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2023年江苏省泰州市中考数学试卷（含解析）
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这是一份2023年江苏省泰州市中考数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省泰州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算 (−2)2等于( )
A. ±2 B. 2 C. 4 D. 2
2. 书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感.下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 若a≠0，下列计算正确的是( )
A. (−a)0=1 B. a6÷a3=a2 C. a−1=−a D. a6−a3=a3
4. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P.下列说法正确的是( )
A. 试验次数越多，f越大
B. f与P都可能发生变化
C. 试验次数越多，f越接近于P
D. 当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
5. 函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是( )
x
1
2
4
y
4
2
1
A. y=ax+b(a<0) B. y=ax(a<0)
C. y=ax2+bx+c(a>0) D. y=ax2+bx+c(a<0)
6. 菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为( )
A. 3− 3 B. 2− 3 C. 3−1 D. 2 3−2
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7. 函数y=1x−2中，自变量x的取值范围是______ ．
8. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.常温下CaCO3的溶度积约为0.0000000028，将数据0.0000000028用科学记数法表示为______ ．
9. 两个相似图形的周长比为3：2，则面积比为______ ．
10. 若2a−b+3=0，则2(2a+b)−4b的值为______ ．
11. 半径为5cm的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为______ cm．
12. 七(1)班40名同学上周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示，设这组数据的中位数为m h，则m ______ 2.6.(填“>”“=”“<”)
13. 关于x的一元二次方程x2+2x−1=0的两根之和为______ ．
14. 二次函数y=x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是______ .(填一个值即可)
15. 小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下.则该城堡的外围直径为______ 里.
16. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角(0°<α<75°)，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E.若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
(1)计算：(x+3y)2−(x+3y)(x−3y)．
(2)解方程：x2x−1=2−31−2x．
18. (本小题8.0分)
如图是我国2019～2022年汽车销售情况统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的______ %(精确到1%)；这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是______ 年；
(2)小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年高.你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
19. (本小题8.0分)
某校组织学生去敬老院表演节目，表演形式有舞蹈、情景剧和唱歌3种类型.小明、小丽2人积极报名参加，从3种类型中随机挑选一种类型.求小明、小丽选择不同类型的概率．
20. (本小题8.0分)
如图，CD是五边形ABCDE的一边，若AM垂直平分CD，垂足为M，且______ ，______ ，则______ ．
给出下列信息：①AM平分∠BAE；②AB=AE；③BC=DE.请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．
21. (本小题10.0分)
阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式，函数后提出如下问题：如何求不等式x2−x−6<0的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1方程x2−x−6=0的两根为x1=−2，x2=3，可得函数y=x2−x−6的图象与x轴的两个交点横坐标为−2、3，画出函数图象，观察该图象在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2−x−6<0的解集．
方法2不等式x2−x−6<0可变形为x2
任务：
(1)不等式x2−x−6<0的解集为______ ；
(2)3种方法都运用了______ 的数学思想方法(从下面选项中选1个序号即可)；
A.分类讨论
B.转化思想
C.特殊到一般
D.数形结合
(3)请你根据方法3的思路，画出函数图象的简图，并结合图象作出解答．
22. (本小题10.0分)
如图，堤坝AB长为10m，坡度i为1：0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD.小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′.求堤坝高及山高DE.(sin26°35′≈0.45,cos26°35′≈0.89,tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1m)
23. (本小题10.0分)
某公司的化工产品成本为30元/千克.销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元.考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售.一次性销售利润y(元)与一次性销售量x(千克)的函数关系如图所示．
(1)当一次性销售800千克时利润为多少元？
(2)求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润；
(3)当一次性销售多少千克时利润为22100元？
24. (本小题10.0分)
如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD= 2AB，小天用该A4纸玩折纸游戏．
游戏1折出对角线BD，将点B翻折到BD上的点E处，折痕AF交BD于点G.展开后得到图①，发现点F恰为BC的中点．
游戏2在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H处；再展开并连接GH后得到图②，发现∠AGH是一个特定的角．
(1)请你证明游戏1中发现的结论；
(2)请你猜想游戏2中∠AGH的度数，并说明理由．
25. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点A(m,0)、B(m−a,0)(a>m>0)的位置和函数y1=mx(x>0)、y2=m−ax(x<0)的图象如图所示.以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y1的图象相交于点E，CD边与函数y1、y2的图象分别相交于点G、H，一次函数y3的图象经过点E、G，与y轴相交于点P，连接PH．
