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江苏省泰州市2022年中考数学试卷解析版
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这是一份江苏省泰州市2022年中考数学试卷解析版，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省泰州市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．下列判断正确的是( )
A．0<3<1 B．1<3<2 C．2<3<3 D．3<3<4
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：由题意可知：1<3<4=2.
故答案为：B.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得3的范围，据此判断.
2．如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由表面展开图可得：该几何体是四棱锥.
故答案为：B.
【分析】由图可知：底面为四边形，侧面为三角形，然后结合常见几何体的表面展开图的特点进行判断.
3．下列计算正确的是( )
A．3ab+2ab=5ab B．5y2−2y2=3
C．7a+a=7a2 D．m2n−2mn2=−mn2
【答案】A
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3ab+2ab=5ab，故选项正确，符合题意；
B、5y2−2y2=3y2，故选项错误，不符合题意；
C、7a+a=8a，故选项错误，不符合题意；
D、m2n和2mn2不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A、B、C；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断D.
4．如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙，丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为( )
A．13 B．12 C．23 D．1
【答案】D
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：这张圆桌的3个座位是彼此相邻的，甲乙相邻是必然事件，所以甲和乙相邻的概率为1.
故答案为：D.
【分析】由图形可得：甲乙相邻是必然事件，据此可得甲和乙相邻的概率.
5．已知点(−3，y1)，(−1，y2)，(1，y3)在下列某一函数图象上，且y3
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：A、把点(−3，y1)，(−1，y2)，(1，y3)代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1
【分析】将x=-3、-1、1分别代入y=3x、y=3x2、y=3x、y=-3x中求出y1、y2、y3的值，然后进行比较即可判断.
6．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为( )
A．2 B．2 C．22 D．4
【答案】C
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接CF、CG、AE，
∵∠ADC=∠EDG=90°
∴∠ADE=∠CDG
在ΔADE和ΔCDG中，
∵AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG
∴ΔADE≅ΔCDG(SAS)
∴AE=CG
∴DE+CF+CG=EF+CF+AE
当EF+CF+AE=AC时，最小，
AC=AD2+CD2=22+22=22
∴d1＋d2＋d3的最小值为22.
故答案为：C.
【分析】连接CF、CG、AE，由正方形的性质得∠ADC=90°，∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG，由同角的余角相等得∠ADE=∠CDG，证△ADE≌△CDG，得到AE=CG，则DE+CF+CG=EF+CF+AE，当EF+CF+AE=AC时，取得最小值，然后利用勾股定理计算即可.
二、填空题
7．若x=−3，则|x|的值为 .
【答案】3
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意可知：当x=−3时，|x|=|−3|=3，
故答案为：3.
【分析】负数的绝对值为其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行解答.
8．正六边形一个外角的度数为 .
【答案】60°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正六边形的外角和是360°，
∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°.
故答案为：60°.
【分析】利用外角和360°除以6就可求出正六边形一个外角的度数.
9．2022年5月15日4时40分，我国自主研发的极目一号III型科学考察浮空艇升高至海拔9032m，将9032用科学记数法表示为 .
【答案】9.032×103
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：9032=9.032×103.
故答案为：9.032×103.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
10．方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=（-2）2-4m=4-4m=0，
解得：m=1.
故答案为：1.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此建立不等式，求解可得m的值.
11．学校要从王静，李玉两同学中选拔一人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话，体育知识和旅游知识.并将成绩依次按4∶3∶3计分. 两人的各项选拔成绩如右表所示，则最终胜出的同学是 .
普通话
体育知识
旅游知识
王静
80
90
70
李玉
90
80
70
【答案】李玉
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：王静得分：80×4+90×3+70×34+3+3=80（分）
李玉得分：90×4+80×3+70×34+3+3=81（分）
∵81分＞80分，
∴最终胜出的同学是李玉.
故答案为：李玉.
【分析】利用普通话得分×权重+体育知识得分×权重+旅游知识得分×权重的和除以权重的和，分别求出王静、李玉的得分，然后进行比较即可判断.
12．一次函数y=ax+2的图象经过点(1，0).当y>0时，x的取值范围是 .
【答案】x<1
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的图象
【解析】【解答】解：把(1，0)代入一次函数y=ax+2，得
a+2=0，
解得：a=-2，
∴y=-2x+2，
当y>0时，即-2x+2>0，
解得：x<1.
故答案为：x<1.
【分析】将（1，0）代入y=ax+2中可得a的值，据此可得一次函数的解析式，然后令y>0，可得关于x的一元一次不等式，求解即可.
13．如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在AmB 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为 °.
【答案】32
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=12∠O=32°.
故答案为：32.
【分析】连接OA，根据切线的性质可得∠PAO=90°，则根据三角形的内角和求出∠O的度数，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠C的度数.
