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广西贵港市2022年中考数学试卷解析版
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这是一份广西贵港市2022年中考数学试卷解析版，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广西贵港市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．-2的倒数是（ ）
A．2 B．12 C．-2 D．−12
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：-2的倒数是−12，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答.
2．一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为有圆心的圆，
故主视图和左视图相同，主视图俯视图和左视图与俯视图都不相同.
故答案为：B.
【分析】主视图就是从几何体的正面看得到的图形，左视图就是从几何体的左面看得到的图形，俯视图就是从几何体的上面看得到的图形，据此分别确定出主视图、左视图、俯视图的形状，即可判断得出答案.
3．一组数据3，5，1，4，6，5的众数和中位数分别是（ ）
A．5，4.5 B．4.5，4 C．4，4.5 D．5，5
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把这组数按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，5，5，6，
第3、4两个数的平均数是4+52=4.5，
所以中位数是4.5，
在这组数据中出现次数最多的是5，即众数是5.
故答案为：A.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数，把这组数按照从小到大的顺序排列，求出中间两个数据的平均数即为中位数.
4．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm.已知1nm=10−9m，则28nm用科学记数法表示是（ ）
A．28×10−9m B．2.8×10−9m
C．2.8×10−8m D．2.8×10−10m
【答案】C
【知识点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解：∵1nm=10−9m，
∴28nm=2.8×10-8m.
故答案为：C.
【分析】根据1nm=10-9m可得：28nm=28×10-9m，然后表示为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式即可.
5．下例计算正确的是（ ）
A．2a−a=2 B．a2+b2=a2b2 C．(−2a)3=8a3 D．(−a3)2=a6
【答案】D
【知识点】同类项；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 2a−a=a，故原选项计算错误，不符合题意；
B、 a2+b2≠a2b2，不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；
C、 (−2a)3=-8a3，故原选项计算错误，不符合题意；
D、 (-a3)2=a6，故原选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断B；积的乘方，先对每一个因式进行乘方，然后将所得的幂相乘，据此判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
6．若点A(a，−1)与点B(2，b)关于y轴对称，则a−b的值是（ ）
A．-1 B．-3 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；有理数的减法
【解析】【解答】解：∵点A(a，−1)与点B(2，b)关于y轴对称，
∴a=-2，b=-1，
∴a-b=-1.
故答案为：A.
【分析】关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得a、b的值，然后根据有理数的减法法则进行计算.
7．若x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，-2 B．0，0 C．-2，-2 D．-2，0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，
∵x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，
把x=−2代入x2+2x+m=0，则
(−2)2+2×(−2)+m=0，
解得：m=0；
∴x2+2x=0，
∴x(x+2)=0，
∴x1=−2，x=0，
∴方程的另一个根是x=0；
故答案为：B.
【分析】将x=-2代入方程中可得m的值，则方程可化为x2+2x=0，利用因式分解法可得方程的解，据此解答.
8．下列命题为真命题的是（ ）
A．a2=a
B．同位角相等
C．三角形的内心到三边的距离相等
D．正多边形都是中心对称图形
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；平行线的性质；三角形的内切圆与内心；中心对称及中心对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：当a<0时，a2=−a，故A为假命题，故A选项错误；
当两直线平行时，同位角才相等，故B为假命题，故B选项错误；
三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故C为真命题，故C选项正确；
等边三角形不是中心对称图形，故D为假命题，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质“a2=a”可判断A；根据平行线的性质可判断B；根据三角形的内心为三角形内切圆的圆心，是三内角角平分线的交点，到三边距离相等，可判断C；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据中心对称图形的概念结合正多边形的性质可判断D.
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB=40°，则∠BPC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°−∠ACB=90°−40°=50°，
∴∠BPC=∠A=50°，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠ABC=90°，∠BPC=∠A，由余角的性质可得∠A=90°-∠ACB=50°，据此解答.
10．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB=16m，则这棵树CD的高度是（ ）
A．8(3−3)m B．8(3+3)m C．6(3−3)m D．6(3+3)m
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴tanB=CDBD，
即：x16−x=3，
解得x=8(3−3).
故答案为：A.
【分析】设CD=x，则CD=AD=x，BD=16-x，然后根据三角函数的概念就可求出x.
11．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ）
A．55 B．105 C．255 D．45
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴AC=5，BC=10，AB=5，
设AD=x，则BD=5−x，
在Rt△ACD中，DC2=AC2−AD2，
在Rt△BCD中，DC2=BC2−BD2，
∴10−(5−x)2=5−x2，
解得x=2，
∴cos∠BAC=ADAC=25=255.
故答案为：C.
【分析】过点C作AB的垂线交AB于一点D，利用勾股定理可得AC、BC、AB的值，设AD=x，则BD=5-x，在Rt△ACD、Rt△BCD中，根据勾股定理可得x，然后根据三角函数的概念进行计算.