(1)若m=2，a=4，求函数y3的表达式及△PGH的面积；
(2)当a、m在满足a>m>0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y2的图象上？并说明理由．
26. (本小题14.0分)
已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为AB所对的圆周角．
知识回顾
(1)如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C=135°．
①求∠C的度数；
②若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长；
逆向思考
(2)如图②，若P为圆内一点，且∠APB<120°，PA=PB，∠APB=2∠C.求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在(2)的条件下，若∠APB=90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动.点D在⊙P上，满足CD= 2CB−CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变.请证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： (−2)2=2．
故选：B．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】A
【解析】解：A.(−a)0=1(a≠0)，故此选项符合题意；
B.a6÷a3=a3，故此选项不合题意；
C.a−1=1a，故此选项不合题意；
D.a6与a3无法合并，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用同底数幂的乘法运算法则以及零指数幂的性质、合并同类项法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及零指数幂的性质、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．
故选：D．
根据频率的稳定性解答即可．
本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．
5.【答案】B
【解析】解：由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，
故选：B．
根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，
连接AC，BD相交于点O，BC与C′D′交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴∠CAB=30°=∠CAD，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵AB=2，
∴DO=1，AO= 3DO= 3，
∴AC=2 3，
∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，
∴∠D′AB=30°，AD=AD′=2，
∴A，D′，C三点共线，
∴CD′=CA−AD′=2 3−2，
又∵∠ACB=30°，
∴D′E= 3−1，
CE= 3D′E=3− 3，
∵重叠部分的面积=△ABC的面积−△D′EC的面积，
∴重叠部分的面积=12×2 3×1−12×( 3−1)×(3− 3)=3− 3；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积=3− 3，
故选：A．
分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，连接AC，BD相交于点O，BC与C′D′交于点E，根据菱形的性质推出AC的长，再根据菱形的性质推出CD′与CE的长，再根据重叠部分的面积=△ABC的面积−△D′EC的面积求解即可．
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积=3− 3．
本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．
7.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
根据分母不为0可得：x−2≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
8.【答案】2.8×10−9
【解析】解：0.0000000028=2.8×10−9．
故答案为：2.8×10−9．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9.【答案】9：4
【解析】解：∵两个相似图形，其周长之比为3：2，
∴其相似比为3：2，
∴其面积比为9：4．
故答案为：9：4．
由两个相似图形，其周长之比为3：2，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．
10.【答案】−6
【解析】解：2(2a+b)−4b
=4a+2b−4b
=4a−2b
=2(2a−b)，
∵2a−b+3=0，
∴2a−b=−3，
∴原式=2×(−3)=−6．
故答案为：−6．
直接利用整式的加减运算法则化简，进而把已知代入得出答案．
此题主要考查了整式的加减—化简求值，正确合并同类项是解题关键．
11.【答案】2π
【解析】解：由题意得，半径为5cm的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为5cm的圆周长的五分之一，
所以15×2×π×5=2π(cm)，
故答案为：2π．
根据正多边形和圆的性质，计算半径为5cm的圆周长的五分之一即可．
本题考查正多边形和圆，掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键．
12.【答案】<
【解析】解：因为有40个数据，中位数应是数据有小到大排列第20、21个数据的平均数，
由频数分布直方图可知：第1−5组的人数分别为5，7，12，9，7，
所以第20、21个数据都在第3组，即2.0～2.5，这两个数的平均数一定小于2.6，
故答案为：<．
根据中位数的意义解答即可．
本题考查频数分布直方图，中位数的概念，能从频数分布直方图中获取有用信息，明确中位数的确定方法是解题的关键．
13.【答案】−2
【解析】解：x2+2x−1=0，
x1+x2=−ba=−21=−2，
故答案为：−2．
解一元二次方程得出x的值，再进行相加，从而取得最终答案．
本题主要考查了根与系数的关系．
14.【答案】−3(答案不唯一)
【解析】解：设二次函数y=x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x1x2，
即二元一次方程x2+3x+n=0的根为x1x2，
由根与系数的关系得：x1+x2=−3，x1⋅x2=n，
∵一次函数y=x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，
∴x1，x2为异号，
∴n<0，
故答案为：−3(答案不唯一)．
根据根与系数的关系即可求解．
本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．
15.【答案】9
【解析】解：如图，⊙O表示圆形城堡，
由题意知：AB切圆于D，BC切圆于C，连接OD，
∴OD⊥AB，OC⊥BC，BD=BC=9里，
∵AD=6里，
∴AB=AD+BD=15里，
∴AC= AB2−BC2=12，
∵tanA=ODAD=BCAC，
∴OD6=912，
∴OD=4.5(里)．
∴城堡的外围直径为2OD=9(里)．
故答案为：9．
由AB切圆于D，BC切圆于C，连接OD，得到OD⊥AB，OC⊥BC，BD=BC=9里，由勾股定理求出AC= AB2−BC2=12，由tanA=ODAD=BCAC，求出OD=4.5(里)，即可得到答案．
本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，由锐角的正切得到ODAD=BCAC，求出OD长即可．
16.【答案】22.5°或45°
【解析】解：由折叠得：∠ACD=∠A′CD=α=12∠ACA′，∠A=∠A′=30°，
分三种情况：当A′D=A′E时，
∴∠A′DE=∠A′ED=12(180°−∠A′)=75°，
∵∠A′ED是△ACE的一个外角，
∴∠ACE=∠A′ED−∠A=45°，
