2022汕尾高二下学期期末考试数学含答案

汕尾市2021—2022学年度第二学期全市高中二年级教学质量监测

数  学

本试题共5页，考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.

2. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.

3. 答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知为虚数单位，复数满足，则（）

A. 3 B.  C. 5 D.

【答案】D

2. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）

A. 1 B. 2

C. 4 D. 8

【答案】C

3. 为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为（）

A. 9 B. 18 C. 24 D. 27

【答案】B

4. 如图，平行六面体中，为的中点.若，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

5. 函数（且）的图象可以是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

6. 有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的次品率为，丙厂生产的次品率为，生产出来的产品混放在一起．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的、、，任取一件产品，则取得产品为次品的概率是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

7. 点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（）

A. 或 B. 或

C. 或 D. 或

【答案】A

8. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

【答案】D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法中，正确的命题是（）

A. 对于任意两个事件与，如果，则事件与独立

B. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则

C. ，

D. 随机变量服从正态分布，若，则

【答案】AB

10. 直线：与圆：相交于，两点，则（）

A. 直线过定点

B. 时，直线平分圆

C. 时，为等腰直角三角形

D. 时，弦最短

【答案】AD

11. 如图所示，棱长为2的正方体中，为的中点，则下列结论正确的有（）

A. 与所成角的余弦值为

B. 与面的交点是的重心

C. 三棱锥的外接球的体积为

D. 与面所成角的正弦值为

【答案】BCD

12. 已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（）

A.  B. 当时，

C. 当时，直线的斜率为2 D. 面积的最小值为4

【答案】ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 的展开式中的系数为_________.

【答案】60

14. 已知单位向量，的夹角为，则_________.

【答案】1

15. 设，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，，，则椭圆的离心率_________.

【答案】或

16. 函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是_________.

【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 中，角，，所对的边分别为，，，且.

（1）求角；

（2）若的面积为，，求的周长.

【答案】（1）

（2）

18. 记为等比数列的前项和.已知，.

（1）求的通项公式；

（2）求，判断，，是否成等差数列并说明理由.

【答案】（1）

（2），成等差数列，理由见解析；

【小问1详解】

解：（1）设数列的首项为，公比为，

因为，，

所以，解得，

所以．

【小问2详解】

解：因为，所以，

所以，，成等差数列，理由如下：

因为，，

所以

，

即，所以，，成等差数列；

19. 北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.半年“出差”，神舟十三号航天员顺利完成全部既定任务，创造了实施径向交会对接、实施快速返回流程、利用空间站机械臂操作大型在轨飞行器进行转位试验等多项“首次”.为了回顾“感觉良好”三人组太空“出差亮点”，进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.

（1）求小明至少正确完成其中3道题的概率；

（2）设随机变量表示小宇正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望；

（3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由.

【答案】（1）；

（2）分布列见解析；期望为3；

（3）小宇；理由见解析.

【解析】

【分析】(1)求出小明完成3道题和4道题的概率之和；

(2)列出分布列，根据分布列计算概率；

(3)比较小明和小宇分别至少完成3道题的概率，根据概率大小决定谁去参加比赛.

【小问1详解】

记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则.

【小问2详解】

的可能取值为2，3，4.

，

，

，

的分布列为：

数学期望

【小问3详解】

由（1）知，小明进入决赛的概率为；

记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则；

因为，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛.

20. 如图（1）所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图（2）所示的四棱锥.四棱锥的体积为，点为线段上的动点（与端点，不重合）.

（1）求证：平面；

（2）探求是否存在大小为的二面角.如果存在，求出此时线段的长度；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）通过和即可证明；

（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出.

【小问1详解】

在图（1）中，，

所以，即，

则在图（2）中，因为，即，

因为，所以平面；

【小问2详解】

因为平面，所以是四棱锥的高，

所以，则，

因为，则可以为原点建立如图空间直角坐标系，

假设存在大小为的二面角，设，又，

所以，

则，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则，即，令，则，则，

又，即，令，则，则，

则，解得或（舍去），

因此存在大小为的二面角，此时线段的长度.

21. 已知点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点到一条渐近线的距离为2.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线：与双曲线C交于两点，，直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

【答案】（1）

（2）或

22. 设函数.

（1）判断的单调性；

（2）若方程有两个相异实根，，求实数的取值范围，并证明：.

【答案】（1）在上单调递增；在上单调递减

（2）实数的取值范围是；证明见解析

【解析】

【小问1详解】

，令有，故在上单调递增；令有，故在上单调递减

【小问2详解】

由得，

令，则，

设，则，因为，所以恒成立，

函数在单调递减，而，故在上，，

单调递增，在上，，单调递减，所以.且当趋近于0与正无穷大时，趋近于负无穷，故方程恰有两个相异的实根只需：，

所以实数的取值范围是；

下证：，不妨设，则，，

所以，因为，

所以

，

令，则，

所以在上单调递增，所以当时，，

即，所以，所以.