12．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，动点E在AB边上（与点A、B均不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF=BE，则下列结论错误的是（ ）
A．DF=CE B．∠BGC=120°
C．AF2=EG⋅EC D．AG的最小值为223
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=12∠BAD=12×(180°−∠ABC)=60°=∠ABC，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，
∴DF=CE，故A项答案正确，
∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60°，
∴∠GCB+∠GBC=60°，
∴∠BGC=180°-60°=180°-（∠GCB+∠GBC）=120°，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴BEGE=CEBE ，
∴BE2=GE·CE，
∵AF=BE，
∴AF2=GE·CE，故C项答案正确，
∵∠BGC=120°，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，
∵△ABC是等边三角形，BC=1，
∴BF⊥AC，AF=12AC=12，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴AG2=(12AG)2+(12)2， 解得AG=33，故D项错误.
故答案为：D.
【分析】易得AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=60°=∠ABC，证△BAF≌△DAF≌△CBE，得△ABC是等边三角形，据此判断A；易得∠ABF=∠BCE，结合∠ABC=∠ABF+∠CBF=60°得∠GCB+∠GBC=60°，结合内角和定理可判断B；易证△BEG∽△CEB，根据相似三角形的性质结合AF=BE可判断C；易知当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，由等边三角形的性质得AF=12AC=12，∠GAF=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AG=2GF，结合勾股定理可得AG，据此判断D.
二、填空题
13．若x+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
【答案】x≥-1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
x+1≥0，
解得x≥−1，
故答案为：x≥-1.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+1≥0，求解即可.
14．因式分解： a3−a= ．
【答案】a(a-1)(a+1)
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）
【分析】观察多项式的特点：含有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
15．从-3，-2，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是 .
【答案】13
【知识点】概率公式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵从-3，-2，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，
∴所有的点为：（-3，-2），（-3，2），（-2，2），（-2，-3），（2，-3），（2，-2），共6个点；在第三象限的点有（-3，-2），（-2，-3），共2个；
∴该点落在第三象限的概率是26=13；
故答案为：13.
【分析】列举出所有可能出现的情况，根据第三象限点的坐标特征：横纵坐标均为负，找出满足题意的情况数，然后结合概率公式计算即可.
16．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°<α<180°)得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD=25°，则旋转角α的度数是 .
【答案】50°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
∵DE⊥AC，∠CAD=25°，
∴∠ADE=90°−25°=65°，
由旋转的性质，则∠B=∠ADE=65°，AB=AD，
∴∠ADB=∠B=65°，
∴∠BAD=180°−65°−65°=50°；
∴旋转角α的度数是50°.
故答案为：50°.
【分析】根据题意可得DE⊥AC，∠CAD=25°，由余角的性质可得∠ADE=65°，根据旋转的性质可得∠B=∠ADE=65°，AB=AD，由等腰三角形的性质可得∠ADB=∠B=65°，然后根据内角和定理进行计算.
17．如图，在▱ABCD中，AD=23AB，∠BAD=45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB=32，则图中阴影部分的面积是 .
【答案】52−π
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD=23AB，∠BAD=45°，AB=32
∴AD=23×32=22
∴DF=ADsin45°=22×22=2 ，
∵AE=AD=22 ，
∴EB=AB−AE=32-22=2 ，
∴S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC
=32×2-45×π×(22)2360−12×2×2
=52−π
故答案为：52−π.
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据已知条件可得AD=22，利用三角函数的概念可得DF，由EB=AB-AE可得EB，然后根据S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC进行计算.
18．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(−2，0)，对称轴为直线x=−12.对于下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③a+b+c=0；④am2+bm<14(a−2b)（其中m≠−12）；⑤若A(x1，y1)和B(x2，y2)均在该函数图象上，且x1>x2>1，则y1>y2.其中正确结论的个数共有 个.
【答案】3
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为：x=−12，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2，0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，
将(1，0)代入函数解析式中可得a+b+c=0，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴a＜0，
又∵抛物线的对称轴在y轴的左边，且抛物线交y轴的正半轴，
∴b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程y=ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式Δ=b2−4ac＞0，故②正确；
将(-2，0)、(1，0)代入函数解析式中可得b=ac=−2a，
∴am2+bm=am2+am=a(m+12)2−14a，14(a−2b)=14(a−2a)=−14a，
∴am2+bm−[14(a−2b)]=a(m+12)2，
∵m≠−12，a＜0，
∴am2+bm−[14(a−2b)]=a(m+12)2＜0，
即am2+bm＜14(a−2b)，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：x=−12，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数y=ax2+bx+c，在x＞−12时，y随x的增大而减小，
∵x1>x2>1＞−12，
∴y1＜y2，故⑤错误，
故正确的有：②③④.
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，将(1，0)代入y=ax2+bx+c中可得a+b+c=0，据此判断③；根据图象可得抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴正半轴，确定出a、b、c的符号，据此判断①；根据抛物线与x轴有两个不同的交点可判断②；将(1，0)、(-2，0)代入函数解析式中可得b=a，c=-2a，表示出am2+bm，14(a-2b)，然后作差即可判断④；根据图象确定出函数的增减性，据此判断⑤.
三、解答题
19．（1）计算：|1−3|+(2022−π)0+(−12)−2−tan60°；
（2）解不等式组：2x−5<0①1−2x−43≤5−x2②
【答案】（1）解：原式=3−1+1+4−3=4
（2）解：解不等式①，得：x<52，
解不等式②，得：x≥−1，
∴不等式组的解集为−1≤x<52.
