【最新版】高中数学（新教材人教A版）培优单元检测七　立体几何与空间向量

这是一份【最新版】高中数学（新教材人教A版）培优单元检测七　立体几何与空间向量，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元检测七　立体几何与空间向量
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题不正确的是(　　)
A．正方体一定是正四棱柱
B．底面是正多边形的棱柱是正棱柱
C．有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D．平行六面体的六个面均为平行四边形
答案　B
解析　对于A，上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，故A正确；
对于B，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形但侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故B错误；
对于C，有两个相邻的侧面是矩形，说明侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，所以，有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故C正确；
对于D，底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，而棱柱的各个侧面都是平行四边形，故D正确．
2．α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列命题不正确的是(　　)
A．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n
B．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等
C．如果α∥β，m⊂α，那么m∥β
D．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
答案　D
解析　对于A，过n作平面与α交于直线l，由n∥α易得n∥l，又m⊥α，l⊂α，故m⊥l，所以m⊥n，正确；
对于B，若m与α所成角为θ，由m∥n，则有n与α所成角也为θ，又α∥β，易知n与β所成角为θ，正确；
对于C，由α∥β，m⊂α，根据面面平行的性质易知，m∥β，正确；
对于D，由m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β可能平行、相交、垂直等，错误．
3．(2022·哈尔滨模拟)冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体．已知半球部分的体积为18π，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，若用塑料外壳将该冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为(　　)

A．27π B．36π
C．45π D．54π
答案　B
解析　设半球半径为R，圆锥母线长为l，
由πR3＝18π，得R＝3，
又πl＝2πR＝6π，得l＝6，
所以所用塑料的面积至少为S＝2πR2＋πRl＝2π×32＋π×3×6＝36π.
4.(2021·北京)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(tan 30°＝，
所以∠B1A1P不可能是30°，故D错误．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2022·金华质检)若平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a和b的位置关系是________．
答案　异面或平行
解析　因为平面α∥平面β，则平面α与平面β没有公共点，而a⊂α，b⊂β，于是得直线a和b没有公共点，
所以直线a和b是异面直线或者是平行直线．
14．如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝2，则△ABC的面积是________．

答案　8
解析　由直观图画法规则将Rt△A′B′C′还原为△ABC，如图所示，△ABC是一个等腰三角形，则有BO＝OC＝B′O′＝O′C′＝2，AO＝2A′O′＝4，

所以S△ABC＝BC·AO＝×4×4＝8.
15．如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则用向量a，b，c表示向量＝________.

答案　－a＋b＋c
解析　∵在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，
∴＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.
16．(2022·太原模拟)已知在三棱锥A－BCD中，BC＝CD＝2，BD＝2，△ABD是等边三角形，平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为________．
答案　
解析　因为BC＝CD＝2，BD＝2，所以BC2＋CD2＝BD2，所以BC⊥CD，
如图，取BD的中点E，连接AE，则E为△BCD的外心，

△ABD是等边三角形，AE⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE⊂平面ABD，所以AE⊥平面BCD，三棱锥A－BCD外接球球心在AE上，所以△ABD的外心O就是三棱锥A－BCD外接球球心，OA＝××2＝，
所以外接球的表面积为S＝4π×2＝.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)(2022·深圳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中点．

(1)求异面直线PB与CM所成角的余弦值；
(2)求点M到平面PAC的距离．
解　(1)因为四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，故AB，AD，AP两两垂直，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，M(0,2,2)，＝(2,0，－4)，＝(－2，－2,2)，则|cos〈，〉|＝＝＝，即异面直线PB与CM所成角的余弦值为.
(2)由(1)得＝(0,0,4)，＝(2,4,0)，设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，设点M到平面PAC的距离为d，则即令x＝2，则y＝－1，故n＝(2，－1,0)，＝(0,2,2)，所以d＝＝＝，故点M到平面PAC的距离为.
18．(12分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．

(1)求证：直线BD1∥平面PAC；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDD1；
(3)求三棱锥D－PAC的体积．
(1)证明　设AC∩BD＝O，连接OP，如图．

∵O，P分别为BD，D1D的中点，
∴BD1∥OP，
∵OP⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，
∴BD1∥平面PAC.
(2)证明　∵D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴D1D⊥AC，
又AC⊥BD，D1D∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDD1，
∵AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面BDD1.
(3)解　∵PD⊥平面ADC，
∴VD－PAC＝VP－ADC＝S△ADC·PD＝××1×1×1＝.
19．(12分)(2022·杭州质检)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，点E，F分别为AD，PC的中点．