14．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如下图所示：
马第一步往外跳，可能的落点为A，B，C，D、E、F点，
第二步往回跳，但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短，
比如，第一步马跳到A点位置，第二步在从A点跳到G点位置，此时落点与出发点的距离最短为2.
故答案为：2.
【分析】马第一步往外跳，可能的落点为A，B，C，D、E、F点，若第一步马跳到A点位置，第二步从A点跳到G点位置，结合勾股定理可得最短距离.
15．已知a=2m2−mn，b=mn−2n2，c=m2−n2(m≠n) 用“＜”表示a、b、c的大小关系为 .
【答案】b
【解析】【解答】解：由题意可知：a−b=(2m2−mn)−(mn−2n2)=(m2+n2−2mn)+m2+n2=(m−n)2+m2+n2，
∵m≠n，
∴(m−n)2+m2+n2>0，
∴b
∴(m−n2)2+34n2>0
∴c
16．如图上，ΔABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为 .
【答案】2或12
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图，作DE//BC，OF⊥BC，OG⊥AB，连接OB，则OD⊥AC，
∵DE//BC，
∴∠OBF=∠BOE
∵O为ΔABC的内心，
∴∠OBF=∠OBE，
∴∠BOE=∠OBE
∴BE=OE，
同理，CD=OD，
∴DE=CD+BE，
AB=BC2+AC2=62+82=10
∵O为ΔABC的内心，
∴OF=OD=OG=CD，
∴BF=BG，AD=AG
∴AB=BG+AG=BC−CD+AC−CD=6−CD+8−CD=10
∴CD=2
②如图，作DE⊥AB，
由①知，BE=4，AE=6，
∵∠ACB=∠AED，∠CAB=∠EAD
∴ΔABC∼ΔADE
∴ABAC=ADAE
∴AD=AB⋅AEAC=10×68=152
∴CD=AC−AD=8−152=12
∵DE=AD2−AE2=(152)2−62=92
∴DE=BE+CD=4+12=92
∴CD=12
故答案为：2或12.
【分析】作DE∥BC，OF∥BC，OG∥AB，连接OB，则OD⊥AC，由平行线的性质得∠OBF=∠BOE，根据内心的概念可得∠OBF=∠OBE，推出BE=OE，同理可得CD=OD，则DE=CD+BE，利用勾股定理可得AB，根据内心的概念可得OF=OD=OG=CD，则BF=BG，AD=AC，AB=BG+AG=6-CD+8-CD=10，据此可得CD的值；作DE⊥AB，则BE=4，AE=6，易证△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质可得AD的值，由CD=AC-AD可得AD，利用勾股定理可得DE，由DE=BE+CD就可求出CD的值.
三、解答题
17．计算：
（1）计算：18−3×23；
（2）按要求填空：
小王计算2xx2−4−1x+2的过程如下：
解：2xx2−4−1x+2
=2x(x+2)(x−2)−1x+2−−−−−−−第一步=2x(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)−−第二步
=2x−x−2(x+2)(x−2)−−−−−−−−−−−第三步=x−2(x+2)(x−2)−−−−−−−−−−−第四步=x−2x+2−−−−−−−−−−−−−−−−第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
【答案】（1）解：原式=32−3×63=32−323=22；
（2）因式分解；三和五；1x−2
【知识点】分式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（2）由题意可知：
2xx2−4−1x+2
=2x(x+2)(x−2)−1x+2−−−−−−−第一步=2x(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)−−第二步
=2x−x−2(x+2)(x−2)−−−−−−−−−−−第三步=x+2(x+2)(x−2)−−−−−−−−−−−第四步=1x-2−−−−−−−−−−−−−−−−第五步
故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为1x−2.
故答案为：因式分解，第三步和第五步，1x−2.
【分析】（1）首先将第一个二次根式化为最简二次根式，同时根据二次根式的乘法法则计算二次根式的乘法最后合并同类二次根式即可；
（2）将第一个分式的分母利用平方差公式进行分解，然后进行通分，再结合同分母分式减法法则进行计算，最后约分化简即可.
18．农业、工业和服务业统称为“三产”，2021年泰州市“三产”总值增长率在全省排名第一.观察下列两幅统计图，回答问题.
（1）2017—2021年农业产值增长率的中位数是 %﹔若2019年“三产”总值为5200亿元，则2020年服务业产值比2019年约增加 亿元（结果保留整数）.
（2）小亮观察折线统计图后认为：这五年中，每年服务业产值都比工业产值高，你同意他的说法吗?请结合扇形统计图说明你的理由.
【答案】（1）2.8；96
（2）解：不同意，理由是：从折线统计图看，每年服务业产值的增长率都比工业产值的增长率高，因为不知道每年的具体数量和占当年的百分比，所以这五年中，每年服务业产值都比工业产值高是错误的，例如：从扇形统计图看，2019年服务业产值占“三产”的比重为45%，工业产值占“三产”的比重为49%，服务业产值低于工业产值，
∴每年服务业产值都比工业产值高是错误的.
