(x)＝ex－ax，
所以f′(x)＝ex－a，
所以当a≤0时，f′(x)>0，函数在定义域上单调递增，
因为(－∞，0)(－∞，0]，
所以“a<0”是“函数f(x)为增函数”的充分不必要条件．
7．若α为第一象限角，且sin 2α＝sincos(π＋α)，则cos的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　B
解析　由sin 2α＝sincos(π＋α)，
得2sin αcos α＝cos2α.
∵α为第一象限角，
∴cos α≠0，
∴tan α＝，
∴cos
＝
＝cos 2α＋sin 2α＝cos2α－sin2α＋2sin αcos α
＝
＝＝.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，＝2sin Asin B，且b＝6，则c等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
答案　C
解析　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc，又＝2sin Asin B，由正弦定理可得＝，即a2＋b2－4c2＝0，则b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0.
又b＝6，
所以c2＋2c－24＝0，解得c＝4(负值舍去)．
9．已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p∧(綈q)为真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，2]
C．(1,2]
D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
答案　C
解析　若命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点为真命题，
由零点存在定理可知f(0)·f(1)＝－1×(2a－2)<0，解得a>1；
若命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数为真命题，
则2－a<0，解得a>2，
因为p∧(綈q)为真命题，所以p为真命题，綈q为真命题，则q为假命题，
所以可得1 10．若将函数g(x)图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是(　　)

A．f(x)在上的最小值是
B．点是f(x)图象的一个对称中心
C．g(x)在上单调递减
D．g(x)的图象关于点对称
答案　C
解析　由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，
可得A＝1且T＝－＝，
解得T＝π，所以ω＝＝2，
又由x＝时，f(x)＝1，
即sin＝1，
解得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<，可得φ＝，
所以f(x)＝sin，
所以g(x)＝f
＝sin＝sin，
对于A，当x∈时，可得2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，函数取得最小值f ＝sin ＝，所以A正确；
对于B，当x＝时，可得f ＝sin 3π＝0，
所以点是f(x)图象的一个对称中心，所以B正确；
对于C，当x∈时，可得2x＋∈，
此时g(x)＝sin为先单调递减后单调递增的函数，所以C不正确；
对于D，当x＝时，
可得g＝sin＝0，
所以点是函数g(x)图象的一个对称中心，所以D正确．
11．关于函数f(x)＝(x2－2x－3)ex，给出下列四个判断：
①f(x)<0的解集是{x|－1 ②f(x)有极小值也有极大值；
③f(x)无最大值，也无最小值；
④f(x)无最大值，有最小值．
其中判断正确的是(　　)
A．①②③ B．①②④
C．②③ D．①④
答案　B
解析　①由f(x)<0，得f(x)＝(x2－2x－3)ex<0，
因为ex>0，
所以x2－2x－3<0，解得－1 即f(x)<0的解集是{x|－1 所以①正确；
②函数的导数为f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x－3)ex＝(x2－5)ex，
由f′(x)>0，得x>或x<－.
由f′(x)<0得－所以当x＝时函数f(x)取得极小值．
当x＝－时函数f(x)取得极大值．
所以②正确；
③由②知，当x∈(，＋∞)或x∈(－∞，－)时，函数单调递增，且x→＋∞时，f(x)→＋∞；当x→－∞时，f(x)→0，
当x＝时，f(x)＝(2－2)e<0，
所以f(x)在x＝处取得最小值，无最大值．
所以③错误，④正确．
12．(2022·云南昆明一中月考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f2(x)＋af(x)有
5个零点，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(0，＋∞) D.
答案　B
解析　由题意，画出函数f(x)的图象如图所示，

由g(x)＝f2(x)＋af(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝－a，
由图可知，f(x)＝0时有两个实数根，则f(x)＝－a有三个实数根，
即函数f(x)的图象和直线y＝－a有且仅有3个交点，
由图可知，0<－a<，则－二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知cos＝，α∈，则sin α＝______.
答案　
解析　因为cos＝，α∈，
所以sin＝，
故sin α＝sin＝sincos －cossin ＝.

14．已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值为________．
答案　1
解析　由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－ln a，代入曲线方程得y＝1－ln a，所以切线方程为y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1⇒a＝1.
15.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________ m.