∴∠ACD=∠A′CD=α=12∠ACE=22.5°；
当DA′=DE时，
∴∠A′=∠DEA′=30°，
∵∠DEA′是△ACE的一个外角，
∴∠DEA′>30°，
∴此种情况不成立；
当ED=EA′时，如图：
∴∠EDA′=∠A′=30°，
∴∠DEA′=180°−∠EDA′−∠A′=120°，
∵∠A′ED是△ACE的一个外角，
∴∠ACE=∠A′ED−∠A=90°，
∴∠ACD=∠A′CD=α=12∠ACE=45°；
综上所述：若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或45°，
故答案为：22.5°或45°．
根据折叠的性质可得：∠ACD=∠A′CD=α=12∠ACA′，∠A=∠A′=30°，然后分三种情况：当A′D=A′E时；当DA′=DE时；当ED=EA′时；分别进行计算即可解答．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换(折叠问题)，分三种情况讨论是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(x+3y)2−(x+3y)(x−3y)
=x2+6xy+9y2−(x2−9y2)
=x2+6xy+9y2−x2+9y2
=6xy+18y2；
(2)x2x−1=2−31−2x，
方程两边都乘2x−1，得x=2(2x−1)+3，
解得：x=−13，
检验：当x=−13时，2x−1≠0，
所以分式方程的解是x=−13．
【解析】(1)先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；
(2)方程两边都乘2x−1得出x=2(2x−1)+3，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．
18.【答案】26 2022
【解析】解：(1)2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：688.72686.4×100%≈26%，
2021年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：3522627.5×100%≈13%，
2020年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：136.72531×100%≈5%，
2019年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：120.62577×100%≈5%，
∴这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是2022年．
故答案为：26，2022年；
(2)不同意．理由如下：
2022年新能源汽车销售量的增长率为：688.7−352352×100%≈96%，
2021年新能源汽车销售量的增长率为：352−136.7136.7×100%≈157%，
∴2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年低．
(1)将图中数据分别计算2019～2022年我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比即可求解；
(2)求出2021、2022年新能源汽车销售量的增长率即可求解．
本题主要考查了条形统计图，折线统计图，准确从统计图获取信息是解题的关键．
19.【答案】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中小明、小丽选择不同类型的有6种，
所以小明、小丽选择不同类型的概率为69=23．
【解析】用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
20.【答案】② ③ ①
【解析】证明：根据题意补全图形如图所示：
∵AM垂直平分CD，
∴CM=DM，AC=AD(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)，
在△ACM与△ADM中，
AM=AMAC=ADCM=DM，
∴△ACM≌△ADM(SSS)，
∴∠CAM=∠DAM，
在△ABC与△AED中，
AB=AEAC=ADBC=ED，
∴△ABC≌△AED(SSS)，
∴∠BAC=∠EAD，
又∵∠CAM=∠DAM，
∴∠BAC+∠CAM=∠EAD+∠DAM，
即∠BAM=∠EAM=12∠BAE，
∴AM平分∠BAE．
故答案为：②③①．
根据题意补全图形，连接AC、AD，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得出AC=AD，在求证三角形全等得出角相等，求得∠BAM=∠EAM，进而得出结论AM平分∠BAE．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是本题的解题关键．
21.【答案】−2
得x1=−2，x2=3，
∴函数y=x2−x−6的图象与x轴的两个交点横坐标为−2、3，
画出二次函数y=x2−x−6的大致图象(如图所示)，
由图象可知：当−2
故答案为：D；
(3)当x=0时，不等式一定成立；当x>0时，不等式变为x−1<6x；当x<0时，不等式变为x−1>6x．
画出函数y=x−1和函数y=6x的大致图象如图：
当x>0时，不等式x−1<6x的解集为06x的解集为−2
∴不等式x2−x−6<0的解集为：−2
(2)依据解答过程体现的数学思想方法解答即可；
(3)画出函数y=x−1和函数y=6x的大致图象，结合图象即可求得．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．
22.【答案】解：过B作BH⊥AE于H，
∵坡度i为1：0.75，
∴设BH=4x，AH=3x，
∴AB= AH2+BH2=5x=10，
∴x=2，
∴AH=6，BH=8，
过B作BF⊥CE于F，
则EF=BH=8，BF=EH，
设DF=a，
∵α=26°35′．
∴BF=DFtan26∘35′=a0.5=2a，
∴AE=6+2a，
∵坡度i为1：0.75，
∴CE：AE=(20+a+8)：(6+2a)=1：0.75，
∴a=12，
∴DF=12(米)，
∴DE=CD+DF+EF=20+12+8=40(米)，
答：堤坝高为8米，山高为DE40米．
【解析】过B作BH⊥AE于H，设BH=4x，AH=3x，根据勾股定理得到AB= AH2+BH2=5x=10，求得AH=6，BH=8，过B作BF⊥CE于F，则EF=BH=8，BF=EH，设DF=a，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−俯角仰角，解直角三角形的应用−坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意，当x=800时，y=800×(50−30)=800×20=16000，
∴当一次性销售800千克时利润为16000元；
(2)设一次性销售量在1000～1750kg之间时，销售价格为50−30−0.01(x−1000)=−0.01x+30，
∴y=x(−0.01x+30)=−0.01x2+30x=−0.01(x2−3000)=−0.01(x−1500)2+22500，
∵−0.01<0，1000≤x≤1750，
∴当x=1500时，y有最大值，最大值为22500，
∴一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润为22500元；
(3)由(2)知，当x=1750时，y=−0.01(1750−1500)2+22500=16250<22100，
∴当一次性销售量在1000～1750kg之间时，利润为22100元，
∴−0.01(x−1500)2+22500=22100，
解得x1=1700，x2=1300，
∴当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元．
【解析】(1)用销售量×利润计算即可；
(2)根据一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元求出销售单价，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
(3)根据(2)中解析式，令y=22100，解方程即可．
本题考查二次函数的应用，关键是根据题意确定二次函数解析式．
24.【答案】(1)证明：由折叠的性质可得AF⊥BD，