【知识点】扇形统计图；折线统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）∵2017—2021年农业产值增长率按照从小到大排列为：
2.3%，2.7%，2.8%，2.8%，3.0%，
∴中位数为2.8%，
2019年服务业产值为：5200×45%＝2340（亿元），
2020年服务业产值比2019年约增加：2340×4.1%＝95.94≈96（亿元）；
故答案为：2.8，96；
【分析】（1）将2017—2021年农业产值增长率按照从小到大的顺序进行排列，找出最中间的数据即为中位数；利用2019年“三产”总值乘以服务业所占的比例可得2019年服务业产值，利用2019年服务业产值乘以4.1%可得2020年服务业产值比2019年增加的钱数；
（2）由于不知道每年的具体数量和占当年的百分比，故无法计算出每年的服务业产值，据此判断.
19．即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热，小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同.用列表或画树状图的方法，列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率.
【答案】解：列表如下：
C
D
E
A
AC
AD
AE
B
BC
BD
BE
∵由表可知共有6种等可能的结果数，其中恰好经过通道A与通道D的结果有1种，
∴P(恰好经过通道A与通道D)=16.
答：他恰好经过通道A与通道D的概率为16.
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】列出表格，找出总情况数以及恰好经过通道A与通道D的情况数，然后根据概率公式进行计算.
20．如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？
【答案】解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)
答：道路的宽应为4米.
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设道路的宽应为x米，则草坪的长为(50-2x)m，宽为(38-2x)m，然后根据草坪的面积为1260m2可列出关于x的方程，求解即可.
21．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.
【答案】（1）证明：∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线，
∴D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴线段DF与EF也为△ABC的中位线，
∴DF∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分.
（2）解：当AF=12BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下：
∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若▱ADFE为矩形，则AF=DE，
∴当AF=12BC时，四边形ADFE为矩形.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由题意可得D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则线段DF与EF都为△ABC的中位线，根据中位线的性质可得DF∥AC，EF∥AB，推出四边形ADFE是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线互相平分可得结论；
（2）根据中位线的性质可得DE=12BC，由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若平行四边形ADFE为矩形，则AF=DE，据此解答.
22．小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56， tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
【答案】解：过M点作ME⊥MN交CD于E点，如下图所示：
∵C点在M点正下方，
∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，
∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，
∴四边形AMCB为矩形，
∴MC=AB=8，AB∥CM，
∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°，
∵地面上的点D经过平面镜MN反射后落在点C，结合物理学知识可知：
∴∠NME=90°，
∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°，
∴∠CMD=56°，
在Rt△CMD中，tan∠CMD=CDCM，代入数据：1.48=CD8，
∴CD=11.84≈11.8m，
即水平地面上最远处D到小强的距离CD是11.8m.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，由题意可得∠MCD=90°，四边形AMCB为矩形，根据矩形的性质可得MC=AB=8，AB∥CM，由平行线的性质可得∠BNM+∠NMC=180°，结合∠BNM的度数可得∠NMC的度数，易得∠NME=90°，则∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=28°，∠CMD=56°，然后根据三角函数的概念就可求出CD.
23．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒
（1）如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.
【答案】（1）解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：
当t=2.5时，BE=2.5，
∵EF=10，
∴OE=12EF=5，
∴OB=2.5，
∴EB=OB，
在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，
∴△MBE≌△MBO(SAS)，
∴ME=MO，
∴ME=EO=MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM=60°，
∴ME=60π×5180=5π3.
（2）解：连接GO和HO，如下图所示：
∵∠GOH=90°，
∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠AOG+∠AGO=90°，
∴∠AGO=∠BOH，
在△AGO和△OBH中，∠AGO=∠BOH∠GAO=∠HBO=90∘OG=OH，
∴△AGO≌△BOH(AAS)，
∴AG=OB=BE-EO=t-5，
∵AB=7，
∴AE=BE-AB=t-7，
∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，
∴(t-5)2+(12-t)2=52，
解得：t1=8，t2=9，
即t的值为8或9秒.
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）设BC与⊙O交于点M，当t=2.5时，BE=2.5，OE=12EF=5，OB=2.5，则EB=OB，根据正方形的性质可得∠EBM=∠OBM=90°，证明△MBE≌△MBO，得到ME=MO，推出△MOE是等边三角形，则∠EOM=60°，然后结合弧长公式进行计算；
（2）连接GO和HO，根据同角的余角相等得∠AGO=∠BOH，证△AGO≌△BOH，得AG=OB=t-5，易得AE=BE-AB=t-7，AO=EO-AE=12-t，在Rt△AGO中，利用勾股定理可得t的值，据此解答.