(1)证明：DF∥平面PBE；
(2)求EF与平面PBE所成角的正弦值．
(1)证明　如图，取PB的中点G，连接EG，FG，则FG∥BC，且FG＝BC，

∵DE∥BC且DE＝BC，
∴DE∥FG且DE＝FG，
∴四边形DEGF为平行四边形，
∴DF∥EG，又EG⊂平面PBE，DF⊄平面PBE，
∴DF∥平面PBE.
(2)解　由于四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，
则以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，连接EF，

则P(0,0,2)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，E(1,0,0)，F(0,1,1)，
∴＝(－1,1,1)，
设平面PBE的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(2,2，－2)，＝(1,0，－2)，
则令z＝1，得n＝(2，－1,1)，
设直线EF与平面PBE所成角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
即直线EF与平面PBE所成角的正弦值为.
20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，O为BD的中点，BD＝4，PB＝PC＝PD＝.

(1)证明：OP⊥平面ABCD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成夹角的余弦值．
(1)证明　如图，连接OC，

在Rt△BCD中，由BD＝4，可得OC＝2，
因为PB＝PD＝，OB＝OD＝2，
所以OP⊥BD，OP＝＝＝1，
因为OP＝1，OC＝2，PC＝，
所以PC2＝OP2＋OC2，
故OP⊥OC，
因为OP⊥BD，BD∩OC＝O，BD，OC⊂平面ABCD，
所以OP⊥平面ABCD.
(2)解　由(1)可知，OC，OB，OP两两垂直，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则O(0,0,0)，B(2,0,0)，D(－2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，
所以＝(2,2,0)，＝2＝(4,4,0)，
则A(－2，－4,0)，
又＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)，
设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则y＝1，z＝2，
故m＝(1,1,2)，
设平面PAD的法向量为n＝(a，b，c)，
因为＝(2,0,1)，＝(0,4,0)，
所以
令a＝1，则b＝0，c＝－2，
故n＝(1,0，－2)，
所以|cos〈m，n〉|＝
＝＝，
故平面PAD与平面PBC所成夹角的余弦值为.
21．(12分)(2022·首都师范大学附属中学模拟)在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB＝SC，M是BC的中点．AB＝SM＝1，BC＝2.

(1)求证：AM⊥SD；
(2)求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；
(3)在线段SD上是否存在点P，使得平面AMP⊥平面SCD，若存在，求SP∶SD的值；若不存在，说明理由．
(1)证明　由于SB＝SC，M是BC的中点，所以SM⊥BC，
由于平面ABCD⊥平面SBC且交线为BC，所以SM⊥平面ABCD.
以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

A(1,0,0)，M(0,1,0)，S(0,1,1)，D(1,2,0)，
＝(－1,1,0)，＝(1,1，－1)，
·＝0，
所以AM⊥SD.
(2)解　由(1)得＝(－1,1,1)，C(0,2,0)，
＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，
设平面SCD的法向量为m＝(x，y，z)，
则故可设m＝(0,1,1)．
设直线SA与平面SCD所成角为α，
则sin α＝＝＝.
所以直线SA与平面SCD所成角的正弦值为.
(3)解　设＝t(0≤t≤1)，在SD上取一点P，连接AP，PM，由(1)得
＝(－1,1,0)，＝－＝－－＝t＋－＝(t，t，－t)＋(0,1,1)－(1,0,0)＝(t－1，t＋1，－t＋1)，
设平面AMP的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则
故可设n＝，
若平面AMP⊥平面SCD，则m·n＝1＋＝＝0，解得t＝.
所以存在点P使平面AMP⊥平面SCD，此时SP∶SD＝1∶3.
22．(12分)(2022·武汉模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，E为棱PB上一点．

(1)若E为棱PB的中点，求证：直线CE∥平面PAD；
(2)若E为棱PB上异于P，B的一点，且平面EAC与平面BAC夹角的余弦值为，求直线AE与平面ABCD所成角的正弦值．
(1)证明　如图，取PA的中点F，连接EF，DF，

∵E为PB的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，
又CD∥AB且CD＝AB，
∴EF綉CD，∴四边形CDFE为平行四边形，
∴CE∥DF，
又CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，
故直线CE∥平面PAD.
(2)解　以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,2,0)，C(1,1,0)．
设E(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，＝(0,2，－1)．
∵E在棱PB上，∴可设＝λ(0