【最新版】高中数学高三培优小题练阶段滚动检测(七)

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这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练阶段滚动检测(七)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

阶段滚动检测(七)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12题，每小题5分，共60分)
1．已知集合M＝{x∈R||x|≤2}，N＝{x∈R|0 A．[0,2] B．[－2,0)
C．[－2,0] D．(－∞，2]∪[4，＋∞)
答案　C
解析　∵M＝[－2,2]，N＝(0,4)，
∁RN＝(－∞，0]∪[4，＋∞)，
∴M∩(∁RN)＝[－2,0]．
2．在复平面内，复数＋z对应的点的坐标为(－3,1)，则z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，＋z＝＋x＋yi
＝－i＋x＋yi＝x＋(y－1)i＝－3＋i，
∴x＝－3，y＝2，
∴z在复平面内对应的点位于第二象限．
3．某市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取20%的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是(　　)
A．10 B．11 C．20 D．21
答案　B
解析　甲班抽20%，因为男、女比例是3∶2，所以应抽取男生6人，乙班抽20%，因为男、女比例是1∶1，所以应抽男生5人，所以两个班共抽取男生人数为11.
4．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据2x1－1,2x2－1,2x3－1,2x4－1,2x5－1的平均数、方差分别为(　　)
A．3， B．3， C．4， D．4，
答案　A
5．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A．12 B．16 C．20 D．24
答案　A
解析　展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.
6．(2022·太原模拟)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为8，一条渐近线为y＝x，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案　D
解析　双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为8，即2a＝8，a＝4，
渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x⇒b＝3，进而得到双曲线方程为－＝1.
7．如图所示给出的是计算1＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是(　　)

A．i>1 008? B．i≤1 009?
C．i≤1 010? D．i≤1 011?
答案　D
解析　第1次循环得到S＝0＋1，i＝2；
第2次循环得到S＝1＋，i＝3；
第3次循环得到S＝1＋＋，i＝4.
依此类推，第1 011次循环，S＝1＋＋＋…＋＋，i＝1 012，
满足题意，退出循环．
故判断框内可以填入的条件是“i≤1 011？”．
8．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽，果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N(80,52)，则直径在(75,90]内的概率为(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ A．0.682 7 B．0.841 3
C．0.818 6 D．0.954 5
答案　C
解析　由题意，μ＝80，σ＝5，
则P(75 所以P(85≤X≤90)≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，
P(75 故果实直径在(75,90]内的概率为0.818 6.
9．国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%.某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查(每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个)．如图是调查结果的扇形统计图，则以下结论正确的是(　　)

A．回答该问卷的受访者中，选择(2)和(3)的人数总和比选择(4)的人数多
B．回答该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的
C．回答该问卷的受访者中，选择(4)的人数比选择(2)的人数可能多30
D．回答该问卷的总人数不可能是1 000
答案　D
解析　对于A，回答该问卷的受访者中，∵选择(2)和(3)的人数总和所占百分比为15.75%＋27%＝42.75%，选择(4)的人数的百分比为45.75%，∴回答该问卷的受访者中，选择(2)和(3)的人数总和比选择(4)的人数少，故A错误；对于B，回答该问卷的受访者中，由扇形统计图得选择“校园外宣传”的百分比最小，∴选择“校园外宣传”的人数是最少的，故B错误；对于C，回答该问卷的受访者中，选择(4)的人数比选择(2)的人数多30%，故C错误；对于D，回答该问卷的总人数若是1 000，则选择(2)和(4)的人数分别为157.5,457.5，不是整数，故D正确．
10．(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝2cos－1，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，向上平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，则以下结论正确的是(　　)
A．g(x)的最大值为1
B．函数g(x)的单调递减区间为(k∈Z)
C．x＝－是函数g(x)的一条对称轴
D.是函数g(x)的一个对称中心
答案　C
解析　f(x)＝2cos－1，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到y＝2cos－1，再向左平移个单位长度，向上平移2个单位长度得g(x)＝2cos＋1＝2cos＋1，
选项A，g(x)的最大值为3，故A错误；
选项B，令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ(k∈Z)，故－＋3kπ≤x≤－＋3kπ(k∈Z)．故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故B错误；
选项C，因为g＝2cos
＋1＝3＝g(x)max，
所以x＝－是函数g(x)的一条对称轴，故C正确；
选项D，因为g＝3≠1，所以不是函数g(x)的一个对称中心，故D错误．
11．(2022·兰州模拟)定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)．若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 021为奇函数，则不等式f(x)＋2 021ex<0的解集是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C. D.
答案　B
解析　f(x)＋2 021为奇函数，
则f(0)＋2 021＝0，即f(0)＝－2 021，
令F(x)＝＋2 021，
则F′(x)＝<0，
∴F(x)＝＋2 021在R上单调递减，F(0)＝＋2 021＝0，
又f(x)＋2 021ex<0的解集等价于＋2 021<0的解集，
且F(x) ∴不等式f(x)＋2 021ex<0的解集为(0，＋∞)．
12．(2022·赤峰模拟)在三棱锥P－ABC中，△ABC与△PBC均为边长为1的等边三角形，P，A，B，C四点在球O的球面上，当三棱锥P－ABC的体积最大时，则球O的表面积为(　　)
A. B．2π C．5π D.
答案　A
解析　当三棱锥P－ABC的体积最大时，即平面ABC与平面PBC垂直，画出立体图形，