24．如图，二次函数y1=x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2=kx(x>0)的图象相交于点B(3，1).
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当y1随x的增大而增大且y1
【答案】（1）解：∵二次函数y1=x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2=kx(x>0)的图象相交于点B(3，1)，
∴32+3m+1=1，k3=1，
解得m=−3，k=3，
∴二次函数的解析式为y1=x2−3x+1，反比例函数的解析式为y2=3x(x>0)；
（2）32≤x<3
（3）解：由题意作图如下：
∵当x=0时，y1=1，
∴A(0，1)，
∵B(3，1)，
∴ΔACE的CE边上的高与ΔBDE的DE边上的高相等，
∵ΔACE与ΔBDE的面积相等，
∴CE=DE，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当x=32时，y2=2，
∴E(32，2).
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）∵二次函数的解析式为y1=x2−3x+1，
∴对称轴为直线x=32，
由图象知，当y1随x的增大而增大且y1
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴，然后根据图象，找出二次函数图象在对称轴右侧、且在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）画出示意图，易得A（0，1），根据△ACE与△BDE的面积相等可得CE=DE，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，令反比例函数解析式中的x=32，求出y的值，据此可得点E的坐标.
25．已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.
（1）如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
（2）在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于12CD•AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴DEAB=CDCB，
∵AB=5，BD=9，DC=6，
∴DE5=66+9，
∴DE=2；
（2）解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
如图所示：点F即为所求，
（3）解：直线BC与⊙F相切，理由如下：
作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，
∵∠DFA=∠A，
∴四边形ABRF是等腰梯形，
∴AB=FR，
∵△FBC的面积等于12CD•AB，
∴S△CFB=S△CFR=12AB⋅CD=12FR⋅CD，
∴CD⊥DF，
∵FD是⊙F的半径，
∴直线BC与⊙F相切.
【知识点】三角形的面积；切线的判定；相似三角形的判定与性质；作图-平行线；作图-角
【解析】【分析】（1）易证△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出DE的长；
（2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，易得四边形ABRF是等腰梯形，则AB=FR，根据S△CFB=S△CFR可得CD⊥DF，据此证明.
26．定义：对于一次函数y1=ax+b、y2=cx+d ，我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y1、y2的“组合函数”.
（1）若m=3，n=1，试判断函数y=5x+2是否为函数y1=x+1，y2=2x−1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图象相交于点P.
①若m+n>1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：y=5x+2是函数y1=x+1，y2=2x−1的“组合函数”，
理由：由函数y1=x+1，y2=2x−1的“组合函数”为：y=m(x+1)+n(2x−1)，
把m=3，n=1代入上式，得y=3(x+1)+(2x−1)=5x+2，
∴函数y=5x+2是函数y1=x+1，y2=2x−1的“组合函数”；
（2）解：①解方程组y=x−p−2y=−x+3p得x=2p+1y=p−1，
∵ 函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图象相交于点P，
∴点P的坐标为(2p+1，p−1)，
∵y1、y2的“组合函数”为y=m(x−p−2)+n(−x+3p)， ∴y=(m−n)x+3pn−mp−2m，
∵m+n>1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，
∴p−1＞(m−n)(2p+1)+3pn−mp−2m，整理，得p−1＞(m+n)(p−1)，
∴p−1<0，p<1，
∴ p的取值范围为p<1；
②存在，理由如下：
∵函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P.
∴将点P的坐标(2p+1，p−1)代入“组合函数”y=(m−n)x+3pn−mp−2m，得
p−1=(m−n)(2p+1)+3pn−mp−2m，
∴p−1=(m+n)(p−1)，
∵p≠1，
∴m+n=1，n=1−m，
将n=1−m代入y=(m−n)x+3pn−mp−2m=(2m−1)x+3p−4pm−2m，
把y=0代入y=(2m−1)x+3p−4pm−2m，得(2m−1)x+3p−4pm−2m=0
解得：x=p(−3+4m)+2m2m−1，
设−3+4m=0，则m=34，
∴x=2×342×34−1=3
∴Q(3，0)，
∴对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）由题意可得函数y1与y2的“组合函数”为y=m(x+1)+n(2x-1)，把m=3，n=1代入并化简即可；
（2）① 联立两一次函数解析式表示出x、y，可得P（2p+1，p-1），由题意可得y1与y2的“组合函数”为y=m(x-p-2)+n(-x+3p)=(m-n)x+3pn-mp-2m，由题意可得p-1>(m-n)(2p+1)+3pn-mp-2m，化简并结合不等式的性质可得p的范围；
②将（2p+1，p-1）代入y=(m-n)x+3pn-mp-2m中并化简可得p-1=(m+n)(p-1)，则m+n=1，将n=1-m代入y=(m-n)x+3pn-mp-2m中可得y=(2m-1)x+3p-4pm-2m，令y=0，求出x，据此不难求出点Q的坐标.
