【最新版】高中数学（新教材人教A版）培优单元检测一　集合、常用逻辑用语、不等式

这是一份【最新版】高中数学（新教材人教A版）培优单元检测一　集合、常用逻辑用语、不等式，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元检测一　集合、常用逻辑用语、不等式
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设全集U＝{x∈Z||x|≤2}，A＝{x|x＋1≤0，x∈U}，B＝{－2,0,2}，则(∁UA)∪B等于(　　)
A．{1} B．{0,2}
C．{－2,0,1,2} D．(－1,2]∪{－2}
答案　C
解析　因为U＝{x∈Z||x|≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，A＝{x|x＋1≤0，x∈U}＝{－2，－1}，
所以∁UA＝{0,1,2}，所以(∁UA)∪B＝{－2,0,1,2}．
2．命题p：∀x>0,3x>2x的否定是(　　)
A．綈p：∀x>0,3x≤2x
B．綈p：∀x≤0,3x>2x
C．綈p：∃x>0,3x≤2x
D．綈p：∃x≤0,3x>2x
答案　C
解析　由命题否定概念可知，
命题p：∀x>0,3x>2x的否定为綈p：∃x>0,3x≤2x.
3．已知空间中两平面α，β，直线l∥α，则“l⊥β”是“α⊥β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由l∥α且l⊥β，知α⊥β；而l∥α且α⊥β，则l与平面β的关系可能有l⊥β，l∥β，l⊂β，
∴“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．
4．(2022·广州质检)设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.> B.>
C．a(c2＋2)>b(c2＋2) D．a＋0，所以a(c2＋2)>b(c2＋2)，所以C正确；
对于D，若a＝2，b＝1，则a＋＝2＋1>b＋＝1＋，所以D错误．
5．(2022·济宁模拟)数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)