设△PBC外接圆圆心为M，△ABC外接圆圆心为N，P－ABC外接球的半径为R，
取BC的中点为Q，
∵△PBC为等边三角形，
∴ PQ⊥BC.
又∵平面ABC⊥平面PBC，
∴ PQ⊥平面ABC，
∵ AQ⊂平面ABC，
∴ PQ⊥AQ.
∵ △ABC与△PBC均为边长为1的等边三角形，
∴△ABC与△PBC外接圆半径为，
即AN＝PM＝，则NQ＝MQ＝.
又∵ OM⊥平面PBC，ON⊥平面ABC，
∴ 四边形OMQN是正方形，
∴NQ＝MQ＝OM＝ON＝.
在Rt△PMO中，PO2＝OM2＋PM2，
解得PO2＝2＋2＝，
故P－ABC外接球的半径为R2＝.
所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a，b，其中|a|＝1，＝2，且(a＋b)⊥a，则|a－2b|＝________.
答案　
解析　向量a，b中，＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥a，
∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，
∴(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2
＝1－4×(－1)＋4×22＝21，
∴|a－2b|＝.
14．抛掷两枚骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在8次试验中，成功次数ξ的均值是________．
答案　
解析　在一次试验中，成功的概率为1－×＝，
由题意知，ξ～B，故在8次试验中，成功的次数的均值为8×＝.
15．(2022·西安模拟)已知一袋中有标有号码1,2,3,4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为________．
答案　
解析　由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有46种不同的取法．
恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3,1,1或者2,2,1.
三种号码分别出现3,1,1次且取6次时停止的取法有
AC×1＝240(种)，
三种号码分别出现2,2,1次且取6次时停止的取法有A×1×1＝360(种)，由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有240＋360＝600(种)取法，所以恰好取6次卡片时停止的概率为P＝＝.
16．已知抛物线的焦点为F(0,1)，过点P(0,2)的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝4，则|AF|＋|BF|＝________.
答案　10
解析　因为抛物线的焦点为F(0,1)，所以抛物线的方程为x2＝4y.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，
由
可得x2－4kx－8＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，
所以|AB|＝·＝·＝4，
解得k＝±1，
所以|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝k(x1＋x2)＋6＝4k2＋6＝10.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在①＝，②4cos(B＋C)＋2cos 2A＝－3，③＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.
(1)求角A；
(2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)选条件①：根据正弦定理及＝得＝，
整理得2sin Bcos A＝cos Csin A＋sin Ccos A，
即2sin Bcos A＝sin(A＋C)，
易知A＋C＝π－B，
所以2sin Bcos A＝sin B，
又sin B≠0，所以cos A＝，
又A∈(0，π)，故A＝.
选条件②：在△ABC中，B＋C＝π－A，所以cos(B＋C)＝－cos A，
结合二倍角公式，可得－4cos A＋2(2cos2A－1)＝－3，
所以4cos2A－4cos A＋1＝0，
得cos A＝.
又A∈(0，π)，所以A＝.
选条件③：在△ABC中，A＋C＝π－B，所以sin(A＋C)＝sin B，
所以＝，
结合正弦定理可得，＝，
得tan A＝.
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)根据余弦定理可得，
a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A,
又a＝，b＋c＝4，A＝，
所以()2＝(4)2－2bc－2bc×，
得bc＝6，
所以S△ABC＝bc·sin A＝×6×sin ＝.
18．(12分)(2022·黑龙江铁人中学模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是以2为首项，2为公差的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)因为数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以＝2＋2(n－1)＝2n，
所以Sn＝2n2－n.
当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－n－2(n－1)2＋(n－1)＝4n－3，
又当n＝1时，a1＝1，满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3.
(2)由(1)得bn＝＝＝，
所以Tn＝
＝＝.
19．(12分)某机构随机询问了72名不同性别的大学生，调查其在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：

男
女
总计
看营养说明
16
28
44
不看营养说明
20
8
28
总计
36
36
72

(1)根据以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别和看营养说明有关系？
(2)从被询问的28名不看营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到女生的人数ξ的分布列及均值．
附：
P(K2≥k0)
0.010
0.005
0.001
k0
6.635
7.879
10.828

K2＝.
解　(1)由计算可得K2＝≈8.416，
因为8.416>7.879，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与看营养说明有关系．
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

ξ的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，平面ABCD⊥平面PAD，E是PB的中点，F是DC上一点，G是PC上一点，且PD＝AD，AB＝2DF＝6.