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值分别化简，然后根据有理数的加法法则以及二次根式的减法法则进行计算；
（2）分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集.
20．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n.求作△ABC，使∠A=90°，AB=m，BC=n.
【答案】解：如图所示：△ABC为所求.
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】首先作直线l及l上一点A，过点A作l的垂线，在l上截取AB=m，然后作BC=n即可.
21．如图，直线AB与反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象相交于点A和点C(3，2)，与x轴的正半轴相交于点B.
（1）求k的值；
（2）连接OA，OC，若点C为线段AB的中点，求△AOC的面积.
【答案】（1）解：∵点C(3，2)在反比例函数y=kx的图象上，
∴2=k3，
∴k=6
（2）解：∵C(3，2)是线段AB的中点，点B在x轴上，
∴点A的纵坐标为4，
∵点A在y=6x(x>0)上，
∴点A的坐标为(32，4)，
∵A(32，4)，C(3，2)，
设直线AC为y=kx+b，则
32k+b=43k+b=2，解得k=−43b=6，
∴直线AC为y=−43x+6，
令y=0，则x=92，
∴点B的坐标为(92，0)，
∴S△AOC=12S△AOB=12×12×92×4=92.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将C（3，2）代入y=kx中进行计算可得k的值；
（2）由题意可得点A的纵坐标为4，代入反比例函数解析式中可得x的值，进而可得点A的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，令y=0，求出x的值，可得点B的坐标，然后根据S△AOC=12S△AOB结合三角形的面积公式进行计算.
22．在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是 ；
（4）若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数.
【答案】（1）90
（2）解：民族体育（C）社团人数为：90−30−10−10−18=22（人），
补全条形统计图如下：
（3）120°
（4）解：该校有2700名学生，本学期参加艺术鉴赏（D）社团活动的学生人数为
2700×1090=300（人）.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：
18÷20%=90（人）.
故答案为：90；
（3）：在扇形统计图中，传统国学（A）社团对应扇形的圆心角度数是
360°×3090=120°.
故答案为：120°；
【分析】（1）利用E的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据各组人数之和等于总人数可求出C的人数，据此可补全条形统计图；
（3）利用A的人数除以总人数，然后乘以360°即可；
（4）利用样本中D的人数除以总人数，然后乘以2700即可.
23．为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同.
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
【答案】（1）解：设绳子的单价为x元，则实心球的单价为(x+23)元，
根据题意，得：84x=360x+23，
解分式方程，得：x=7，
经检验可知x=7是所列方程的解，且满足实际意义，
∴x+23=30，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元.
（2）解：设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，
根据题意，得：7×3m+30m=510，
解得m=10
∴3m=30
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为(x+23)元，用84元购买绳子的数量为84x，用360元购买实心球的数量为360x+23，然后根据数量相同列出方程，求解即可；
（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，根据总费用=实心球的数量×单价+绳子的条数×单价可得关于m的方程，求解即可.
24．图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC=12∠BDC.
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC=6，sinB=45，求⊙O的半径及OD的长.
【答案】（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=AD=12AB，
∴∠CAD=∠ACD，
∵∠BDC=∠CAD+∠ACD=2∠CAD，
又∵∠FAC=12∠BDC，
∴∠BDC=2∠FAC，
∴∠FAC=∠CAB，即AC是∠FAB的平分线，
∵O在AC上，⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，
∵AC平分∠FAB，OH⊥AF，
∴OH=OE，OH是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线.
（2）解：如（1）图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，sinB=ACAB=45，
∴可设AC=4x，AB=5x，
∴(5x)2−(4x)2=62，x=2，
则AC=8，AB=10，
设⊙O的半径为r，则OC=OE=r，
∵∠ACB=∠AEO=90°，∠CAB=∠EAO
∴Rt△AOE∽Rt△ABC，
∴OEAO=BCAB，即r8−r=610，则r=3，
在Rt△AOE中，AO=5，OE=3，
由勾股定理得AE=4，又AD=12AB=5，
∴DE=1，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD=10.
【知识点】角平分线的性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=12AB，由等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ACD，由外角的性质可得∠BDC=2∠CAD，结合∠FAC=12∠BDC，推出∠FAC=∠CAB，根据角平分线的性质可得OH=OE，据此证明；
（2）由三角函数的概念设AC=4x，AB=5x，由勾股定理可得x的值，设半径为r，则OC=OE=r，证明△AOE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得r，在Rt△AOE中，根据勾股定理可得AE=4，据此可得DE，再在Rt△ODE中，利用勾股定理计算即可.