A.≥(a>0，b>0)
B.≤(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
答案　B
解析　由图可知，OC＝AB＝，OD＝|OB－BD|＝＝，
在Rt△OCD中，CD＝＝，显然OC≤CD，
即≤.
6．(2022·徐州质检)关于x的不等式(ax－b)(x＋3)0的解集为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
答案　A
解析　由题意可得a0可化为x＋10，即x∈(－，)，
∴A＝(－，)．
∵y＝e－x2在(－，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，
∴f(x)＝ln(e－x2)在(－，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，
∴f(x)max＝f(0)＝ln e＝1；当x→－时，f(x)→－∞；当x→时，f(x)→－∞，
∴f(x)的值域为(－∞，1]，
∴B＝(－∞，1]．
图中阴影部分表示∁A∪B(A∩B)，
又A∪B＝(－∞，)，A∩B＝(－，1]，
∴∁A∪B(A∩B)＝(－∞，－]∪(1，)．
8．设x>0，y>0，且2＝，则当x＋取最小值时，x2＋等于(　　)
A．8 B．12
C．16 D.
答案　B
解析　∵x>0，y>0，
∴当x＋取最小值时，2取最小值，
∵2＝x2＋＋，2＝，
∴x2＋＝＋，
∴2＝＋＋＝＋≥2＝16，
∴x＋≥4，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，
∴x2＋＝2＋＝＋＝＋＝12.
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．若a>b>0，db－c
C.< D．a2>b2
答案　BD
解析　∵a>b>0，c0，
∴a－d>b－c，故B正确；
∵d0可得a2>b2，故D正确．
10．下列命题中为真命题的是(　　)
A．“a－b＝0”的充要条件是“＝1”
B．“a>b”是“2”是“ab>4”的充分不必要条件
答案　BD
解析　对于A，由＝1⇒a－b＝0，但a＝b＝0⇏＝1，所以“＝1”是“a－b＝0”的充分不必要条件，故选项A错误；
对于B，取a＝2，b＝－1，满足a>b，但>，所以a>b⇏4⇏a>2，b>2，所以“a>2，b>2”是“ab>4”的充分不必要条件，故选项D正确．
11．(2022·沈阳模拟)已知a>0，b>0，且ab＝4，则(　　)
A.＋≤2 B.＋≥4
C．log2≥1 D．2a(a－b)>
答案　BC
解析　对于选项A，＋≥2＝2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，故选项A错误；
对于选项B，＋≥2＝2＝4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，故选项B正确；
对于选项C，≥＝≥＝2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，
则log2≥1，故选项C正确；
对于选项D,2a(a－b)＝2a2－4>2－4＝，故D选项错误．
12．(2022·深圳模拟)对于非空数集M，定义f(M)表示该集合中所有元素的和．给定集合S＝{1,2,3,4}，定义集合T＝{f(A)|A⊆S，A≠∅}，则下列说法正确的是(　　)
A．7∈T
B．8∉T
C．集合T中有10个元素
D．集合T中有11个元素
答案　AC
解析　∵A⊆S且A≠∅.
①当A为单元素集合时，集合A可取{1}，{2}，{3}，{4}，f(A)可取1,2,3,4；
②当A中的元素个数为2时，集合A可取{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，
f(A)可取3,4,5,6,7；
③当A中的元素个数为3时，集合A可取{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，f(A)可取6,7,8,9；
④当A＝S时，f(A)＝10.
综上所述，T＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，AC选项正确，BD选项错误．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．命题“每个正方形都是平行四边形”的否定形式是______________．
答案　存在一个正方形不是平行四边形
解析　命题“每个正方形都是平行四边形”的否定形式是“存在一个正方形不是平行四边形”．
14．(2022·福州模拟)设全集S＝{x|x2－ax＋15＝0，x∈R}，∁SA＝{5}，则集合A＝________.
答案　{3}
解析　因为S＝{x|x2－ax＋15＝0，x∈R}，∁SA＝{5}，所以5∈S，5∉A，所以52－5a＋15＝0，解得a＝8，所以x2－8x＋15＝0，解得x＝3或x＝5，所以S＝{3,5}，所以A＝{3}．
15．某年级举行数学、物理、化学三项竞赛，共有80名学生参赛，其中参加数学竞赛有40人，参加物理竞赛有40人，参加化学竞赛有45人，同时参加物理、化学竞赛有15人，同时参加数学、物理竞赛有20人，同时参加数学、化学竞赛有15人，这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有________名．
答案　5
解析　将参加三种竞赛的人数情况画出Venn图，如图所示．

不妨设这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有x人，
则只参加数学、化学竞赛的有(15－x)人，只参加物理、化学竞赛的有(15－x)人，只参加数学、物理竞赛的有(20－x)人，
只参加数学竞赛的有40－(20－x)－(15－x)－x＝5＋x(人)，
只参加物理竞赛的有40－(20－x)－(15－x)－x＝5＋x(人)，
只参加化学竞赛的有45－(15－x)－(15－x)－x＝15＋x(人)，
故参加竞赛的总人数为5＋x＋5＋x＋15＋x＋15－x＋15－x＋20－x＋x＝80，
解得x＝5.
16．(2022·复旦附中模拟)设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有2个整数，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　由A中不等式变形得(x－1)(x＋3)>0，

解得x1，即A＝{x|x1}，
函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，
f(－3)＝6a＋8>0，f(1)＝－2a0，
由对称性可得，要使A∩B恰含有2个整数，
即这个整数解为2,3，
∴f(2)0，
即
解得≤a0的解集为{x|x2}．
(1)求a，b的值；
(2)当x>0，y>0，且满足＋＝1时，有4x＋y≥k2－8k恒成立，求k的取值范围．
解　(1)由题意可知，x＝b和x＝2为方程ax2－3x＋2＝0的两个根，
因此
解得a＝1，b＝1或b＝2(舍)．
(2)因为a＝1，b＝1，所以＋＝＋＝1，
又因为x>0，y>0，所以4x＋y＝(4x＋y)·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即y＝2x＝3时，取等号．
由4x＋y≥k2－8k恒成立，得9≥k2－8k恒成立，解得－1≤k≤9.
所以k的取值范围为[－1,9]．
19．(12分)在①A∩B＝A，②A∩(∁RB)＝A，③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合A＝{x|a－1