∴∠AGB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BAG=∠ADB=∠GBF，
∵AD= 2AB，
设AB=a，则AD= 2a，BD= 3a，
∴sin∠BAG=sin∠ADB，
即BGAB=ABBD，
∴BGa=a 3a，
解得BG= 33a，
根据勾股定理可得AG= 63a，
cos∠GBF=cos∠BAG，
即BGBF=AGAB，
∴ 33aBF= 63aa．
解得BF= 22a，
∵BC=AD= 2a，
∴BF=12BC，
∴点F为BC的中点．
(2)解：∠AGH=120°，理由如下：
连接HF，如图：
由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH，BF=HF，
∴∠GBH=∠FBH，∠FBH=∠FHB，
∴∠GBH=∠BHF，
∴BD//HF，
∴∠DGH=∠GHF，
由(1)知AF⊥BD，可得AF⊥HF，
∴∠AGD=90°，
设AB=a，则AD= 2a=BC，BF=HF= 22a，
∴BG= 33a，
∴GF= 66a，
在Rt△GFH中，tan∠GHF=GFHF= 66a 22a= 33，
∴∠GFH=30°，
∴∠DGH=30°，
∴∠AGH=∠AGD+∠DGH=90°+30°=120°．
【解析】(1)由折叠的性质可得AF⊥BD，根据题意可得∠BAG=∠ADB=∠GBF，再设AB=a，然后表示出AD、BD，再由锐角三角函数求出BF即可；
(2)由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH，BF=HF，从而可得出∠GBH=∠BHF，进而得到BD//HF，∠DGH=∠GHF，由(1)知AF⊥BD，可得AF⊥HF，在Rt△GFH中求出∠GHF的正切值即可解答．
本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题关键．
25.【答案】(1)∵m=2，a=4，
∴点A(2,0)，B(−2,0)，y1=2x，y2=−2x，
∴点E(2,1)，G(12,4)，H(−12,4)，
∵一次函数y3的图象经过点E、G，
∴设y3=kx+b，则
2k+b=112k+b=4，
∴k=−2b=5，
∴函数y3的表达式为y3=−2x+5，
∴P(0,5)，
∴PM=OP−OM=1，
∴S△PGH=12×HG×PM=12×1×1=12．
(2)∵点A(m,0)，B(m−a,0)，y1=mx，y2=m−ax，
∴点E(m,1)，G(ma,a)，H(m−aa,a)，
设y3=k1x+b1，则
k1m+b1=1k1ma+b1=a，
∴b1=a+1，
∴P(0,a+1)，
∴PM=OP−OM=1，
∴S△PGH=12×HG×PM=12×(ma−m−aa)×1=12．
∴当a、m在满足a>m>0的条件下任意变化时，△PGH的面积不变化．
(3)设直线PH与BC边的交点为N，设直线PH为y=k2x+a+1，代入H(m−aa,a)，得k2(m−a)a+a+1=a，
∴k2=aa−m，
∴y=aa−mx+a+1，
当x=m−a时，y=1，
∴N(m−a,1)，
∴点N在y2=m−ax(x<0)的图象上．
【解析】(1)先确定E、G两个点的坐标，再利用待定系数法求出函数y3的表达式，进而求出点P的坐标，结合H点求△PGH的面积；
(2)按(1)的思路求解；
(3)用a，m表示直线PH与BC边的交点，验证是否在函数y2的图象上．
本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，难在用字母表示，计算繁琐易出错．
26.【答案】(1)解：①∵∠AOB+∠C=135°，∠AOB=2∠C，
∴3∠C=135°，
∴∠C=45°．
②连接AB，过A作AD⊥BC，垂足为M，
∵∠C=45°，AC=8，
∴△ACM是等腰直角三角形，且AM=CM=4 2，
∵∠AOB=2∠C=90°，OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB= 2OA=5 2，
在直角三角形ABM中，BM= AB2−AM2=3 2，
∴BC=CM+BM=4 2+3 2=7 2．
(2)延长AP交圆于点N，则∠C=∠N，
∵∠APB=2∠C，
∴∠APB=2∠N，
∵∠APB=∠N+∠PBN，
∴∠N=∠PBN，
∴PN=PB，
∵PA=PB，
∴PA=PB=PN，
∴P为该圆的圆心．
(3)过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，
∵∠APB=90°，
∴∠C=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=BC，
∵BP⊥AF，PA=PF，
∴BA=BF，
∵AF是直径，
∴∠ABF=90°，
∴∠EBC=∠ABF=90°，
∴∠EBA=∠CBF，
∴△EBA≌△CBF(SAS)，
∴AE=CF，
∵CD= 2CB−CA=CE−CA=AE，
∴CD=CF，
∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求．
．
【解析】(1)①根据∠AOB+∠C=135°，结合圆周角定理求∠C的度数；
②构造直角三角形；
(2)只要说明点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可；
(3)根据CD= 2CB−CA，构造一条线段等于 2CB−CA，利用三角形全等来说明此线段和CD相等．
本题考查了圆周角定理，并对圆周角定理的逆命题进行了创新，还考查了解直角三角形和三角形全等的知识，对于(3)构造一条线段等于 2CB−CA是关键．
2023年江苏省泰州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算 (−2)2等于( )
A. ±2 B. 2 C. 4 D. 2
2. 书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感.下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 若a≠0，下列计算正确的是( )
A. (−a)0=1 B. a6÷a3=a2 C. a−1=−a D. a6−a3=a3
4. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P.下列说法正确的是( )
A. 试验次数越多，f越大
B. f与P都可能发生变化
C. 试验次数越多，f越接近于P
D. 当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
5. 函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是( )
x
1
2
4
y
4
2
1
A. y=ax+b(a<0) B. y=ax(a<0)
C. y=ax2+bx+c(a>0) D. y=ax2+bx+c(a<0)
6. 菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为( )
A. 3− 3 B. 2− 3 C. 3−1 D. 2 3−2
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7. 函数y=1x−2中，自变量x的取值范围是______ ．
8. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.常温下CaCO3的溶度积约为0.0000000028，将数据0.0000000028用科学记数法表示为______ ．
9. 两个相似图形的周长比为3：2，则面积比为______ ．
10. 若2a−b+3=0，则2(2a+b)−4b的值为______ ．
11. 半径为5cm的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为______ cm．
12. 七(1)班40名同学上周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示，设这组数据的中位数为m h，则m ______ 2.6.(填“>”“=”“<”)
13. 关于x的一元二次方程x2+2x−1=0的两根之和为______ ．
14. 二次函数y=x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是______ .(填一个值即可)
15. 小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下.则该城堡的外围直径为______ 里.
16. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角(0°<α<75°)，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E.若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
(1)计算：(x+3y)2−(x+3y)(x−3y)．
(2)解方程：x2x−1=2−31−2x．
18. (本小题8.0分)
如图是我国2019～2022年汽车销售情况统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的______ %(精确到1%)；这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是______ 年；
(2)小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年高.你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
19. (本小题8.0分)
某校组织学生去敬老院表演节目，表演形式有舞蹈、情景剧和唱歌3种类型.小明、小丽2人积极报名参加，从3种类型中随机挑选一种类型.求小明、小丽选择不同类型的概率．
20. (本小题8.0分)
如图，CD是五边形ABCDE的一边，若AM垂直平分CD，垂足为M，且______ ，______ ，则______ ．
给出下列信息：①AM平分∠BAE；②AB=AE；③BC=DE.请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．
21. (本小题10.0分)
阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式，函数后提出如下问题：如何求不等式x2−x−6<0的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1方程x2−x−6=0的两根为x1=−2，x2=3，可得函数y=x2−x−6的图象与x轴的两个交点横坐标为−2、3，画出函数图象，观察该图象在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2−x−6<0的解集．
方法2不等式x2−x−6<0可变形为x2
任务：
(1)不等式x2−x−6<0的解集为______ ；
(2)3种方法都运用了______ 的数学思想方法(从下面选项中选1个序号即可)；
A.分类讨论
B.转化思想
C.特殊到一般
D.数形结合
(3)请你根据方法3的思路，画出函数图象的简图，并结合图象作出解答．
22. (本小题10.0分)
如图，堤坝AB长为10m，坡度i为1：0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD.小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′.求堤坝高及山高DE.(sin26°35′≈0.45,cos26°35′≈0.89,tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1m)
23. (本小题10.0分)
某公司的化工产品成本为30元/千克.销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元.考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售.一次性销售利润y(元)与一次性销售量x(千克)的函数关系如图所示．
(1)当一次性销售800千克时利润为多少元？
(2)求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润；
(3)当一次性销售多少千克时利润为22100元？
24. (本小题10.0分)
如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD= 2AB，小天用该A4纸玩折纸游戏．
游戏1折出对角线BD，将点B翻折到BD上的点E处，折痕AF交BD于点G.展开后得到图①，发现点F恰为BC的中点．
游戏2在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H处；再展开并连接GH后得到图②，发现∠AGH是一个特定的角．
(1)请你证明游戏1中发现的结论；
(2)请你猜想游戏2中∠AGH的度数，并说明理由．
25. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点A(m,0)、B(m−a,0)(a>m>0)的位置和函数y1=mx(x>0)、y2=m−ax(x<0)的图象如图所示.以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y1的图象相交于点E，CD边与函数y1、y2的图象分别相交于点G、H，一次函数y3的图象经过点E、G，与y轴相交于点P，连接PH．
(1)若m=2，a=4，求函数y3的表达式及△PGH的面积；
(2)当a、m在满足a>m>0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y2的图象上？并说明理由．
26. (本小题14.0分)
已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为AB所对的圆周角．
知识回顾
(1)如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C=135°．
①求∠C的度数；
②若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长；
逆向思考
(2)如图②，若P为圆内一点，且∠APB<120°，PA=PB，∠APB=2∠C.求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在(2)的条件下，若∠APB=90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动.点D在⊙P上，满足CD= 2CB−CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变.请证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： (−2)2=2．
故选：B．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】A
【解析】解：A.(−a)0=1(a≠0)，故此选项符合题意；
B.a6÷a3=a3，故此选项不合题意；
C.a−1=1a，故此选项不合题意；
