2022年广西贵港市中考数学试卷（含解析）

2022年广西贵港市中考数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共36分）

1. 的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是(    )

A. 主视图与俯视图相同
B. 主视图与左视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三个视图完全相同

3. 一组数据，，，，，的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到已知，则用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若点与点关于轴对称，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8. 下列命题为真命题的是(    )

A.  B. 同位角相等
C. 三角形的内心到三边的距离相等 D. 正多边形都是中心对称图形

9. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在边长为的菱形中，，动点在边上与点，均不重合，点在对角线上，与相交于点，连接，，若，则下列结论错误的是(    )

1.  B.
   C.  D. 的最小值为

二．填空题（本题共6小题，共18分）

13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
14. 因式分解：___          ___．
15. 从，，这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是______．
16. 如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是______．

17. 如图，在▱中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是______．

18. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：；；；其中；若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有______个．

三．解答题（本题共8小题，共66分）

19. 计算：；
    解不等式组：
20. 尺规作图保留作图痕迹，不要求写出作法：
    如图，已知线段，求作，使，，．

21. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点和点，与轴的正半轴相交于点．
    求的值；
    连接，，若点为线段的中点，求的面积．

22. 在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学、科技兴趣、民族体育、艺术鉴赏、劳技实践，每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
    
    本次调查的学生共有______人；
    将条形统计图补充完整；
    在扇形统计图中，传统国学对应扇形的圆心角度数是______；
    若该校有名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏活动的学生人数．
23. 为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少元，且元购买绳子的数量与元购买实心球的数量相同．
    绳子和实心球的单价各是多少元？
    如果本次购买的总费用为元，且购买绳子的数量是实心球数量的倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
24. 如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，．
    求证：是的切线；
    若，，求的半径及的长．

25. 如图，已知抛物线经过和两点，直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点．
    求该抛物线的表达式；
    若轴交于点，求的最大值；
    若以，，为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点，点的坐标．

26. 已知：点，均在直线的上方，与都是直线的垂线段，且在的右侧，，与相交于点．
    如图，若连接，则的形状为______，的值为______；
    若将沿直线平移，并以为一边在直线的上方作等边．
    如图，当与重合时，连接，若，求的长；
    如图，当时，连接并延长交直线于点，连接求证：．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．
根据倒数的定义，若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】
解：，
的倒数是．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】解：圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，
所以主视图与左视图相同，
故选：．
根据圆锥的三视图进行判定即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：这组数据中出现的次数最多，故众数为；
这组数据按照从小到大的顺序排列好为：、、、、、，故中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义直接求解即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，
所以
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A错误；
B、与不能合并，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：．
根据合并同类项法则，可判断和；根据积的乘方和幂的乘方，可判断和．
本题考查了合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，根据法则计算是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
，
故选：．
根据两点关于轴对称的点的坐标的特点列出有关、的方程求解即可求得的值．
本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，牢记点的坐标的变化规律是解决此类题目的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设方程的另一根为，
是一元二次方程的一个根，
，
解得，
则，
解得．
故选：．
设方程的另一根为，由根与系数的关系可得到的方程，可求得的值，即可求得方程的另一根．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，原式，故原命题为假命题，此选项不符合题意；
B.当两直线平行时，同位角才相等，故原命题为假命题，此选项不符合题意；
C.三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故原命题为真命题，此选项符合题意；
D.三角形不是中心对称图形，故原命题为假命题，此选项不符合题意，
故选：．
根据判断命题真假的方法即可求解．
本题考查了真假命题的判断，理解三角形内心的概念是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：．
根据直径所对的圆周角是直角得到，进而求出，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
这棵树的高度是米，
故选：．
设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：延长到，连接，如图：

，，，
，
，
，
故选：．
延长到，连接，由网格可得，即得，可求出答案．
本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
≌，
，，故A正确，不符合题意；
，，，
≌，
，
，
，故B正确，不符合题意；
，，
∽，
，
，
，
，故C正确，不符合题意；
以为底边，在的下方作等腰，

，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接，交于，此时最小，是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为，故D错误，符合题意．
故选：．
根据菱形的性质，利用证明≌，可得，故A正确；利用菱形的轴对称知，≌，得，则，故B正确，利用∽，得，且，可得C正确，利用定角对定边可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于，此时最小，是的垂直平分线，利用含角的直角三角形的性质可得的最小值，从而解决问题．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用定边对定角确定点的运动路径是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．

【解答】
解：原式，
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：第三象限的点的坐标需要选两个负数，
该点落在第三象限的概率是，
故答案为：．
根据第三象限的点的坐标需要选两个负数得出结论即可．
本题主要考查概率的知识，根据第三象限的点的坐标需要选两个负数计算概率是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，
，，
，
由旋转的性质可得，，
，
，
旋转角的度数是；
故答案为：．
先求出的度数，然后由旋转的性质和等腰三角形的性质分析求解．
本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

