2022八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理第2课时验证勾股定理教案新版华东师大版

1.1探索勾股定理

第2课时验证勾股定理

教学目标

【知识与能力】

1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.

2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.

【过程与方法】

通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.

【情感态度价值观】

培养学生大胆探索,不怕失败的精神.

教学重难点

【教学重点】

经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.

【教学难点】  

用拼图法验证勾股定理.

课前准备

【教师准备】教材图1 - 4,1 - 5,1 - 6,1 - 7的图片.

【学生准备】4个全等的直角三角形纸片.

教学过程

第一环节：引入新课

导入一:

【提问】　直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!

导入二:

上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?

学生思考(测量、数格子).

第二环节：新知构建

　　[过渡语]　一样的科学结论,可能会有很多的证明方式,人们对勾股定理的验证,就给出了多种的证明方式,我们也一起来尝试下吧.

1.勾股定理的验证

思路一

【师生活动】

师:投影教材P4图1 - 4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.

生:割补法进行验证.

师:出示教材P5图1 - 5和图1 - 6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?

生:讨论交流.

师总结:图1 - 5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1 - 6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图1 - 5采用的是“补”的方法,而图1 - 6采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.

(1)动笔操作,独立完成.

师:图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少?你们有哪些方法求?与同伴进行交流.

(2)分组讨论面积的不同表示方法.

生:得出(a+b)2,4×ab+c2两种方法.

(3)板书学生讨论的结果.

【提问】　你能利用图1 - 5验证勾股定理吗?

生:根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.

师:化简之后能得到勾股定理吗?

生:得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.

师:你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗?

独立完成.

师:(强调)割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.

思路二

教师出示教材图1 - 4及“做一做”,让学生观察图1 - 5和图1 - 6.

【提问】　小明是怎样拼的?你来试一试.

(学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来)

【思考】　“做一做”的三个问题.

教师讲评验证勾股定理的方法.

2.勾股定理的简单应用

思路一：出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.

【问题】　(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?

(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?

(学生独立完成,教师指名板演)

出示教材P8图1 - 8.

【提问】　判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.

(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成)

思路二

　我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?

〔解析〕　根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.

解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.

敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.

[知识拓展]　利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.

曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为(a+b)(a+b),又可以表示为(2ab+c2),所以可得(a+b)(a+b)=(2ab+c2),化简可得a2+b2=c2.

第三环节：课堂小结

1.勾股定理的验证方法

2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题.

第四环节：检测反馈

1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是 (　　)

解析:A,B,C都可以利用图形面积得出a,b,c的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C选项不符合题意;D,不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项正确.故选D.

2.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是              (　　)

A.c2=a2+b2　　　　B.c2=a2+2ab+b2

C.c2=a2-2ab+b2 D.c2=(a+b)2

解析:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c,里面的小四边形也为正方形,边长为b-a,则有c2=ab×4+(b-a)2,整理得c2=a2+b2.故选A.

3.如图所示,大正方形的面积是　　　　,另一种方法计算大正方形的面积是　　　　,两种结果相等,推得勾股定理是　　　　. 

解析:如图所示,大正方形的面积是(a+b)2,另一种计算方法是4×ab+c2,即(a+b)2=4×ab+c2,化简得a2+b2=c2.

答案:(a+b)2　4×ab+c2　a2+b2=c2

4.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?

解析:根据已知图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.

解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S2+S3=S1,这个结论用关系式可表示为a2+b2=c2.

第五环节：布置作业

1.教材作业

【必做题】

教材第6页随堂练习.

【选做题】

教材第7页习题1.2第3题.

2.课后作业

【基础巩固】

1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是              (　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.12　　　　D.13

2.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是              (　　)

A.B.

C.D.

3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.

(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个

关于a,b,c的等式.(要有过程)

(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)

(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.

【能力提升】

4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为　　　　. 

5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为              (　　)

A.35 B.43 C.89 D.97

6.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?

7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.

【拓展探究】

8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.

9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.

将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC,其中∠DAB=90°,求证a2+b2=c2.

证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.

∵b2+ab,

又∵c2+a(b-a),

∴b2+ab=c2+a(b-a),

∴a2+b2=c2.

请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.

将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,连接BE.

验证a2+b2=c2.

证明:连接　　　　　　　　　　, 

∵=　　　　　　　　　　, 

又∵=　　　　, 

∴　　　　, 

∴a2+b2=c2.