D.a6与a3无法合并，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用同底数幂的乘法运算法则以及零指数幂的性质、合并同类项法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及零指数幂的性质、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．
故选：D．
根据频率的稳定性解答即可．
本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．
5.【答案】B
【解析】解：由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，
故选：B．
根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，
连接AC，BD相交于点O，BC与C′D′交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴∠CAB=30°=∠CAD，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵AB=2，
∴DO=1，AO= 3DO= 3，
∴AC=2 3，
∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，
∴∠D′AB=30°，AD=AD′=2，
∴A，D′，C三点共线，
∴CD′=CA−AD′=2 3−2，
又∵∠ACB=30°，
∴D′E= 3−1，
CE= 3D′E=3− 3，
∵重叠部分的面积=△ABC的面积−△D′EC的面积，
∴重叠部分的面积=12×2 3×1−12×( 3−1)×(3− 3)=3− 3；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积=3− 3，
故选：A．
分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，连接AC，BD相交于点O，BC与C′D′交于点E，根据菱形的性质推出AC的长，再根据菱形的性质推出CD′与CE的长，再根据重叠部分的面积=△ABC的面积−△D′EC的面积求解即可．
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积=3− 3．
本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．
7.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
根据分母不为0可得：x−2≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
8.【答案】2.8×10−9
【解析】解：0.0000000028=2.8×10−9．
故答案为：2.8×10−9．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9.【答案】9：4
【解析】解：∵两个相似图形，其周长之比为3：2，
∴其相似比为3：2，
∴其面积比为9：4．
故答案为：9：4．
由两个相似图形，其周长之比为3：2，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．
10.【答案】−6
【解析】解：2(2a+b)−4b
=4a+2b−4b
=4a−2b
=2(2a−b)，
∵2a−b+3=0，
∴2a−b=−3，
∴原式=2×(−3)=−6．
故答案为：−6．
直接利用整式的加减运算法则化简，进而把已知代入得出答案．
此题主要考查了整式的加减—化简求值，正确合并同类项是解题关键．
11.【答案】2π
【解析】解：由题意得，半径为5cm的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为5cm的圆周长的五分之一，
所以15×2×π×5=2π(cm)，
故答案为：2π．
根据正多边形和圆的性质，计算半径为5cm的圆周长的五分之一即可．
本题考查正多边形和圆，掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键．
12.【答案】<
【解析】解：因为有40个数据，中位数应是数据有小到大排列第20、21个数据的平均数，
由频数分布直方图可知：第1−5组的人数分别为5，7，12，9，7，
所以第20、21个数据都在第3组，即2.0～2.5，这两个数的平均数一定小于2.6，
故答案为：<．
根据中位数的意义解答即可．
本题考查频数分布直方图，中位数的概念，能从频数分布直方图中获取有用信息，明确中位数的确定方法是解题的关键．
13.【答案】−2
【解析】解：x2+2x−1=0，
x1+x2=−ba=−21=−2，
故答案为：−2．
解一元二次方程得出x的值，再进行相加，从而取得最终答案．
本题主要考查了根与系数的关系．
14.【答案】−3(答案不唯一)
【解析】解：设二次函数y=x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x1x2，
即二元一次方程x2+3x+n=0的根为x1x2，
由根与系数的关系得：x1+x2=−3，x1⋅x2=n，
∵一次函数y=x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，
∴x1，x2为异号，
∴n<0，
故答案为：−3(答案不唯一)．
根据根与系数的关系即可求解．
本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．
15.【答案】9
【解析】解：如图，⊙O表示圆形城堡，
由题意知：AB切圆于D，BC切圆于C，连接OD，
∴OD⊥AB，OC⊥BC，BD=BC=9里，
∵AD=6里，
∴AB=AD+BD=15里，
∴AC= AB2−BC2=12，
∵tanA=ODAD=BCAC，
∴OD6=912，
∴OD=4.5(里)．
∴城堡的外围直径为2OD=9(里)．
故答案为：9．
由AB切圆于D，BC切圆于C，连接OD，得到OD⊥AB，OC⊥BC，BD=BC=9里，由勾股定理求出AC= AB2−BC2=12，由tanA=ODAD=BCAC，求出OD=4.5(里)，即可得到答案．
本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，由锐角的正切得到ODAD=BCAC，求出OD长即可．
16.【答案】22.5°或45°
【解析】解：由折叠得：∠ACD=∠A′CD=α=12∠ACA′，∠A=∠A′=30°，
分三种情况：当A′D=A′E时，
∴∠A′DE=∠A′ED=12(180°−∠A′)=75°，
∵∠A′ED是△ACE的一个外角，
∴∠ACE=∠A′ED−∠A=45°，
∴∠ACD=∠A′CD=α=12∠ACE=22.5°；
当DA′=DE时，
∴∠A′=∠DEA′=30°，
∵∠DEA′是△ACE的一个外角，
∴∠DEA′>30°，
∴此种情况不成立；
当ED=EA′时，如图：