25．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c经过A(0，3)和B(72，−94)两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c经过A(0，3)和B(72，−94)两点，
∴c=3−(72)2+72b+c=−94
解得：b=2，c=3，
∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3
（2）解：∵A(0，3)，B(72，−94)，
∴直线AB表达式为y=−32x+3，
∵直线AB与x轴交于点C，
∴点C的坐标为(2，0)，
∵PD⊥x轴，PE∥x轴，
∴Rt△DPE∽Rt△AOC，
∴PDPE=OAOC=32，
∴PE=23PD，
则PD+PE=PD+23PD=53PD，
设点P的坐标为(m，−m2+2m+3)，其中m>0，
则点D的坐标为(m，−32m+3)，
∵PD=(−m2+2m+3)−(−32m+3)=−(m−74)2+4916，
∴PD+PE=−53(m−74)2+24548，
∵−53<0，
∴当m=74时，PD+PE有最大值，且最大值为24548.
（3）解：P(2，3)，D(2，0)或P(43，359)，D(43，1)
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）解：根据题意，
在一次函数y=−32x+3中，令y=0，则x=2，
∴点C的坐标为（2，0）；
当ΔAOC∽ΔAPD时，如图
此时点D与点C重合，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：y=−22+2×2+3=3，
∴点P的坐标为（2，3）；
当ΔAOC∽ΔDAP时，如图，则AP⊥AB，
设点D(m，−32m+3)，则点P为P(m，−m2+2m+3)，
∴kAP=−m2+2m+3−3m−0=−m+2，
∵AP⊥AB，
∴kAP•kAB=−1，kAB=−32，
∴(−m+2)×(−32)=−1，
∴m=43，
∴点D的坐标为(43，1)，点P的坐标为(43，359)；
∴满足条件的点P，点D的坐标为P(2，3)，D(2，0)或P(43，359)，D(43，1).
【分析】（1）将A、B的坐标代入y=-x2+bx+c中可得b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）用待定系数法求出直线AB的解析式，令y=0，求出x的值，得点C的坐标，易证△DPE∽△AOC，根据相似三角形的性质可得PE=23PD，则PE+PE=53PD，设P（m，-m2+2m+3），则D（m，-32m+3），表示出PD，据此可得PE+PD，然后根据二次函数的性质进行解答；
（3）易得C（2，0），当△AOC∽△APD时，此时点D与点C重合，D（2，0），根据PD⊥x轴得点P的横坐标为2，代入抛物线解析式中求出y，据此可得点P的坐标；当△AOC∽△OAP时，则AP⊥AB，设D（m，-32m+3），则P（m，-m2+2m+3），kAP=-m+2，kAB=-32，然后根据kAP·kAB=-1可得m的值，据此可得点P的坐标.
26．已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l的垂线段，且BD在AC的右侧，BD=2AC，AD与BC相交于点O.
（1）如图1，若连接CD，则△BCD的形状为 ，AOAD的值为 ；
（2）若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE.
①如图2，当AE与AC重合时，连接OE，若AC=32，求OE的长；
②如图3，当∠ACB=60°时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF.求证：OF⊥AB.
【答案】（1）等腰三角形；13
（2）解：①过点E作EF⊥AD于点H，如图所示：
∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴AC//BD，
∵△ADE是等边三角形，且AE与AC重合，
∴∠EAD=60°，
∴∠ADB=∠EAD=60°，
∴∠BAD=30°，
∴在Rt△ADB中，AD=2BD，AB=3BD，
又∵BD=2AC，AC=32，
∴AD=6，AB=33，
∴AH=DH=12AD=3，
又Rt△ADB，
∴EH=AH2+AE2=32+62=33，
又由（1）知AOAD=13，
∴AO=13AD=2，则OH=1，
∴在Rt△EOH中，由勾股定理得：OE=27.
②连接CD，如图3所示：
∵AC//BD，
∴∠CBD=∠ACB=60°，
∵△BCD是等腰三角形，
∴△BCD是等边三角形，
又∵△ADE是等边三角形，
∴△ABD绕点D顺时针旋转60°后与△ECD重合，
∴∠ECD=∠ABD=90°，
又∵∠BCD=∠ACB=60°，
∴∠ACF=∠FCB=∠FBC=30°，
∴FC=FB=2AF，
∴AFAB=AOAD=13，
又∠OAF=∠DAB，
∴△AOF∽△ADB，
∴∠AFO=∠ABD=90°，
∴OF⊥AB.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）过点C作CH⊥BD于H，如图所示：
∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴△BCD的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
∴AODO=ACDB=AC2AC=12，即DO=2AO，
∴AOAD=AOAO+DO=AO3AO=13.
故答案为：等腰三角形，13；
【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，则四边形ABHC是矩形，得到AC=BH，结合BD=2AC可得AC=BH=DH，且CH⊥BD，推出△BCD为等腰三角形，证明△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质可得OD=2AO，据此求解；
（2）①过点E作EF⊥AD于点H，则AC∥BD，易得∠EAD=60°，则∠BAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=2BD，利用勾股定理可得AB=3BD，结合BD=2AC以及AC的值可得AB、AD、AH的值，由勾股定理可得EH，结合（1）的结论可得OH的值，然后在Rt△EOH中，根据勾股定理计算即可；
②连接CD，根据平行线的性质可得∠CBD=∠ACB=60°，推出△BCD是等边三角形，根据旋转的性质可得∠ECD=∠ABD=90°，易得∠ACF=∠FCB=∠FBC=30°，则FC=FB=2AF，证明△AOF∽△ADB，根据相似三角形的性质可得∠AFO=∠ABD=90°，据此证明.
