2021汕尾高二下学期期末考试数学试题含答案

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汕尾市2020—2021学年度第二学期高中二年级期末教学质量测试

数学

本试卷共6页，考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.

2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.

3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.等差数列中，，则该数列前9项和（    ）

A.18    B.27    C.36    D.45

3.直线与圆相切，则（    ）

A.    B.1    C.或1    D.

4.已知函数，下面结论错误的是（    ）

A.函数的最小正周期为

B.函数在区间上是增函数

C.函数的图象关于直线对称

D.函数是偶函数

5.某校高三年级1班有45名学生，经初步计算，今年广东一模数学考试全班平均分为70分，标准差为.后来发现甲､乙两名同学的成绩录入有误，甲实际为60分，被误录入为50分，乙实际为40分，被误录入为50分.更正后重新计算，得到全班数学成绩的标准差为，则与的大小关系为（    ）

A.    B.    C.    D.不能确定

6.若直线与曲线相切，则的值为（    ）

A.0    B.    C.1    D.2

7.如图所示，为平行四边形对角线上一点，，若，则（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限，且.若，则双曲线的离心率为（    ）

A.    B.2    C.    D.4

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知复数，则（    ）

A.

B.

C.对应的点位于第二象限

D.虚部为

10.已知抛物线的焦点为，则下列结论正确的有（    ）

A.抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的横坐标为3

B.过焦点的直线被抛物线所截的弦长最短为4

C.过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有2条

D.过点的直线与抛物线交于不同的两点，则

11.已知函数，则（    ）

A.函数的增区间为

B.函数的极小值为

C.若方程有三个互不相等的实数根，则

D.函数的图像关于点对称

12.下列命题中，正确的是（    ）

A.已知随机变量服从正态分布，若，则

B.已知随机变量的分布列为，则

C.用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则

D.已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为.则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为

三､填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.

13.命题，则是__________.

14.已知的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中项的系数是__________.

15.某中学举行“唱响红色主旋律，不忘初心跟党走”的文艺活动.活动共有9个节目，其中高中部有4个参演节目，初中部有5个参演节目.根据节目内容，第一个节目一定是初中部的，且高中部的4个参演节目均不相邻演出，则共有种不同的演出顺序.__________(用数字回答)

16.如图，一个圆锥形物体的母线长为6，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处.若该小虫爬行的最短路程为，则该圆锥形物体的底面半径等于__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.(10分)

在中，角的对边分别为，且

（1）若，求的面积；

（2）若，求边.

18.(12分)

已知数列的前项和满足.

（1）求；

（2）已知__________，求数列的前项和.

从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答.

条件：①

②

③

注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分.

19.(12分)

汕尾市陆河县因盛产青梅，被誉为“中国青梅之乡”.该县某企业旗下的青梅产品深受广大消费者的青相.该企业产品分正品和次品两种，每箱产品有200件，每件产品为次品的概率为，且是否为次品相互独立.近期该企业举办了“青梅节”抽奖活动和促销活动.

（1）“青梅节”抽奖活动，共有10张奖券，其中一等奖1张，每张价值500元；二等奖3张，每张价值100元；其余6张没有奖励.顾客从10张奖券中随机抽出2张.求顾客获奖的总价值(单位：元)的分布列；

（2）“青梅节”促销活动，每箱产品交付给顾客前都要进行检验，每件产品的检验费为2元.若检验出次品，则要更换为正品(更换的产品无需再付检验费).若因没有检验导致次品流入顾客手中，每件流入顾客手中的次品，企业要向顾客支付25元的赔偿费.现有以下两种方案，请你以检验费与赔偿费之和的期望值为决策依据，帮助企业决定应该选择那种方案？

方案一：从每箱200件产品中随机抽查检验20件产品；

方案二：对每箱200件产品进行逐一检验.

20.(12分)

如图1所示，在凸四边形中，，点为的中点，为线段上的一点，且.沿着将折起来，使得平面平面，如图2所示.

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

21.(12分)

李华找了一条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点处，，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖一周，这时笔尖在平面上留下了轨迹当笔尖运动到点处时，经测量此时，且的面积为

（1）以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，求李华笔尖留下的轨迹的方程(铅笔大小忽略不计)；

（2）若直线与轨迹交于两点，且弦的中点为，求的面积.

22.(12分)

已知函数.

（1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若存在两个极值点，且，证明.

汕尾市2020—2021学年度第二学期高中二年级期末教学质量测试

参考答案及评分标准数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1-5BDCBA    6-8DCB

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.(全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.AC    10.ABD    11.BD    12.ACD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.    14.672    15.14400    16.

四､解答题：本题共6小题，共70分.

17.解：（1）在中，，

由正弦定理得，.

即.

又，

故.

又，

又中，，

此时.

（2）.

由正弦定理得：，

.

又，

整理得：，即.

解得：.

18.解：（1）在数列中，.当时，，

当时，，

又也满足，

（2）选择条件①，

①

②

①-②得

故.

选择条件②由（1）知：，

选择条件③

，

当为偶数时，

当为奇数时，

综上所述：.

19.解：（1）①的所有可能取值为.

且，

奖品总价值的分布列为

（2）设检验费用与赔偿费用之和为.

当选择方案一时，设剩下的180件产品中，次品数为，

由题目知，

又，

当选择方案二时，.

又，

故应该选择方案二

20.（1）在图2中，平面平面，

平面平面，

面且，

面.

又面，

故得证.

（2）根据题意，以为原点，所在直线分别为轴建立如图的空间直角坐标系.

在图1中，，

.

设面的法向量，

，令，得，

设面的法向量，

，令，

得，

.

设面与面所成锐二面角为，

面与面所成锐二面角的余弦值为.

21.解：（1）设椭圆的标准方程为，

由陈圆的定义知，故.

在中，，

假设

又的面积为，

，故

椭圆的标准方程为：.

（2）法一，设，

弦的中点为且.

弦的中点为且.

又均在椭圆上，

得.

即.

故直线的方程为：.

联立，整理得：.

得

的面积为.

法二：易知直线的斜率存在.

可设直线的方程为，

联立，

得.

点在椭圆的内部，则必有.

又点为弦的中点，

.

故，解得.

直线的方程为：且.

在方程中，令，得.

直线与轴交于点.

的面积为.

22.解：（1），

在上为增函数，

，有

整理得：恒成立，

，

由基本不等式知，，

从而有，当且仅当时等号成立.

，故.

实数的取值范围为

（2）有两个极值点，

方程有两个正根.

从而有且.

且均为正数，

可设.①

显然，当时，有恒成立，

在上为减函数.

从而有，令.

又，即.②

由①②解得：.

令

在上为减函数，

从而得证.