江苏省泰州市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．下列判断正确的是( )
A．0<3<1 B．1<3<2 C．2<3<3 D．3<3<4
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：由题意可知：1<3<4=2.
故答案为：B.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得3的范围，据此判断.
2．如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由表面展开图可得：该几何体是四棱锥.
故答案为：B.
【分析】由图可知：底面为四边形，侧面为三角形，然后结合常见几何体的表面展开图的特点进行判断.
3．下列计算正确的是( )
A．3ab+2ab=5ab B．5y2−2y2=3
C．7a+a=7a2 D．m2n−2mn2=−mn2
【答案】A
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3ab+2ab=5ab，故选项正确，符合题意；
B、5y2−2y2=3y2，故选项错误，不符合题意；
C、7a+a=8a，故选项错误，不符合题意；
D、m2n和2mn2不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A、B、C；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断D.
4．如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙，丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为( )
A．13 B．12 C．23 D．1
【答案】D
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：这张圆桌的3个座位是彼此相邻的，甲乙相邻是必然事件，所以甲和乙相邻的概率为1.
故答案为：D.
【分析】由图形可得：甲乙相邻是必然事件，据此可得甲和乙相邻的概率.
5．已知点(−3，y1)，(−1，y2)，(1，y3)在下列某一函数图象上，且y3
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：A、把点(−3，y1)，(−1，y2)，(1，y3)代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1
【分析】将x=-3、-1、1分别代入y=3x、y=3x2、y=3x、y=-3x中求出y1、y2、y3的值，然后进行比较即可判断.
6．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为( )
A．2 B．2 C．22 D．4
【答案】C
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接CF、CG、AE，
∵∠ADC=∠EDG=90°
∴∠ADE=∠CDG
在ΔADE和ΔCDG中，
∵AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG
∴ΔADE≅ΔCDG(SAS)
∴AE=CG
∴DE+CF+CG=EF+CF+AE
当EF+CF+AE=AC时，最小，
AC=AD2+CD2=22+22=22
∴d1＋d2＋d3的最小值为22.
故答案为：C.
【分析】连接CF、CG、AE，由正方形的性质得∠ADC=90°，∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG，由同角的余角相等得∠ADE=∠CDG，证△ADE≌△CDG，得到AE=CG，则DE+CF+CG=EF+CF+AE，当EF+CF+AE=AC时，取得最小值，然后利用勾股定理计算即可.
二、填空题
7．若x=−3，则|x|的值为 .
【答案】3
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意可知：当x=−3时，|x|=|−3|=3，
故答案为：3.
【分析】负数的绝对值为其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行解答.
8．正六边形一个外角的度数为 .
【答案】60°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正六边形的外角和是360°，
∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°.
故答案为：60°.
【分析】利用外角和360°除以6就可求出正六边形一个外角的度数.
9．2022年5月15日4时40分，我国自主研发的极目一号III型科学考察浮空艇升高至海拔9032m，将9032用科学记数法表示为 .
【答案】9.032×103
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：9032=9.032×103.
故答案为：9.032×103.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
10．方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=（-2）2-4m=4-4m=0，
解得：m=1.
故答案为：1.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此建立不等式，求解可得m的值.
11．学校要从王静，李玉两同学中选拔一人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话，体育知识和旅游知识.并将成绩依次按4∶3∶3计分. 两人的各项选拔成绩如右表所示，则最终胜出的同学是 .
普通话
体育知识
旅游知识
王静
80
90
70
李玉
90
80
70
【答案】李玉
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：王静得分：80×4+90×3+70×34+3+3=80（分）
李玉得分：90×4+80×3+70×34+3+3=81（分）
∵81分＞80分，
∴最终胜出的同学是李玉.
故答案为：李玉.
【分析】利用普通话得分×权重+体育知识得分×权重+旅游知识得分×权重的和除以权重的和，分别求出王静、李玉的得分，然后进行比较即可判断.
12．一次函数y=ax+2的图象经过点(1，0).当y>0时，x的取值范围是 .
【答案】x<1
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的图象
【解析】【解答】解：把(1，0)代入一次函数y=ax+2，得
a+2=0，
解得：a=-2，
∴y=-2x+2，
当y>0时，即-2x+2>0，
解得：x<1.
故答案为：x<1.
【分析】将（1，0）代入y=ax+2中可得a的值，据此可得一次函数的解析式，然后令y>0，可得关于x的一元一次不等式，求解即可.
13．如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在AmB 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为 °.
【答案】32
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=12∠O=32°.
故答案为：32.
【分析】连接OA，根据切线的性质可得∠PAO=90°，则根据三角形的内角和求出∠O的度数，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠C的度数.