广西贵港市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．-2的倒数是（ ）
A．2 B．12 C．-2 D．−12
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：-2的倒数是−12，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答.
2．一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为有圆心的圆，
故主视图和左视图相同，主视图俯视图和左视图与俯视图都不相同.
故答案为：B.
【分析】主视图就是从几何体的正面看得到的图形，左视图就是从几何体的左面看得到的图形，俯视图就是从几何体的上面看得到的图形，据此分别确定出主视图、左视图、俯视图的形状，即可判断得出答案.
3．一组数据3，5，1，4，6，5的众数和中位数分别是（ ）
A．5，4.5 B．4.5，4 C．4，4.5 D．5，5
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把这组数按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，5，5，6，
第3、4两个数的平均数是4+52=4.5，
所以中位数是4.5，
在这组数据中出现次数最多的是5，即众数是5.
故答案为：A.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数，把这组数按照从小到大的顺序排列，求出中间两个数据的平均数即为中位数.
4．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm.已知1nm=10−9m，则28nm用科学记数法表示是（ ）
A．28×10−9m B．2.8×10−9m
C．2.8×10−8m D．2.8×10−10m
【答案】C
【知识点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解：∵1nm=10−9m，
∴28nm=2.8×10-8m.
故答案为：C.
【分析】根据1nm=10-9m可得：28nm=28×10-9m，然后表示为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式即可.
5．下例计算正确的是（ ）
A．2a−a=2 B．a2+b2=a2b2 C．(−2a)3=8a3 D．(−a3)2=a6
【答案】D
【知识点】同类项；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 2a−a=a，故原选项计算错误，不符合题意；
B、 a2+b2≠a2b2，不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；
C、 (−2a)3=-8a3，故原选项计算错误，不符合题意；
D、 (-a3)2=a6，故原选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断B；积的乘方，先对每一个因式进行乘方，然后将所得的幂相乘，据此判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
6．若点A(a，−1)与点B(2，b)关于y轴对称，则a−b的值是（ ）
A．-1 B．-3 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；有理数的减法
【解析】【解答】解：∵点A(a，−1)与点B(2，b)关于y轴对称，
∴a=-2，b=-1，
∴a-b=-1.
故答案为：A.
【分析】关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得a、b的值，然后根据有理数的减法法则进行计算.
7．若x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，-2 B．0，0 C．-2，-2 D．-2，0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，
∵x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，
把x=−2代入x2+2x+m=0，则
(−2)2+2×(−2)+m=0，
解得：m=0；
∴x2+2x=0，
∴x(x+2)=0，
∴x1=−2，x=0，
∴方程的另一个根是x=0；
故答案为：B.
【分析】将x=-2代入方程中可得m的值，则方程可化为x2+2x=0，利用因式分解法可得方程的解，据此解答.
8．下列命题为真命题的是（ ）
A．a2=a
B．同位角相等
C．三角形的内心到三边的距离相等
D．正多边形都是中心对称图形
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；平行线的性质；三角形的内切圆与内心；中心对称及中心对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：当a<0时，a2=−a，故A为假命题，故A选项错误；
当两直线平行时，同位角才相等，故B为假命题，故B选项错误；
三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故C为真命题，故C选项正确；
等边三角形不是中心对称图形，故D为假命题，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质“a2=a”可判断A；根据平行线的性质可判断B；根据三角形的内心为三角形内切圆的圆心，是三内角角平分线的交点，到三边距离相等，可判断C；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据中心对称图形的概念结合正多边形的性质可判断D.
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB=40°，则∠BPC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°−∠ACB=90°−40°=50°，
∴∠BPC=∠A=50°，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠ABC=90°，∠BPC=∠A，由余角的性质可得∠A=90°-∠ACB=50°，据此解答.
10．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB=16m，则这棵树CD的高度是（ ）
A．8(3−3)m B．8(3+3)m C．6(3−3)m D．6(3+3)m
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴tanB=CDBD，
即：x16−x=3，
解得x=8(3−3).
故答案为：A.
【分析】设CD=x，则CD=AD=x，BD=16-x，然后根据三角函数的概念就可求出x.
11．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ）
A．55 B．105 C．255 D．45
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴AC=5，BC=10，AB=5，
设AD=x，则BD=5−x，
在Rt△ACD中，DC2=AC2−AD2，
在Rt△BCD中，DC2=BC2−BD2，
∴10−(5−x)2=5−x2，
解得x=2，
∴cos∠BAC=ADAC=25=255.
故答案为：C.
【分析】过点C作AB的垂线交AB于一点D，利用勾股定理可得AC、BC、AB的值，设AD=x，则BD=5-x，在Rt△ACD、Rt△BCD中，根据勾股定理可得x，然后根据三角函数的概念进行计算.