【答案与解析】

1.A(解析:根据勾股定理可得a2+b2=13,四个直角三角形的面积和是ab×4=13-1=12,即2ab=12,则(a-b)2=a2-2ab+b2=13-12=1.故选A.)

2.D(解析:由,可知ab+c2+ab=(a+b)2,∴c2+2ab=a2+2ab+b2,整理得a2+b2=c2,∴证明中用到的面积相等的关系是.故选D.)

3.解:(1)大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积,即c2=4×ab+(a-b)2=a2+b2.　(2)如图所示.　(3)∵2ab=(a+b)2-(a2+b2)=196-100=96,∴ab=48,∴S=ab=×48=24.

4.440(解析:如图所示,延长AB交KL于P,延长AC交LM于Q,则ΔABC≌ΔPFB≌ΔQCG,∴PB=AC=8,CQ=AB=6,∵图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∴IP=8+6+8=22,DQ=6+8+6=20,∴矩形KLMJ的面积=22×20=440.故答案为440.)

5.D(解析:依题意有:a2+b2=大正方形的面积=13,2ab=四个直角三角形的面积和=13-1=12,ab=6,则a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=(a2+b2)2-2(ab)2=132-2×62=169-72=97.故选D.)

6.解:根据题意,第一个图形中间空白小正方形的面积是c2;第二个图形中空白的两个小正方形的面积的和是a2+b2,∵它们的面积都等于边长为a+b的正方形的面积-4个直角边分别为a,b的直角三角形的面积和,∴a2+b2=c2,即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.

7.解:连接D'D,依题意,图中的四边形DAC'D'为直角梯形,ΔDBD'为等腰直角三角形,RtΔDAB和RtΔBC'D'的形状和大小完全一样,设梯形DAC'D'的面积为S,则S=(a+b)(a+b)=(a2+b2)+ab,又S=SRtΔDBD'+2SRtΔABD=c2+2×ab=c2+ab,∴(a2+b2)+ab=c2+ab,因此a2+b2=c2.

8.(解析:∵八个直角三角形全等,四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形,∴CG=NG,CF=DG=NF=GK,∴S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG·DG=GF2+2CG·DG,S2=GF2,S3=(NG-NF)2=NG2+NF2-2NG·NF,∴S1+S2+S3=GF2+2CG·DG+GF2+NG2+NF2-2NG·NF=3GF2=16,∴GF2=,∴S2=.故答案为.)

9.证明:连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,∵S五边形ACBED=SΔACB++SΔADE=ab+b2+ab,又∵S五边形ACBED=SΔACB+SΔABD+SΔBDE=ab+c2+a(b-a),∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),∴a2+b2=c2.

板书设计

1.1.2

1.勾股定理的验证.

2.勾股定理的简单应用.

教学反思

成功之处

在课堂教学中,始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师,所以无论是引入、拼图,还是历史回顾,都注意去调动学生,让学生满怀激情地投入到活动中.勾股定理作为“千古第一定理”,其魅力在于其历史价值和应用价值,因此充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查,再在课堂上进行展示,这极大地调动了学生的积极性,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了学生收集、整理资料的能力.

不足之处

在教学过程中,过于让学生发散思维,而导致课堂秩序略有松散.

再教设计

勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,可以设计拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究,最后由学生独立探究,这样学生较容易突破本节课的难点.

备课资源

古诗中的数学题

请你先欣赏下面一首诗:

平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;

出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边;

渔人观看忙向前,花离原位两尺远;

能算诸君请解题,湖水如何知深浅?

你能用所学的数学知识解决上述诗中的问题吗?

〔解析〕　要解决诗中提出的问题,关键是将实际问题转化为数学问题,画出符合题意的图形,如图所示.在RtΔBCD中,由勾股定理建立方程求线段的长.

解:如图所示,AD表示莲花的高度,CD是水的深度,CB是莲花吹倒后离原位的距离.

设CD=x尺,则AD=BD=尺.

在RtΔBCD中,∠BCD=90°,由勾股定理得BD2=CD2+BC2,即=22+x2.

解得x=3.75.

所以所求的湖水深度为3.75尺.

[方法总结]　建立数学模型是解决实际问题的常用方法.本例是利用莲花无风时与水面垂直构造直角三角形这一几何模型.在直角三角形中常用勾股定理建立方程求线段的长.