14．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如下图所示：
马第一步往外跳，可能的落点为A，B，C，D、E、F点，
第二步往回跳，但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短，
比如，第一步马跳到A点位置，第二步在从A点跳到G点位置，此时落点与出发点的距离最短为2.
故答案为：2.
【分析】马第一步往外跳，可能的落点为A，B，C，D、E、F点，若第一步马跳到A点位置，第二步从A点跳到G点位置，结合勾股定理可得最短距离.
15．已知a=2m2−mn，b=mn−2n2，c=m2−n2(m≠n) 用“＜”表示a、b、c的大小关系为 .
【答案】b
【解析】【解答】解：由题意可知：a−b=(2m2−mn)−(mn−2n2)=(m2+n2−2mn)+m2+n2=(m−n)2+m2+n2，
∵m≠n，
∴(m−n)2+m2+n2>0，
∴b
∴(m−n2)2+34n2>0
∴c
16．如图上，ΔABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为 .
【答案】2或12
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图，作DE//BC，OF⊥BC，OG⊥AB，连接OB，则OD⊥AC，
∵DE//BC，
∴∠OBF=∠BOE
∵O为ΔABC的内心，
∴∠OBF=∠OBE，
∴∠BOE=∠OBE
∴BE=OE，
同理，CD=OD，
∴DE=CD+BE，
AB=BC2+AC2=62+82=10
∵O为ΔABC的内心，
∴OF=OD=OG=CD，
∴BF=BG，AD=AG
∴AB=BG+AG=BC−CD+AC−CD=6−CD+8−CD=10
∴CD=2
②如图，作DE⊥AB，
由①知，BE=4，AE=6，
∵∠ACB=∠AED，∠CAB=∠EAD
∴ΔABC∼ΔADE
∴ABAC=ADAE
∴AD=AB⋅AEAC=10×68=152
∴CD=AC−AD=8−152=12
∵DE=AD2−AE2=(152)2−62=92
∴DE=BE+CD=4+12=92
∴CD=12
故答案为：2或12.
【分析】作DE∥BC，OF∥BC，OG∥AB，连接OB，则OD⊥AC，由平行线的性质得∠OBF=∠BOE，根据内心的概念可得∠OBF=∠OBE，推出BE=OE，同理可得CD=OD，则DE=CD+BE，利用勾股定理可得AB，根据内心的概念可得OF=OD=OG=CD，则BF=BG，AD=AC，AB=BG+AG=6-CD+8-CD=10，据此可得CD的值；作DE⊥AB，则BE=4，AE=6，易证△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质可得AD的值，由CD=AC-AD可得AD，利用勾股定理可得DE，由DE=BE+CD就可求出CD的值.
三、解答题
17．计算：
（1）计算：18−3×23；
（2）按要求填空：
小王计算2xx2−4−1x+2的过程如下：
解：2xx2−4−1x+2
=2x(x+2)(x−2)−1x+2−−−−−−−第一步=2x(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)−−第二步
=2x−x−2(x+2)(x−2)−−−−−−−−−−−第三步=x−2(x+2)(x−2)−−−−−−−−−−−第四步=x−2x+2−−−−−−−−−−−−−−−−第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
【答案】（1）解：原式=32−3×63=32−323=22；
（2）因式分解；三和五；1x−2
【知识点】分式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（2）由题意可知：
2xx2−4−1x+2
=2x(x+2)(x−2)−1x+2−−−−−−−第一步=2x(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)−−第二步
=2x−x−2(x+2)(x−2)−−−−−−−−−−−第三步=x+2(x+2)(x−2)−−−−−−−−−−−第四步=1x-2−−−−−−−−−−−−−−−−第五步
故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为1x−2.
故答案为：因式分解，第三步和第五步，1x−2.
【分析】（1）首先将第一个二次根式化为最简二次根式，同时根据二次根式的乘法法则计算二次根式的乘法最后合并同类二次根式即可；
（2）将第一个分式的分母利用平方差公式进行分解，然后进行通分，再结合同分母分式减法法则进行计算，最后约分化简即可.
18．农业、工业和服务业统称为“三产”，2021年泰州市“三产”总值增长率在全省排名第一.观察下列两幅统计图，回答问题.
（1）2017—2021年农业产值增长率的中位数是 %﹔若2019年“三产”总值为5200亿元，则2020年服务业产值比2019年约增加 亿元（结果保留整数）.
（2）小亮观察折线统计图后认为：这五年中，每年服务业产值都比工业产值高，你同意他的说法吗?请结合扇形统计图说明你的理由.
【答案】（1）2.8；96
（2）解：不同意，理由是：从折线统计图看，每年服务业产值的增长率都比工业产值的增长率高，因为不知道每年的具体数量和占当年的百分比，所以这五年中，每年服务业产值都比工业产值高是错误的，例如：从扇形统计图看，2019年服务业产值占“三产”的比重为45%，工业产值占“三产”的比重为49%，服务业产值低于工业产值，
∴每年服务业产值都比工业产值高是错误的.