12．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，动点E在AB边上（与点A、B均不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF=BE，则下列结论错误的是（ ）
A．DF=CE B．∠BGC=120°
C．AF2=EG⋅EC D．AG的最小值为223
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=12∠BAD=12×(180°−∠ABC)=60°=∠ABC，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，
∴DF=CE，故A项答案正确，
∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60°，
∴∠GCB+∠GBC=60°，
∴∠BGC=180°-60°=180°-（∠GCB+∠GBC）=120°，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴BEGE=CEBE ，
∴BE2=GE·CE，
∵AF=BE，
∴AF2=GE·CE，故C项答案正确，
∵∠BGC=120°，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，
∵△ABC是等边三角形，BC=1，
∴BF⊥AC，AF=12AC=12，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴AG2=(12AG)2+(12)2， 解得AG=33，故D项错误.
故答案为：D.
【分析】易得AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=60°=∠ABC，证△BAF≌△DAF≌△CBE，得△ABC是等边三角形，据此判断A；易得∠ABF=∠BCE，结合∠ABC=∠ABF+∠CBF=60°得∠GCB+∠GBC=60°，结合内角和定理可判断B；易证△BEG∽△CEB，根据相似三角形的性质结合AF=BE可判断C；易知当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，由等边三角形的性质得AF=12AC=12，∠GAF=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AG=2GF，结合勾股定理可得AG，据此判断D.
二、填空题
13．若x+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
【答案】x≥-1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
x+1≥0，
解得x≥−1，
故答案为：x≥-1.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+1≥0，求解即可.
14．因式分解： a3−a= ．
【答案】a(a-1)(a+1)
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）
【分析】观察多项式的特点：含有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
15．从-3，-2，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是 .
【答案】13
【知识点】概率公式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵从-3，-2，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，
∴所有的点为：（-3，-2），（-3，2），（-2，2），（-2，-3），（2，-3），（2，-2），共6个点；在第三象限的点有（-3，-2），（-2，-3），共2个；
∴该点落在第三象限的概率是26=13；
故答案为：13.
【分析】列举出所有可能出现的情况，根据第三象限点的坐标特征：横纵坐标均为负，找出满足题意的情况数，然后结合概率公式计算即可.
16．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°<α<180°)得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD=25°，则旋转角α的度数是 .
【答案】50°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
∵DE⊥AC，∠CAD=25°，
∴∠ADE=90°−25°=65°，
由旋转的性质，则∠B=∠ADE=65°，AB=AD，
∴∠ADB=∠B=65°，
∴∠BAD=180°−65°−65°=50°；
∴旋转角α的度数是50°.
故答案为：50°.
【分析】根据题意可得DE⊥AC，∠CAD=25°，由余角的性质可得∠ADE=65°，根据旋转的性质可得∠B=∠ADE=65°，AB=AD，由等腰三角形的性质可得∠ADB=∠B=65°，然后根据内角和定理进行计算.
17．如图，在▱ABCD中，AD=23AB，∠BAD=45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB=32，则图中阴影部分的面积是 .
【答案】52−π
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD=23AB，∠BAD=45°，AB=32
∴AD=23×32=22
∴DF=ADsin45°=22×22=2 ，
∵AE=AD=22 ，
∴EB=AB−AE=32-22=2 ，
∴S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC
=32×2-45×π×(22)2360−12×2×2
=52−π
故答案为：52−π.
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据已知条件可得AD=22，利用三角函数的概念可得DF，由EB=AB-AE可得EB，然后根据S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC进行计算.
18．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(−2，0)，对称轴为直线x=−12.对于下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③a+b+c=0；④am2+bm<14(a−2b)（其中m≠−12）；⑤若A(x1，y1)和B(x2，y2)均在该函数图象上，且x1>x2>1，则y1>y2.其中正确结论的个数共有 个.
【答案】3
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为：x=−12，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2，0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，
将(1，0)代入函数解析式中可得a+b+c=0，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴a＜0，
又∵抛物线的对称轴在y轴的左边，且抛物线交y轴的正半轴，
∴b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程y=ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式Δ=b2−4ac＞0，故②正确；
将(-2，0)、(1，0)代入函数解析式中可得b=ac=−2a，
∴am2+bm=am2+am=a(m+12)2−14a，14(a−2b)=14(a−2a)=−14a，
∴am2+bm−[14(a−2b)]=a(m+12)2，
∵m≠−12，a＜0，
∴am2+bm−[14(a−2b)]=a(m+12)2＜0，
即am2+bm＜14(a−2b)，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：x=−12，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数y=ax2+bx+c，在x＞−12时，y随x的增大而减小，
∵x1>x2>1＞−12，
∴y1＜y2，故⑤错误，
故正确的有：②③④.
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，将(1，0)代入y=ax2+bx+c中可得a+b+c=0，据此判断③；根据图象可得抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴正半轴，确定出a、b、c的符号，据此判断①；根据抛物线与x轴有两个不同的交点可判断②；将(1，0)、(-2，0)代入函数解析式中可得b=a，c=-2a，表示出am2+bm，14(a-2b)，然后作差即可判断④；根据图象确定出函数的增减性，据此判断⑤.
三、解答题
19．（1）计算：|1−3|+(2022−π)0+(−12)−2−tan60°；
（2）解不等式组：2x−5<0①1−2x−43≤5−x2②
【答案】（1）解：原式=3−1+1+4−3=4
（2）解：解不等式①，得：x<52，
解不等式②，得：x≥−1，
∴不等式组的解集为−1≤x<52.