(1)求证：平面EFG⊥平面PAB；
(2)若PA＝4，PD＝3，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
(1)证明　如图，

取PA的中点M，连接MD，ME，则ME∥AB，ME＝AB，
又DF∥AB，DF＝AB，
所以ME∥DF，ME＝DF，
所以四边形MDFE是平行四边形，所以EF∥MD，
因为PD＝AD，所以MD⊥PA，
因为平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，
因为MD⊂平面PAD，所以MD⊥AB，
因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB，
又EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAB.
(2)解　过点P作PH⊥AD于点H，则PH⊥平面ABCD，以H为坐标原点，HA所在直线为x轴，过点H且平行于AB的直线为y轴，PH所在直线为z轴，建立如图所示

的空间直角坐标系H－xyz，
在等腰三角形PAD中，PD＝AD＝3，PA＝4，
因为PH·AD＝MD·PA，所以3PH＝4×，解得PH＝，
则AH＝，所以P，B，
所以＝，
易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，
所以cos〈，n〉＝＝－，
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.
21．(12分)从集市上买回来的蔬菜仍存有残留农药，食用时需要清洗数次，统计表中的x表示清洗的次数，y表示清洗x次后1千克该蔬菜残留农药量(单位：微克)．
x
1
2
3
4
5
y
4.5
2.2
1.4
1.3
0.6

(1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出散点图，并根据散点图判断，＝x＋与＝e－x＋哪一个适宜作为清洗x次后1千克该蔬菜残留农药量的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据判断及下面表格中的数据，建立y关于x的回归方程；
表中ωi＝e－xi，＝i.

(xi－)2
(ωi－)2
(xi－)·
(yi－)
(ωi－)·
(yi－)
3
2
0.12
10
0.09
－8.7
0.9

(3)对所求的回归方程进行残差分析．
附：①线性回归方程＝x＋中系数计算公式分别为＝，＝－；
②R2＝1－，R2>0.95说明模拟效果非常好；
③≈0.37，≈0.14，≈0.05，≈0.02，≈0.01.
解　(1)散点图如图，

用＝e－x＋作为清洗x次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型．
(2)由题意知＝＝＝10，＝－＝2－10×0.12＝0.8，
故所求的回归方程为＝10×e－x＋0.8.
(3)列表如下：
yi－i
0
0
0.1
0.3
－0.3
yi－
2.5
0.2
－0.6
－0.7
－1.4

所以(yi－i)2＝0.19，(yi－)2＝9.1，R2＝1－≈0.979>0.95，
所以回归模拟的拟合效果非常好．
22．(12分)已知a为实数，函数f(x)＝ex－2－ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2(x1 ①求实数a的取值范围；
②证明：x1＋x2>2.
(1)解　f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－2－a，
当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增；
当a>0时，由f′(x)＝ex－2－a＝0，得x＝2＋ln a，
①令f′(x)>0，得x>2＋ln a，
所以函数f(x)在(2＋ln a，＋∞)上单调递增；
②令f′(x)<0，得x<2＋ln a，
所以函数f(x)在(－∞，2＋ln a)上单调递减．
(2)①解　由(1)知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，没有两个不同的零点．
当a>0时，f(x)在x＝2＋ln a处取得极小值，
所以f(2＋ln a)＝eln a－a(2＋ln a)<0，
得a>，
所以a的取值范围为.
②证明　由题意知，当x≤0时，函数f(x)恒大于零，不存在零点，当x>0时，由ex－2－ax＝0，得x－2＝ln ax＝ln a＋ln x，得x－2－ln x＝ln a，
所以x1－2－ln x1＝x2－2－ln x2＝ln a，
令g(x)＝x－2－ln x(x>0)，
则g′(x)＝1－＝，
当x>1时，g′(x)>0；
当0 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以02，只需证x2>2－x1>1，
因为g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以只需证g(x2)>g(2－x1)，
因为g(x1)＝g(x2)，所以只需证g(x1)>g(2－x1)，即证g(x1)－g(2－x1)>0，
令h(x)＝g(x)－g(2－x)＝x－2－ln x－[2－x－2－ln(2－x)]＝2x－2－ln x＋ln(2－x)，
则h′(x)＝2－，
因为＋＝[x＋(2－x)]·≥2，当且仅当x＝1时等号成立，所以当0 即h(x)在(0,1)上单调递减，所以h(x)>h(1)＝0，
即g(x1)－g(2－x1)>0，所以x1＋x2>2得证．