【知识点】扇形统计图；折线统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）∵2017—2021年农业产值增长率按照从小到大排列为：
2.3%，2.7%，2.8%，2.8%，3.0%，
∴中位数为2.8%，
2019年服务业产值为：5200×45%＝2340（亿元），
2020年服务业产值比2019年约增加：2340×4.1%＝95.94≈96（亿元）；
故答案为：2.8，96；
【分析】（1）将2017—2021年农业产值增长率按照从小到大的顺序进行排列，找出最中间的数据即为中位数；利用2019年“三产”总值乘以服务业所占的比例可得2019年服务业产值，利用2019年服务业产值乘以4.1%可得2020年服务业产值比2019年增加的钱数；
（2）由于不知道每年的具体数量和占当年的百分比，故无法计算出每年的服务业产值，据此判断.
19．即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热，小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同.用列表或画树状图的方法，列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率.
【答案】解：列表如下：
C
D
E
A
AC
AD
AE
B
BC
BD
BE
∵由表可知共有6种等可能的结果数，其中恰好经过通道A与通道D的结果有1种，
∴P(恰好经过通道A与通道D)=16.
答：他恰好经过通道A与通道D的概率为16.
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】列出表格，找出总情况数以及恰好经过通道A与通道D的情况数，然后根据概率公式进行计算.
20．如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？
【答案】解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)
答：道路的宽应为4米.
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设道路的宽应为x米，则草坪的长为(50-2x)m，宽为(38-2x)m，然后根据草坪的面积为1260m2可列出关于x的方程，求解即可.
21．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.
【答案】（1）证明：∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线，
∴D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴线段DF与EF也为△ABC的中位线，
∴DF∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分.
（2）解：当AF=12BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下：
∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若▱ADFE为矩形，则AF=DE，
∴当AF=12BC时，四边形ADFE为矩形.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由题意可得D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则线段DF与EF都为△ABC的中位线，根据中位线的性质可得DF∥AC，EF∥AB，推出四边形ADFE是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线互相平分可得结论；
（2）根据中位线的性质可得DE=12BC，由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若平行四边形ADFE为矩形，则AF=DE，据此解答.
22．小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56， tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
【答案】解：过M点作ME⊥MN交CD于E点，如下图所示：
∵C点在M点正下方，
∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，
∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，
∴四边形AMCB为矩形，
∴MC=AB=8，AB∥CM，
∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°，
∵地面上的点D经过平面镜MN反射后落在点C，结合物理学知识可知：
∴∠NME=90°，
∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°，
∴∠CMD=56°，
在Rt△CMD中，tan∠CMD=CDCM，代入数据：1.48=CD8，
∴CD=11.84≈11.8m，
即水平地面上最远处D到小强的距离CD是11.8m.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，由题意可得∠MCD=90°，四边形AMCB为矩形，根据矩形的性质可得MC=AB=8，AB∥CM，由平行线的性质可得∠BNM+∠NMC=180°，结合∠BNM的度数可得∠NMC的度数，易得∠NME=90°，则∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=28°，∠CMD=56°，然后根据三角函数的概念就可求出CD.
23．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒
（1）如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.
【答案】（1）解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：
当t=2.5时，BE=2.5，
∵EF=10，
∴OE=12EF=5，
∴OB=2.5，
∴EB=OB，
在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，
∴△MBE≌△MBO(SAS)，
∴ME=MO，
∴ME=EO=MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM=60°，
∴ME=60π×5180=5π3.
（2）解：连接GO和HO，如下图所示：
∵∠GOH=90°，
∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠AOG+∠AGO=90°，
∴∠AGO=∠BOH，
在△AGO和△OBH中，∠AGO=∠BOH∠GAO=∠HBO=90∘OG=OH，
∴△AGO≌△BOH(AAS)，
∴AG=OB=BE-EO=t-5，
∵AB=7，
∴AE=BE-AB=t-7，
∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，
∴(t-5)2+(12-t)2=52，
解得：t1=8，t2=9，
即t的值为8或9秒.
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）设BC与⊙O交于点M，当t=2.5时，BE=2.5，OE=12EF=5，OB=2.5，则EB=OB，根据正方形的性质可得∠EBM=∠OBM=90°，证明△MBE≌△MBO，得到ME=MO，推出△MOE是等边三角形，则∠EOM=60°，然后结合弧长公式进行计算；
（2）连接GO和HO，根据同角的余角相等得∠AGO=∠BOH，证△AGO≌△BOH，得AG=OB=t-5，易得AE=BE-AB=t-7，AO=EO-AE=12-t，在Rt△AGO中，利用勾股定理可得t的值，据此解答.
24．如图，二次函数y1=x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2=kx(x>0)的图象相交于点B(3，1).