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值分别化简，然后根据有理数的加法法则以及二次根式的减法法则进行计算；
（2）分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集.
20．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n.求作△ABC，使∠A=90°，AB=m，BC=n.
【答案】解：如图所示：△ABC为所求.
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】首先作直线l及l上一点A，过点A作l的垂线，在l上截取AB=m，然后作BC=n即可.
21．如图，直线AB与反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象相交于点A和点C(3，2)，与x轴的正半轴相交于点B.
（1）求k的值；
（2）连接OA，OC，若点C为线段AB的中点，求△AOC的面积.
【答案】（1）解：∵点C(3，2)在反比例函数y=kx的图象上，
∴2=k3，
∴k=6
（2）解：∵C(3，2)是线段AB的中点，点B在x轴上，
∴点A的纵坐标为4，
∵点A在y=6x(x>0)上，
∴点A的坐标为(32，4)，
∵A(32，4)，C(3，2)，
设直线AC为y=kx+b，则
32k+b=43k+b=2，解得k=−43b=6，
∴直线AC为y=−43x+6，
令y=0，则x=92，
∴点B的坐标为(92，0)，
∴S△AOC=12S△AOB=12×12×92×4=92.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将C（3，2）代入y=kx中进行计算可得k的值；
（2）由题意可得点A的纵坐标为4，代入反比例函数解析式中可得x的值，进而可得点A的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，令y=0，求出x的值，可得点B的坐标，然后根据S△AOC=12S△AOB结合三角形的面积公式进行计算.
22．在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是 ；
（4）若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数.
【答案】（1）90
（2）解：民族体育（C）社团人数为：90−30−10−10−18=22（人），
补全条形统计图如下：
（3）120°
（4）解：该校有2700名学生，本学期参加艺术鉴赏（D）社团活动的学生人数为
2700×1090=300（人）.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：
18÷20%=90（人）.
故答案为：90；
（3）：在扇形统计图中，传统国学（A）社团对应扇形的圆心角度数是
360°×3090=120°.
故答案为：120°；
【分析】（1）利用E的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据各组人数之和等于总人数可求出C的人数，据此可补全条形统计图；
（3）利用A的人数除以总人数，然后乘以360°即可；
（4）利用样本中D的人数除以总人数，然后乘以2700即可.
23．为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同.
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
【答案】（1）解：设绳子的单价为x元，则实心球的单价为(x+23)元，
根据题意，得：84x=360x+23，
解分式方程，得：x=7，
经检验可知x=7是所列方程的解，且满足实际意义，
∴x+23=30，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元.
（2）解：设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，
根据题意，得：7×3m+30m=510，
解得m=10
∴3m=30
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为(x+23)元，用84元购买绳子的数量为84x，用360元购买实心球的数量为360x+23，然后根据数量相同列出方程，求解即可；
（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，根据总费用=实心球的数量×单价+绳子的条数×单价可得关于m的方程，求解即可.
24．图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC=12∠BDC.
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC=6，sinB=45，求⊙O的半径及OD的长.
【答案】（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=AD=12AB，
∴∠CAD=∠ACD，
∵∠BDC=∠CAD+∠ACD=2∠CAD，
又∵∠FAC=12∠BDC，
∴∠BDC=2∠FAC，
∴∠FAC=∠CAB，即AC是∠FAB的平分线，
∵O在AC上，⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，
∵AC平分∠FAB，OH⊥AF，
∴OH=OE，OH是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线.
（2）解：如（1）图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，sinB=ACAB=45，
∴可设AC=4x，AB=5x，
∴(5x)2−(4x)2=62，x=2，
则AC=8，AB=10，
设⊙O的半径为r，则OC=OE=r，
∵∠ACB=∠AEO=90°，∠CAB=∠EAO
∴Rt△AOE∽Rt△ABC，
∴OEAO=BCAB，即r8−r=610，则r=3，
在Rt△AOE中，AO=5，OE=3，
由勾股定理得AE=4，又AD=12AB=5，
∴DE=1，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD=10.
【知识点】角平分线的性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=12AB，由等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ACD，由外角的性质可得∠BDC=2∠CAD，结合∠FAC=12∠BDC，推出∠FAC=∠CAB，根据角平分线的性质可得OH=OE，据此证明；
（2）由三角函数的概念设AC=4x，AB=5x，由勾股定理可得x的值，设半径为r，则OC=OE=r，证明△AOE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得r，在Rt△AOE中，根据勾股定理可得AE=4，据此可得DE，再在Rt△ODE中，利用勾股定理计算即可.
25．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c经过A(0，3)和B(72，−94)两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c经过A(0，3)和B(72，−94)两点，
∴c=3−(72)2+72b+c=−94
解得：b=2，c=3，
∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3
（2）解：∵A(0，3)，B(72，−94)，
∴直线AB表达式为y=−32x+3，
∵直线AB与x轴交于点C，
∴点C的坐标为(2，0)，
∵PD⊥x轴，PE∥x轴，
∴Rt△DPE∽Rt△AOC，
∴PDPE=OAOC=32，
∴PE=23PD，
则PD+PE=PD+23PD=53PD，
设点P的坐标为(m，−m2+2m+3)，其中m>0，
则点D的坐标为(m，−32m+3)，
∵PD=(−m2+2m+3)−(−32m+3)=−(m−74)2+4916，
∴PD+PE=−53(m−74)2+24548，
∵−53<0，
∴当m=74时，PD+PE有最大值，且最大值为24548.