，，，
，
，
，
，


，
故答案为：．
过点作于点，根据等腰直角三角形的性质求得，从而求得，最后由结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．
本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，准确添加辅助线是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个坐标为，
把代入，可得：
，
解得，
，故正确；
抛物线开口方向向下，
，
，，
，故错误；
抛物线与轴两个交点，
当时，方程有两个不相等的实数根，
，故正确；
，
，
，
又，，
，
即其中，故正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
可知二次函数，在时，随的增大而减小，
，
，故错误，
正确的有，共个，
故答案为：．
根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
 

19.【答案】解：原式
；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为． 

【解析】根据绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值解答即可；
分别解出两个不等式，再写出不等式组的解集即可．
本题主要考查了绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，熟练掌握相关的知识是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：如图，为所作．
 

【解析】先在直线上取点，过点作，再在直线上截取，然后以点为圆心，为半径画弧交于，则满足条件．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
解得：；
点是线段的中点，
点的纵坐标为，
点的横坐标为：，
点的坐标为，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
点是线段的中点，
． 

【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出；
求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式，灵活运用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生共有：人，
故答案为：；
社团人数为：人，
补全条形统计图如下：

在扇形统计图中，传统国学对应扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
人，
答：该校本学期参加艺术鉴赏活动的学生人数大约有人．
用社团人数除以即可得出样本容量；
用样本容量分别减去其它社团人数，即可得出社团人数，进而补全条形统计图；
用乘社团人数所占比例即可得出传统国学对应扇形的圆心角度数；
利用样本估计总体即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，掌握两个统计图中数量关系是正确解答的前提．
 

23.【答案】解：设绳子的单价为元，则实心球的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验可知是所列分式方程的解，且满足实际意义，
，
答：绳子的单价为元，实心球的单价为元．
设购买实心球的数量为个，则购买绳子的数量为条，
根据题意，得，
解得，
，
答：购买绳子的数量为条，购买实心球的数量为个． 

【解析】设绳子的单价为元，则实心球的单价为元，根据数量总价单价且元购买绳子的数量与元购买实心球的数量相同，列出分式方程并解答即可；
设购买实心球的数量为个，则购买绳子的数量为条，根据费用等于单价数量列出方程解答即可．
本题考查了分式方程和一元一次方程．，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次方程．
 

24.【答案】证明：如图，作，垂足为，连接，

，是的中点，
，
，
，
又，
，
即是的平分线，
点在上，与相切于点，
，且是的半径，
，是的半径，
是的切线；
解：如图，在中，，，，
可设，，
，
，
则，，
设的半径为，则，
∽，
，
即，
，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：． 

【解析】作，垂足为，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得，再通过导角得出是的平分线，再利用角平分线的性质可得，从而证明结论；
根据，，可得，，设的半径为，则，利用∽，可得的值，再利用勾股定理求出的长．
本题主要考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：将和代入，
，
解得，
该抛物线的解析式为；
设直线的解析式为，把和代入，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
点坐标为，
轴，轴，
，
∽，
，
，
，
设点的坐标为，则点坐标为，
，
，
，
当时，有最大值为；
当∽时，此时点与点重合，
点的坐标为；
轴，
点的横坐标为，
点的纵坐标为：，
点的坐标为；
当∽时，

此时，
过点作于点，
∽，
，
设点的坐标为，则点坐标为，
则，
解得：，
点坐标为，点坐标为，
综上，点的坐标为，点的坐标为或点坐标为，点坐标为． 

【解析】直接利用待定系数法，即可求出解析式；
先求出点的坐标，然后证明∽，再由二次函数的最值性质，求出答案；
根据题意，可分为两种情况进行分析：当∽时；当∽时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．
本题考查了二次函数的图象和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，运用数形结合和分类讨论的思想解题是关键．
 

26.【答案】等腰三角形  

【解析】解：如图，过点作于，

，，，
，
四边形是矩形，
，
又，
，且，
的形状为等腰三角形，
、都垂直于，
∽，
，即，
，
故答案为：等腰三角形，；
如图，过点作于点，

，均是直线的垂线段，
，
是等边三角形，且与重合，
，
，
，
在中，，，
又，，
，，
，，
，
由旋转性质可得，
在中，；
如图，连接，

，
，
是等腰三角形，
是等边三角形，
又是等边三角形，
绕点顺时针旋转后与重合，
，
又，
，
，
，
又，
∽，
，
．
过点作于，可得四边形是矩形，即可求得，进而可判断的形状，、都垂直于，可得∽，根据三角形相似的性质即可求解．
过点作于点，，均是直线的垂线段，可得，根据等边三角形的性质和利用勾股定理即可求解．
连接，通过判定是等边三角形和∽，根据三角形相似的性质即可求证结论．
本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，准确添加辅助线是解题的关键．