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当y1随x的增大而增大且y1
【答案】（1）解：∵二次函数y1=x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2=kx(x>0)的图象相交于点B(3，1)，
∴32+3m+1=1，k3=1，
解得m=−3，k=3，
∴二次函数的解析式为y1=x2−3x+1，反比例函数的解析式为y2=3x(x>0)；
（2）32≤x<3
（3）解：由题意作图如下：
∵当x=0时，y1=1，
∴A(0，1)，
∵B(3，1)，
∴ΔACE的CE边上的高与ΔBDE的DE边上的高相等，
∵ΔACE与ΔBDE的面积相等，
∴CE=DE，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当x=32时，y2=2，
∴E(32，2).
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）∵二次函数的解析式为y1=x2−3x+1，
∴对称轴为直线x=32，
由图象知，当y1随x的增大而增大且y1
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴，然后根据图象，找出二次函数图象在对称轴右侧、且在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）画出示意图，易得A（0，1），根据△ACE与△BDE的面积相等可得CE=DE，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，令反比例函数解析式中的x=32，求出y的值，据此可得点E的坐标.
25．已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.
（1）如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
（2）在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于12CD•AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴DEAB=CDCB，
∵AB=5，BD=9，DC=6，
∴DE5=66+9，
∴DE=2；
（2）解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
如图所示：点F即为所求，
（3）解：直线BC与⊙F相切，理由如下：
作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，
∵∠DFA=∠A，
∴四边形ABRF是等腰梯形，
∴AB=FR，
∵△FBC的面积等于12CD•AB，
∴S△CFB=S△CFR=12AB⋅CD=12FR⋅CD，
∴CD⊥DF，
∵FD是⊙F的半径，
∴直线BC与⊙F相切.
【知识点】三角形的面积；切线的判定；相似三角形的判定与性质；作图-平行线；作图-角
【解析】【分析】（1）易证△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出DE的长；
（2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，易得四边形ABRF是等腰梯形，则AB=FR，根据S△CFB=S△CFR可得CD⊥DF，据此证明.
26．定义：对于一次函数y1=ax+b、y2=cx+d ，我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y1、y2的“组合函数”.
（1）若m=3，n=1，试判断函数y=5x+2是否为函数y1=x+1，y2=2x−1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图象相交于点P.
①若m+n>1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：y=5x+2是函数y1=x+1，y2=2x−1的“组合函数”，
理由：由函数y1=x+1，y2=2x−1的“组合函数”为：y=m(x+1)+n(2x−1)，
把m=3，n=1代入上式，得y=3(x+1)+(2x−1)=5x+2，
∴函数y=5x+2是函数y1=x+1，y2=2x−1的“组合函数”；
（2）解：①解方程组y=x−p−2y=−x+3p得x=2p+1y=p−1，
∵ 函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图象相交于点P，
∴点P的坐标为(2p+1，p−1)，
∵y1、y2的“组合函数”为y=m(x−p−2)+n(−x+3p)， ∴y=(m−n)x+3pn−mp−2m，
∵m+n>1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，
∴p−1＞(m−n)(2p+1)+3pn−mp−2m，整理，得p−1＞(m+n)(p−1)，
∴p−1<0，p<1，
∴ p的取值范围为p<1；
②存在，理由如下：
∵函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P.
∴将点P的坐标(2p+1，p−1)代入“组合函数”y=(m−n)x+3pn−mp−2m，得
p−1=(m−n)(2p+1)+3pn−mp−2m，
∴p−1=(m+n)(p−1)，
∵p≠1，
∴m+n=1，n=1−m，
将n=1−m代入y=(m−n)x+3pn−mp−2m=(2m−1)x+3p−4pm−2m，
把y=0代入y=(2m−1)x+3p−4pm−2m，得(2m−1)x+3p−4pm−2m=0
解得：x=p(−3+4m)+2m2m−1，
设−3+4m=0，则m=34，
∴x=2×342×34−1=3
∴Q(3，0)，
∴对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）由题意可得函数y1与y2的“组合函数”为y=m(x+1)+n(2x-1)，把m=3，n=1代入并化简即可；
（2）① 联立两一次函数解析式表示出x、y，可得P（2p+1，p-1），由题意可得y1与y2的“组合函数”为y=m(x-p-2)+n(-x+3p)=(m-n)x+3pn-mp-2m，由题意可得p-1>(m-n)(2p+1)+3pn-mp-2m，化简并结合不等式的性质可得p的范围；
②将（2p+1，p-1）代入y=(m-n)x+3pn-mp-2m中并化简可得p-1=(m+n)(p-1)，则m+n=1，将n=1-m代入y=(m-n)x+3pn-mp-2m中可得y=(2m-1)x+3p-4pm-2m，令y=0，求出x，据此不难求出点Q的坐标.
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