（3）解：P(2，3)，D(2，0)或P(43，359)，D(43，1)
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）解：根据题意，
在一次函数y=−32x+3中，令y=0，则x=2，
∴点C的坐标为（2，0）；
当ΔAOC∽ΔAPD时，如图
此时点D与点C重合，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：y=−22+2×2+3=3，
∴点P的坐标为（2，3）；
当ΔAOC∽ΔDAP时，如图，则AP⊥AB，
设点D(m，−32m+3)，则点P为P(m，−m2+2m+3)，
∴kAP=−m2+2m+3−3m−0=−m+2，
∵AP⊥AB，
∴kAP•kAB=−1，kAB=−32，
∴(−m+2)×(−32)=−1，
∴m=43，
∴点D的坐标为(43，1)，点P的坐标为(43，359)；
∴满足条件的点P，点D的坐标为P(2，3)，D(2，0)或P(43，359)，D(43，1).
【分析】（1）将A、B的坐标代入y=-x2+bx+c中可得b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）用待定系数法求出直线AB的解析式，令y=0，求出x的值，得点C的坐标，易证△DPE∽△AOC，根据相似三角形的性质可得PE=23PD，则PE+PE=53PD，设P（m，-m2+2m+3），则D（m，-32m+3），表示出PD，据此可得PE+PD，然后根据二次函数的性质进行解答；
（3）易得C（2，0），当△AOC∽△APD时，此时点D与点C重合，D（2，0），根据PD⊥x轴得点P的横坐标为2，代入抛物线解析式中求出y，据此可得点P的坐标；当△AOC∽△OAP时，则AP⊥AB，设D（m，-32m+3），则P（m，-m2+2m+3），kAP=-m+2，kAB=-32，然后根据kAP·kAB=-1可得m的值，据此可得点P的坐标.
26．已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l的垂线段，且BD在AC的右侧，BD=2AC，AD与BC相交于点O.
（1）如图1，若连接CD，则△BCD的形状为 ，AOAD的值为 ；
（2）若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE.
①如图2，当AE与AC重合时，连接OE，若AC=32，求OE的长；
②如图3，当∠ACB=60°时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF.求证：OF⊥AB.
【答案】（1）等腰三角形；13
（2）解：①过点E作EF⊥AD于点H，如图所示：
∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴AC//BD，
∵△ADE是等边三角形，且AE与AC重合，
∴∠EAD=60°，
∴∠ADB=∠EAD=60°，
∴∠BAD=30°，
∴在Rt△ADB中，AD=2BD，AB=3BD，
又∵BD=2AC，AC=32，
∴AD=6，AB=33，
∴AH=DH=12AD=3，
又Rt△ADB，
∴EH=AH2+AE2=32+62=33，
又由（1）知AOAD=13，
∴AO=13AD=2，则OH=1，
∴在Rt△EOH中，由勾股定理得：OE=27.
②连接CD，如图3所示：
∵AC//BD，
∴∠CBD=∠ACB=60°，
∵△BCD是等腰三角形，
∴△BCD是等边三角形，
又∵△ADE是等边三角形，
∴△ABD绕点D顺时针旋转60°后与△ECD重合，
∴∠ECD=∠ABD=90°，
又∵∠BCD=∠ACB=60°，
∴∠ACF=∠FCB=∠FBC=30°，
∴FC=FB=2AF，
∴AFAB=AOAD=13，
又∠OAF=∠DAB，
∴△AOF∽△ADB，
∴∠AFO=∠ABD=90°，
∴OF⊥AB.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）过点C作CH⊥BD于H，如图所示：
∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴△BCD的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
∴AODO=ACDB=AC2AC=12，即DO=2AO，
∴AOAD=AOAO+DO=AO3AO=13.
故答案为：等腰三角形，13；
【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，则四边形ABHC是矩形，得到AC=BH，结合BD=2AC可得AC=BH=DH，且CH⊥BD，推出△BCD为等腰三角形，证明△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质可得OD=2AO，据此求解；
（2）①过点E作EF⊥AD于点H，则AC∥BD，易得∠EAD=60°，则∠BAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=2BD，利用勾股定理可得AB=3BD，结合BD=2AC以及AC的值可得AB、AD、AH的值，由勾股定理可得EH，结合（1）的结论可得OH的值，然后在Rt△EOH中，根据勾股定理计算即可；
②连接CD，根据平行线的性质可得∠CBD=∠ACB=60°，推出△BCD是等边三角形，根据旋转的性质可得∠ECD=∠ABD=90°，易得∠ACF=∠FCB=∠FBC=30°，则FC=FB=2AF，证明△AOF∽△ADB，根据相似三角形的性质可得∠AFO=∠ABD=90°，据此证明.
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