2019年江苏省泰州市中考数学试卷-(解析版)

2019年江苏省泰州市中考数学试卷试题解析

一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）

1．（3分）﹣1的相反数是（　　）

A．±1 B．﹣1 C．0 D．1

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．

【解答】解：﹣1的相反数是：1．

故选：D．

【点评】本题主要相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是﹣a．

2．（3分）如图图形中的轴对称图形是（　　）

A．    B．      C．     D．

【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．

【解答】解：A、不是轴对称图形；

B、是轴对称图形；

C、不是轴对称图形；

D、不是轴对称图形；

故选：B．

【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．（3分）方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（　　）

A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3

【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．

【解答】解：由于△＞0，

∴x1+x2＝﹣3，

故选：C．

【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．

4．（3分）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：

若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（　　）

A．20 B．300 C．500 D．800

【分析】随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．

【解答】解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，

所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5＝500次，

故选：C．

【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度不大．

5．（3分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　）

A．点D B．点E C．点F D．点G

【分析】根据三角形三条中线相交于一点，这一点叫做它的重心，据此解答即可．

【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，

∴点D是△ABC重心．

故选：A．

【点评】本题主要考查了三角形的重心的定义，属于基础题意，比较简单．

6．（3分）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3

【分析】将代数式4a2﹣6ab+3b变形后，整体代入可得结论．

【解答】解：4a2﹣6ab+3b，

＝2a（2a﹣3b）+3b，

＝﹣2a+3b，

＝﹣（2a﹣3b），

＝1，

故选：B．

【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）

7．（3分）计算：（π﹣1）0＝　1　．

【分析】根据零指数幂意义的即可求出答案．

【解答】解：原式＝1，

故答案为：1

【点评】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义，本题属于基础题型．

8．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是　x≠　．

【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：根据题意得，2x﹣1≠0，

解得x≠．

故答案为：x≠．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

9．（3分）2019年5月28日，我国“科学”号远洋科考船在最深约为11000m的马里亚纳海沟南侧发现了近10片珊瑚林．将11000用科学记数法表示为　1.1×104　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将11000用科学记数法表示为：1.1×104．

故答案为：1.1×104．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

10．（3分）不等式组的解集为　x＜﹣3．　．

【分析】求出不等式组的解集即可．

【解答】解：等式组的解集为x＜﹣3，

故答案为：x＜﹣3．

【点评】本题考查了不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．

11．（3分）八边形的内角和为　1080　°．

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．

【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．

故答案为：1080°．

【点评】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．

12．（3分）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是　真命题　（填“真命题”或“假命题”）．

【分析】根据三角形内角和定理判断即可．

【解答】解：三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题；

故答案为：真命题

【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．

13．（3分）根据某商场2018年四个季度的营业额绘制成如图所示的扇形统计图，其中二季度的营业额为1000万元，则该商场全年的营业额为　5000　万元．

【分析】用二季度的营业额÷二季度所占的百分比即可得到结论．

【解答】解：该商场全年的营业额为1000÷（1﹣25%﹣35%﹣20%）＝5000万元，

答：该商场全年的营业额为 5000万元，

故答案为：5000．

【点评】本题考查了扇形统计图，正确的理解扇形统计图中的信息是解题的关键．

14．（3分）若关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＜1　．

【分析】利用判别式的意义得到△＝22﹣4m＞0，然后解关于m的不等式即可．

【解答】解：根据题意得△＝22﹣4m＞0，

解得m＜1．

故答案为m＜1．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

15．（3分）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为　6π　cm．

【分析】直接利用弧长公式计算即可．

【解答】解：该莱洛三角形的周长＝3×＝6π（cm）．

故答案为6π．

【点评】本题考查了弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了等边三角形的性质．

16．（3分）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为　y＝x　．

【分析】连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD＝90°，求得∠PAC＝∠PBD，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，

则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，

∵PA⊥BC，

∴∠PAC＝90°，

∴∠PAC＝∠PBD，

∴△PAC∽△PBD，

∴，

∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，

∴＝，

∴y＝x，

故答案为：y＝x．

【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

三、解答题（本大题共有10题，共102分）

17．（12分）（1）计算：（﹣）×；

（2）解方程：+3＝．

【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；

（2）先去分母得到整式方程，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．

【解答】解：（1）原式＝﹣

＝4﹣

＝3；

（2）去分母得2x﹣5+3（x﹣2）＝3x﹣3，

解得 x＝4，

检验：当x＝4时，x﹣2≠0，x＝4为原方程的解．

所以原方程的解为x＝4．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了分式方程．

18．（8分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物，它对人体健康和大气环境造成不良影响，下表是根据《全国城市空气质量报告》中的部分数据制作的统计表．根据统计表回答下列问题，

2017年、2018年7～12月全国338个地级及以上市PM2.5平均浓度统计表

（单位：μg/m3）

（1）2018年7～12月PM2.5平均浓度的中位数为　　μg/m3；

（2）“扇形统计图”和“折线统计图”中，更能直观地反映2018年7～12月PM2.5平均浓度变化过程和趋势的统计图是　折线统计图　；

（3）某同学观察统计表后说：“2018年7～12月与2017年同期相比，空气质量有所改善”，请你用一句话说明该同学得出这个结论的理由．

【分析】（1）根据中位数的定义解答即可；

（2）根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；

（3）观察统计表，根据统计表中的数据特点解答即可．

【解答】解：（1）2018年7～12月PM2.5平均浓度的中位数为＝μg/m3；

故答案为：；

（2）可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是折线统计图，

故答案为：折线统计图；

（3）2018年7～12月与2017年同期相比PM2.5平均浓度下降了．

【点评】本题考查了统计图的选择，利用统计图的特点选择是解题关键．

19．（8分）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．

【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．

【解答】解：画树状图如下

由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中B、D两个项目的只有1种情况，

所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

20．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．

（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．

【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．

（2）设AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

【解答】解：（1）如图直线MN即为所求．

（2）∵MN垂直平分线段AB，

∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，

在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，

∴x2＝42+（8﹣x）2，

解得x＝5，

∴BD＝5．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21．（10分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：