∴∠EDA′=∠A′=30°，
∴∠DEA′=180°−∠EDA′−∠A′=120°，
∵∠A′ED是△ACE的一个外角，
∴∠ACE=∠A′ED−∠A=90°，
∴∠ACD=∠A′CD=α=12∠ACE=45°；
综上所述：若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或45°，
故答案为：22.5°或45°．
根据折叠的性质可得：∠ACD=∠A′CD=α=12∠ACA′，∠A=∠A′=30°，然后分三种情况：当A′D=A′E时；当DA′=DE时；当ED=EA′时；分别进行计算即可解答．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换(折叠问题)，分三种情况讨论是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(x+3y)2−(x+3y)(x−3y)
=x2+6xy+9y2−(x2−9y2)
=x2+6xy+9y2−x2+9y2
=6xy+18y2；
(2)x2x−1=2−31−2x，
方程两边都乘2x−1，得x=2(2x−1)+3，
解得：x=−13，
检验：当x=−13时，2x−1≠0，
所以分式方程的解是x=−13．
【解析】(1)先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；
(2)方程两边都乘2x−1得出x=2(2x−1)+3，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．
18.【答案】26 2022
【解析】解：(1)2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：688.72686.4×100%≈26%，
2021年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：3522627.5×100%≈13%，
2020年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：136.72531×100%≈5%，
2019年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：120.62577×100%≈5%，
∴这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是2022年．
故答案为：26，2022年；
(2)不同意．理由如下：
2022年新能源汽车销售量的增长率为：688.7−352352×100%≈96%，
2021年新能源汽车销售量的增长率为：352−136.7136.7×100%≈157%，
∴2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年低．
(1)将图中数据分别计算2019～2022年我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比即可求解；
(2)求出2021、2022年新能源汽车销售量的增长率即可求解．
本题主要考查了条形统计图，折线统计图，准确从统计图获取信息是解题的关键．
19.【答案】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中小明、小丽选择不同类型的有6种，
所以小明、小丽选择不同类型的概率为69=23．
【解析】用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
20.【答案】② ③ ①
【解析】证明：根据题意补全图形如图所示：
∵AM垂直平分CD，
∴CM=DM，AC=AD(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)，
在△ACM与△ADM中，
AM=AMAC=ADCM=DM，
∴△ACM≌△ADM(SSS)，
∴∠CAM=∠DAM，
在△ABC与△AED中，
AB=AEAC=ADBC=ED，
∴△ABC≌△AED(SSS)，
∴∠BAC=∠EAD，
又∵∠CAM=∠DAM，
∴∠BAC+∠CAM=∠EAD+∠DAM，
即∠BAM=∠EAM=12∠BAE，
∴AM平分∠BAE．
故答案为：②③①．
根据题意补全图形，连接AC、AD，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得出AC=AD，在求证三角形全等得出角相等，求得∠BAM=∠EAM，进而得出结论AM平分∠BAE．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是本题的解题关键．
21.【答案】−2
得x1=−2，x2=3，
∴函数y=x2−x−6的图象与x轴的两个交点横坐标为−2、3，
画出二次函数y=x2−x−6的大致图象(如图所示)，
由图象可知：当−2
故答案为：D；
(3)当x=0时，不等式一定成立；当x>0时，不等式变为x−1<6x；当x<0时，不等式变为x−1>6x．
画出函数y=x−1和函数y=6x的大致图象如图：
当x>0时，不等式x−1<6x的解集为0
∴不等式x2−x−6<0的解集为：−2
(2)依据解答过程体现的数学思想方法解答即可；
(3)画出函数y=x−1和函数y=6x的大致图象，结合图象即可求得．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．
22.【答案】解：过B作BH⊥AE于H，
∵坡度i为1：0.75，
∴设BH=4x，AH=3x，
∴AB= AH2+BH2=5x=10，
∴x=2，
∴AH=6，BH=8，
过B作BF⊥CE于F，
则EF=BH=8，BF=EH，
设DF=a，
∵α=26°35′．
∴BF=DFtan26∘35′=a0.5=2a，
∴AE=6+2a，
∵坡度i为1：0.75，
∴CE：AE=(20+a+8)：(6+2a)=1：0.75，
∴a=12，
∴DF=12(米)，
∴DE=CD+DF+EF=20+12+8=40(米)，
答：堤坝高为8米，山高为DE40米．
【解析】过B作BH⊥AE于H，设BH=4x，AH=3x，根据勾股定理得到AB= AH2+BH2=5x=10，求得AH=6，BH=8，过B作BF⊥CE于F，则EF=BH=8，BF=EH，设DF=a，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−俯角仰角，解直角三角形的应用−坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意，当x=800时，y=800×(50−30)=800×20=16000，
∴当一次性销售800千克时利润为16000元；
(2)设一次性销售量在1000～1750kg之间时，销售价格为50−30−0.01(x−1000)=−0.01x+30，
∴y=x(−0.01x+30)=−0.01x2+30x=−0.01(x2−3000)=−0.01(x−1500)2+22500，