答案　600
解析　在△ACM中，
∠MCA＝60°－15°＝45°，
∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得
＝，
即＝，解得AC＝600m.
在△ACD中，∵tan∠DAC＝＝，
∴DC＝600×＝600m.
16．已知函数f(x)＝－x2，对于x1，x2∈[2,2 024]，且当x2>x1时，恒有－>0，则实数a的取值范围为________．
答案　(－∞，24]
解析　由－>0,2 024≥x2>x1≥2，可知x1f(x1)>x2f(x2)，则函数F(x)＝xf(x)在[2,2 024]上单调递减．
又F(x)＝xf(x)＝aln x－x3，
∴F′(x)＝－3x2≤0，
∴a≤3x3.
∵x∈[2,2 024]，
∴a≤3×23＝24，
∴实数a的取值范围为(－∞，24]．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知集合A＝{x|3x－a>0}，B＝{x|x2－x－6>0}．
(1)当a＝3时，求A∩B，A∪B；
(2)若A∩(∁RB)≠∅，求实数a的取值范围．
解　由3x－a>0得x>，
所以A＝，
由x2－x－6>0，得(x＋2)(x－3)>0，
解得x<－2或x>3，
所以B＝{x|x<－2或x>3}．
(1)当a＝3时，A＝{x|x>1}，
所以A∩B＝{x|x>3}，A∪B＝{x|x<－2或x>1}．
(2)因为B＝{x|x<－2或x>3}，
所以∁RB＝{x|－2≤x≤3}．
又因为A∩(∁RB)≠∅，所以<3，
解得a<9.
所以实数a的取值范围是(－∞，9)．
18．(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2＋(c－b)c＝a2.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积等于5，b＝5，求sin Bsin C的值．
解　(1)∵b2＋c2－bc＝a2，
∴由余弦定理得
cos A＝＝，
∵0 ∴A＝.
(2)∵△ABC的面积S＝bcsin A＝bc＝5，
∴bc＝20，又b＝5，故c＝4，
于是a2＝b2＋c2－2bccos A＝21，
∴a＝，2R＝＝＝2，
∴sin Bsin C＝＝.
19．(12分)设函数f(x)＝cos＋2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
解　(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1－cos(2x＋π)＝cos 2x＋sin 2x＋1
＝sin＋1，
故f(x)的最小正周期为T＝π，
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，
故x＝＋，k∈Z，
即对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)当x∈时，－≤2x＋≤，
故－≤sin≤1，
所以－≤f(x)≤＋1，
即f(x)的值域为.
20．(12分)如图，△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝8，cos∠ACB＝
－，且b＝14cos B.

(1)求角B的大小；
(2)点D在BC边的延长线上，且AD＝2，求CD的长．
解　(1)因为cos∠ACB＝－，∠ACB∈(0，π)，
所以sin∠ACB＝＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以b＝＝sin B，
又b＝14cos B，所以sin B＝14cos B，
所以tan B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由(1)可得b＝14×＝7，
在△ACD中，cos∠ACD＝－cos∠ACB＝，
由余弦定理可得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD，
即(2)2＝72＋CD2－2·CD·7×，
即CD2－2·CD－35＝0，
解得CD＝7或CD＝－5(舍去)，所以CD＝7.
21．(12分)已知函数f(x)＝x2－ln x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝x2－x＋t，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在上(其中e＝2.718 28…，e为自然对数的底数)恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－，∴f′(1)＝1，
又f(1)＝1，
∴所求切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.
(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝－ln x＋x－t在上恰有两个不同的零点，等价于－ln x＋x－t＝0在上恰有两个不同的实根，
等价于t＝x－ln x在上恰有两个不同的实根，
令k(x)＝x－ln x，x∈，则k′(x)＝1－＝，
∴当x∈时，k′(x)<0，k(x)在上单调递减；当x∈(1，e]时，k′(x)>0，k(x)在(1，e]上单调递增，
故k(x)min＝k(1)＝1，
又k＝＋1，k(e)＝e－1，
且k－k(e)＝2－e＋<0，∴k ∴k(1) 22．(12分)已知函数f(x)＝ln x＋x＋1，g(x)＝x2＋2x.
(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)在(1，h(1))处的切线方程；
(2)若实数m为整数，且对任意的x>0时，都有f(x)－mg(x)≤0恒成立，求实数m的最小值．
解　(1)h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x＋x＋1－x2－2x＝ln x－x＋1－x2，
∴h′(x)＝－2x－1，
∴h′(1)＝1－2－1＝－2，h(1)＝0－1＋1－1＝－1，
∴h(x)在(1，h(1))处的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.
(2)∵f(x)－mg(x)≤0，即ln x＋x＋1－m(x2＋2x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，
∴m≥在(0，＋∞)上恒成立，设φ(x)＝，x>0，∴φ′(x)＝，
显然x＋1>0，(x2＋2x)2>0，设t(x)＝－(x＋2ln x)，则t′(x)＝－<0，
∴t(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵t(1)＝－1<0，t＝－＝2ln 2－>0，
∴∃x0∈，使得t(x0)＝0，即x0＋2ln x0＝0，当x∈(0，x0)时，t(x)>0，则φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增，当x∈(x0，＋∞)时，t(x)<0，则φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减，
∴φ(x)max＝φ(x0)＝＝＝∈，
∴由m≥φ(x)恒成立，且m为整数，可得m的最小值为1.