（1）观众区的水平宽度AB；

（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）

【分析】（1）根据坡度的概念计算；

（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．

【解答】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，

∴AB＝2BC＝20（m），

答：观众区的水平宽度AB为20m；

（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，

则四边形MFBC、MCDN为矩形，

∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，

在Rt△END中，tan∠EDN＝，

则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，

∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），

答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）求tan∠ABC．

【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，将A（1，0）代入解析式来求a的值．

（2）由锐角三角函数定义解答．

【解答】解：（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，（a≠0）．

把A（1，0）代入，得0＝a（1﹣4）2﹣3，

解得a＝．

故该二次函数解析式为y＝（x﹣4）2﹣3；

（2）令x＝0，则y＝（0﹣4）2﹣3＝．则OC＝．

因为二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），A（1，0），则点B与点A关系直线x＝4对称，

所以B（7，0）．

所以OB＝7．

所以tan∠ABC＝＝＝，即tan∠ABC＝．

【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数关系式以及解直角三角形．解题时，充分利用了二次函数图象的对称性质．

23．（10分）小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100kg，超过300kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/kg．图中折线表示批发单价y（元/kg）与质量x（kg）的函数关系．

（1）求图中线段AB所在直线的函数表达式；

（2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？

【分析】（1）设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b，运用待定系数法即可求解；

（2）设小李共批发水果m吨，则单价为﹣0.01m+6，根据“单价、数量与总价的关系列方程解答即可”．

【解答】解：（1）设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b，根据题意得

，解得，

∴线段AB所在直线的函数表达式为y＝﹣0.01x+6（100≤x≤300）；

（2）设小李共批发水果m吨，则单价为﹣0.01m+6，

根据题意得：﹣0.01m+6＝，

解得m＝200或400，

经检验，x＝200，x＝400（不合题意，舍去）都是原方程的根．

答：小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200千克．

【点评】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．

24．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．

【分析】（1）连接OC，由AC为⊙O的直径，得到∠ADC＝90°，根据＝，得到AD＝CD，根据平行线的性质得到∠CDE＝∠DCA＝45°，求得∠ODE＝90°，于是得到结论；

（2）根据勾股定理得到AD＝CD＝5，由圆周角定理得到∠ABC＝90°，求得BC＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）DE与⊙O相切，

理由：连接OD，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∵D为的中点，

∴＝，

∴AD＝CD，

∴∠ACD＝45°，

∵OA是AC的中点，

∴∠ODC＝45°，

∵DE∥AC，

∴∠CDE＝∠DCA＝45°，

∴∠ODE＝90°，

∴DE与⊙O相切；

（2）∵⊙O的半径为5，

∴AC＝10，

∴AD＝CD＝5，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，

∵AB＝8，

∴BC＝6，

∵∠BAD＝∠DCE，

∵∠ABD＝∠CDE＝45°，

∴△ABD∽△CDE，

∴＝，

∴＝，

∴CE＝．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，光杆司令，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

25．（12分）如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．

（1）求证：△AEP≌△CEP；

（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；

（3）求△AEF的周长．

【分析】（1）四边形APCD正方形，则DP平分∠APC，PC＝PA，∠APD＝∠CPD＝45°，即可求解；

（2）△AEP≌△CEP，则∠EAP＝∠ECP，而∠EAP＝∠BAP，则∠BAP＝∠FCP，又∠FCP+∠CMP＝90°，则∠AMF+∠PAB＝90°即可求解；

（3）证明△PCN≌△APB（AAS），则 CN＝PB＝BF，PN＝AB，即可求解．

【解答】解：（1）证明：∵四边形APCD正方形，

∴DP平分∠APC，PC＝PA，

∴∠APD＝∠CPD＝45°，

∴△AEP≌△CEP（AAS）；

（2）CF⊥AB，理由如下：

∵△AEP≌△CEP，

∴∠EAP＝∠ECP，

∵∠EAP＝∠BAP，

∴∠BAP＝∠FCP，

∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，

∴∠AMF+∠PAB＝90°，

∴∠AFM＝90°，

∴CF⊥AB；

（3）过点 C 作CN⊥PB．

∵CF⊥AB，BG⊥AB，

∴FC∥BN，

∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，

又AP＝CP，

∴△PCN≌△APB（AAS），

∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，

∵△AEP≌△CEP，

∴AE＝CE，

∴AE+EF+AF

＝CE+EF+AF

＝BN+AF

＝PN+PB+AF

＝AB+CN+AF

＝AB+BF+AF

＝2AB

＝16．

【点评】本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等等知识点，其中（3），证明△PCN≌△APB（AAS），是本题的关键．

26．（14分）已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）．

（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．

①求m，k的值；

②直接写出当y1＞y2时x的范围；

（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C．

①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；

②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交与点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．

【分析】（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2，将点A的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；②由图象可以直接看出；

（2）①BD＝2+n﹣m，BC＝m﹣n，由BD＝BC得：2+n﹣m＝m﹣n，即可求解；②点E的坐标为（，m），d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），即可求解．

【解答】解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2，

将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12；

②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；

（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n），

则BD＝2+n﹣m，BC＝m﹣n，

由BD＝BC得：2+n﹣m＝m﹣n，

即：m﹣n＝1；

②点E的坐标为（，m），

d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），

当1﹣＝0时，d为定值，

此时k＝1，d＝1．

【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、函数定值的求法，关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解．