【最新版】高中数学（新教材人教A版）培优单元检测五　平面向量与复数

这是一份【最新版】高中数学（新教材人教A版）培优单元检测五　平面向量与复数，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元检测五　平面向量与复数
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022·南京模拟)已知复数z的共轭复数为，若zi＝2＋i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为(　　)
A．－i B.i
C．－ D.
答案　D
解析　设z＝a＋bi，a，b∈R，则＝a－bi，
∵zi＝2＋i，
∴(a＋bi)i＝2(a－bi)＋i，
－b＋ai＝2a＋(1－2b)i，
即解得
∴z＝－＋i，
故复数z的虚部为.
2．已知复数z满足条件(4＋3i)z＝3＋4i(i为虚数单位)，则|z|等于(　　)
A．1 B．5
C. D．25
答案　A
解析　因为(4＋3i)z＝3＋4i，所以z＝＝，
所以|z|＝1.
3．在△ABC中，点M为AC上的点，且＝，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是(　　)
A．1 B.
C. D.
答案　C
解析　＝，即＝，
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
又＝λ＋μ，则λ＝，μ＝，故λ－μ＝.

4．(2022·宜昌模拟)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，－2)，c＝(t,2－t)，若(2a＋b)∥c，则t等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　D
解析　由2a＋b＝(1,2)，又(2a＋b)∥c，∴2t＝2－t，可得t＝.
5．(2022·盐城模拟)若复数z满足z(1－i)＝|＋i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　复数z满足z(1－i)＝|＋i|＝＝2，
∴z(1－i)(1＋i)＝2(1＋i)，∴z＝1＋i，
则在复平面内z的共轭复数1－i对应的点是(1，－1)，它位于第四象限．
6．复数z1＝3＋2i(i为虚数单位)是方程z2－6z＋b＝0(b∈R)的根，则b的值为(　　)
A. B．13
C. D．5
答案　B
解析　∵z1＝3＋2i是方程z2－6z＋b＝0(b∈R)的根，
∴z2＝3－2i为方程另一根，
则b＝(3＋2i)(3－2i)＝13.
7．(2022·长沙模拟)已知向量a，b满足|a|＝3|b|＝2，a·b＝1，若－a＋2b与ma＋3b共线，则|ma＋3b|等于(　　)
A．2 B．4
C. D．22
答案　A
解析　因为－a＋2b与ma＋3b共线，所以＝，m＝－.
又|a|＝3|b|＝2，a·b＝1，
所以|ma＋3b|＝
＝
＝＝2.
8．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2，P是腰AD上的动点，则|2－|的最小值为(　　)
A. B．3
C. D.
答案　C
解析　过D作DE⊥AB，垂足为E，过C作CF⊥AB，垂足为F，以E为原点，分别以EB，ED所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．

由已知可得，CD＝BC＝1，AD＝EF＝1，AE＝BF＝，
所以DE＝＝＝，E(0,0)，A，D，C，F(1,0)，B，
因为P是腰AD上的点，所以设点P的横坐标为x，
因为直线AD的方程为＋＝1，即y＝x＋，P，所以＝，＝(1－x，－x)，
所以2－＝(2－x，－x－)，
所以|2－|＝＝＝，当x＝－∈时，|2－|存在最小值为.
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．(2022·扬州中学月考)已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是(　　)
A．i＋i2＋i3＋i4＝0
B．复数z＝3－i的虚部为－i
C．若z＝(1＋2i)2，则复平面内对应的点位于第二象限
D．已知复数z满足|z－1|＝|z＋1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
答案　AD
解析　A选项，i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，故A选项正确．
B选项，z的虚部为－1，故B选项错误．
C选项，z＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i，＝－3－4i，对应坐标为(－3，－4)在第三象限，故C选项错误．
D选项，|z－1|＝|z＋1|＝|z－(－1)|表示z到A(1,0)和B(－1,0)两点的距离相等，故z的轨迹是线段AB的垂直平分线，故D选项正确．
10．已知向量a＝(1，)，b＝(x,1)，则下列结论正确的是(　　)
A．∃x∈(0，＋∞)，使得(a－b)⊥b
B．∃x∈(－∞，0)，使得(a＋b)∥b
C．∀x∈[0，＋∞)，〈a，b〉小于
D．∀x∈(－∞，0]，|2a－b|>
答案　AC
解析　因为a＝(1，)，b＝(x,1)，所以a－b＝(1－x，－1)，令(a－b)·b＝x(1－x)＋－1＝－x2＋x＋－1＝0，
因为Δ＝12－4×(－1)×(－1)＝4－3>0，x1＋x2＝1>0且x1x2＝1－0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0，∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0，∴λ>－.
当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，
即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，
∴∴λ＝0，即当λ＝0时，a与a＋λb共线，不存在夹角为锐角，
综上可知，实数λ的取值范围为∪(0，＋∞)．
15．(2022·河北唐山一中模拟)已知复数z满足|z－(2＋i)|＝3，则|z|的最小值是________．
答案　3－
解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－(2＋i)＝(x－2)＋(y－1)i，
由|z－(2＋i)|＝3可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
故z对应点的轨迹是圆心为(2,1)，半径为3的圆C，
|z|min表示原点到圆C上的最短距离，
而原点在圆内，由原点到圆心的距离d＝，
所以原点到圆C上的最短距离为3－.
16．(2022·济南模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2a＋c＝2bcos C，则角B的大小为________；设D为边AC上一点，且∠ABD＝∠CBD，BD＝1，则·的最小值为________．
答案　　2
解析　由正弦定理，得2sin A＋sin C＝2sin Bcos C，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
得2cos Bsin C＋sin C＝0，由0