∵−0.01<0，1000≤x≤1750，
∴当x=1500时，y有最大值，最大值为22500，
∴一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润为22500元；
(3)由(2)知，当x=1750时，y=−0.01(1750−1500)2+22500=16250<22100，
∴当一次性销售量在1000～1750kg之间时，利润为22100元，
∴−0.01(x−1500)2+22500=22100，
解得x1=1700，x2=1300，
∴当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元．
【解析】(1)用销售量×利润计算即可；
(2)根据一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元求出销售单价，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
(3)根据(2)中解析式，令y=22100，解方程即可．
本题考查二次函数的应用，关键是根据题意确定二次函数解析式．
24.【答案】(1)证明：由折叠的性质可得AF⊥BD，
∴∠AGB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BAG=∠ADB=∠GBF，
∵AD= 2AB，
设AB=a，则AD= 2a，BD= 3a，
∴sin∠BAG=sin∠ADB，
即BGAB=ABBD，
∴BGa=a 3a，
解得BG= 33a，
根据勾股定理可得AG= 63a，
cos∠GBF=cos∠BAG，
即BGBF=AGAB，
∴ 33aBF= 63aa．
解得BF= 22a，
∵BC=AD= 2a，
∴BF=12BC，
∴点F为BC的中点．
(2)解：∠AGH=120°，理由如下：
连接HF，如图：
由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH，BF=HF，
∴∠GBH=∠FBH，∠FBH=∠FHB，
∴∠GBH=∠BHF，
∴BD//HF，
∴∠DGH=∠GHF，
由(1)知AF⊥BD，可得AF⊥HF，
∴∠AGD=90°，
设AB=a，则AD= 2a=BC，BF=HF= 22a，
∴BG= 33a，
∴GF= 66a，
在Rt△GFH中，tan∠GHF=GFHF= 66a 22a= 33，
∴∠GFH=30°，
∴∠DGH=30°，
∴∠AGH=∠AGD+∠DGH=90°+30°=120°．
【解析】(1)由折叠的性质可得AF⊥BD，根据题意可得∠BAG=∠ADB=∠GBF，再设AB=a，然后表示出AD、BD，再由锐角三角函数求出BF即可；
(2)由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH，BF=HF，从而可得出∠GBH=∠BHF，进而得到BD//HF，∠DGH=∠GHF，由(1)知AF⊥BD，可得AF⊥HF，在Rt△GFH中求出∠GHF的正切值即可解答．
本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题关键．
25.【答案】(1)∵m=2，a=4，
∴点A(2,0)，B(−2,0)，y1=2x，y2=−2x，
∴点E(2,1)，G(12,4)，H(−12,4)，
∵一次函数y3的图象经过点E、G，
∴设y3=kx+b，则
2k+b=112k+b=4，
∴k=−2b=5，
∴函数y3的表达式为y3=−2x+5，
∴P(0,5)，
∴PM=OP−OM=1，
∴S△PGH=12×HG×PM=12×1×1=12．
(2)∵点A(m,0)，B(m−a,0)，y1=mx，y2=m−ax，
∴点E(m,1)，G(ma,a)，H(m−aa,a)，
设y3=k1x+b1，则
k1m+b1=1k1ma+b1=a，
∴b1=a+1，
∴P(0,a+1)，
∴PM=OP−OM=1，
∴S△PGH=12×HG×PM=12×(ma−m−aa)×1=12．
∴当a、m在满足a>m>0的条件下任意变化时，△PGH的面积不变化．
(3)设直线PH与BC边的交点为N，设直线PH为y=k2x+a+1，代入H(m−aa,a)，得k2(m−a)a+a+1=a，
∴k2=aa−m，
∴y=aa−mx+a+1，
当x=m−a时，y=1，
∴N(m−a,1)，
∴点N在y2=m−ax(x<0)的图象上．
【解析】(1)先确定E、G两个点的坐标，再利用待定系数法求出函数y3的表达式，进而求出点P的坐标，结合H点求△PGH的面积；
(2)按(1)的思路求解；
(3)用a，m表示直线PH与BC边的交点，验证是否在函数y2的图象上．
本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，难在用字母表示，计算繁琐易出错．
26.【答案】(1)解：①∵∠AOB+∠C=135°，∠AOB=2∠C，
∴3∠C=135°，
∴∠C=45°．
②连接AB，过A作AD⊥BC，垂足为M，
∵∠C=45°，AC=8，
∴△ACM是等腰直角三角形，且AM=CM=4 2，
∵∠AOB=2∠C=90°，OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB= 2OA=5 2，
在直角三角形ABM中，BM= AB2−AM2=3 2，
∴BC=CM+BM=4 2+3 2=7 2．
(2)延长AP交圆于点N，则∠C=∠N，
∵∠APB=2∠C，
∴∠APB=2∠N，
∵∠APB=∠N+∠PBN，
∴∠N=∠PBN，
∴PN=PB，
∵PA=PB，
∴PA=PB=PN，
∴P为该圆的圆心．
(3)过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，
∵∠APB=90°，
∴∠C=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=BC，
∵BP⊥AF，PA=PF，
∴BA=BF，
∵AF是直径，
∴∠ABF=90°，
∴∠EBC=∠ABF=90°，
∴∠EBA=∠CBF，
∴△EBA≌△CBF(SAS)，
∴AE=CF，
∵CD= 2CB−CA=CE−CA=AE，
∴CD=CF，
∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求．
．
【解析】(1)①根据∠AOB+∠C=135°，结合圆周角定理求∠C的度数；
②构造直角三角形；
(2)只要说明点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可；
(3)根据CD= 2CB−CA，构造一条线段等于 2CB−CA，利用三角形全等来说明此线段和CD相等．
本题考查了圆周角定理，并对圆周角定理的逆命题进行了创新，还考查了解直角三角形和三角形全等的知识，对于(3)构造一条线段等于 2CB−CA是关键．
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