2021-2022学年湖北省新高考联考协作体高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省新高考联考协作体高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知函数，则（        ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的定义，求得原式为，求出代入求解即可.

【详解】，

又，

∴．

故选：C.

2．由数字0，1，2，3，4可组成多少个无重复数字的四位数奇数（       ）

A．18 B．36 C．54 D．72

【答案】B

【分析】分步计数：先确定末位数字，再确定首位数字，最后确定中间两位数字，由乘法原理可得．

【详解】末位可挑1和3两个数字，共两种情况，然后首位排除0后可挑3个数，中间

两位共种排法，因此共种情况．

故选：B．

3．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是(       )

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】根据函数图像的增减性判断四个导数值的正负，根据在四个点出函数图像切线斜率判断导数值的大小.

【详解】由图可知，在x＝1和x＝2在f(x)的增区间内，故，且在x＝1处切线斜率大于在x＝2处切线斜率，即；

x＝3和x＝4在f(x)的减区间内，故，且在x＝3出切线斜率比在x＝4处切线斜率大，即；

综上，.

故选：B.

4．数学上有很多著名的猜想，“角谷猜想”又称“冰雹猜想”就是其中之一，它是指任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．记正整数按照上述规则实施第次运算的结果为，若，则不可能为（       ）

A．64 B．10 C．5 D．8

【答案】C

【分析】根据“角谷猜想”进行逆推计算，由此可得结论．

【详解】若6次步骤后变成1，则，

，，或1，

当时，，或,则时，， 时， ；

当时，，，则 或8，

所以的所有可能取值组成的集合为，不可能为5，

故选：C

,

5．某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（       ）

A．150 B．300 C．450 D．225

【答案】C

【分析】先从后排6人中抽出两名同学，再利用倍缩法即可得出答案.

【详解】解：先从后排6人中抽出两名同学，有种方法，

然后与前排4人排列，有种排法，

因为同学的相对顺序不变，则前排4人不要再排，

所以共有种调整方法.

故选：C.

6．已知，则（       ）

A．64 B． C． D．

【答案】D

【分析】采用赋值法，可求得时，，以及时，，两式相加，再求得，可求得答案.

【详解】令可得：，即①,

令，可得：，即②，

可得：，

又令，可得，所以,

故选：D

7．函数在区间上有最小值，则m的取值范围是(       )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据f(x)的导数求f(x)的单调性和极值，作出f(x)简图，数形结合即可求m的范围.

【详解】，

易知在，单调递增，在单调递减，

又，，，，

故f(x)图像如图：

函数在区间上有最小值，则由图可知.

故选：B.

8．已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a的取值范围（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据恒成立，得到在单调递增求解.

【详解】解：不妨令，

则，

即在单调递增，

因为，

则在上恒成立，

即，在上恒成立，

则，

又，

∴．

故选：C

二、多选题

9．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为2的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率可以是（       ）

A．2 B． C． D．3

【答案】BCD

【分析】由过点F且斜率为2的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则，即可求出离心率得范围，进而得出答案.

【详解】∵双曲线的渐近线方程为，由题意可知：

，∴，，，，，．

故选：BCD.

10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（       ）

第0行                           1

第1行                       1       1

第2行                    1     2        1

第3行                 1     3       3       1

第4行            1       4     6        4       1

第5行        1       5     10     10     5       1

                      ……                       ……

A．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：

B．

C．第7行中从左到右第5与第6个数的比为5：2

D．由“第n行所有数之和为2”猜想：

【答案】ABD

【分析】根据杨辉三角，利用组合数性质求解判断ABC.利用二项展开式的二项式系数判断D.

【详解】由组合数性质2可知A正确；

由组合数性质2得：

，

，故B正确.

第7行从左到右第5与第6个数的比为：，故C错误；

，D正确．

故选：ABD

11．以下关于数列的结论正确的是（       ）

A．若数列的前n项和，则数列为等差数列

B．若数列的前n项和，则数列为等比数列

C．若数列满足，则数列为等差数列

D．若数列满足．则数列为等比数列

【答案】AC

【分析】利用、等差数列和等比数列的知识求得正确答案.

【详解】A．，时，，

时，，，

当时，上式也符合，所以成立，A选项正确.

B．，时，，

时，，，

所以，数列不是等不数列，B选项错误.

C．由等差中项定义知C选项成立；

D．若，则不成立，D选项错误.

故选：AC

12．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若区间上，则称函数在区间上为“凸函数”．已知在上为“凸函数”则实数m的取值范围的一个必要不充分条件为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】先求出函数的二阶导函数，由“凸函数”的定义可得在上成立，整理不等式，可将问题转化为在上成立，再构造函数，利用导函数判断在的取值范围，即可得到充要条件，进而根据必要不充分条件与充要条件的关系得到答案.

【详解】由题，，，

若在上为“凸函数”，则在上成立，

即，，

令，，则，所以在上单调递增，

所以，

所以，为充要条件，

由选项可知，必要不充分条件可以是：或，

故选：AD.

三、填空题

13．若函数满足，则________．

【答案】

【分析】求出导函数，证明其为奇函数，由奇函数性质计算．

【详解】，易知则为奇函数，则．

故答案为：．

14．已知函数．为函数的导函数，若对任意恒成立，则整数k的最大值为________．

【答案】3

【分析】先求得函数的导函数，转化问题为对恒成立，即求在时的最大值，令，构造函数，则再将问题转化为求在时的最大值，借助导函数判断的单调性，进而求解.

【详解】由题，，

因为，对恒成立，

则对恒成立，

令，

则对恒成立，

令，

则，令，

则当时，，所以在上单调递增，

又，，

，当，，则，此时单调递减；

当，，则，此时单调递增，

则，

又，代入，

则整数.

故答案为：3

四、双空题

15．将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法．（结果用数字作答）

【答案】     240     56

【分析】5个不同的球按个数1，1，1，2分成四组，放入4个不同盒子可得第一空答案；第二空由于5个球相同，不同放法只是球的个数不同，因此可先借4个球，相当于9个球，用隔板法分成四组后放入盒子，用组合数定义可得．

【详解】5个不同小球分成4组，每组个数分别为1，1，1，2，不同的分组情况有种方法，

再将4组球放入4个不同盒子，共种方法.

5个相同小球放入4个盒子，

若允许有空盒子，可先借4个小球，共9个小球，再用隔板法分成4组放入盒子，共种方法．

故答案为：240；56．

五、解答题

16．设抛物线C的方程为，直线l过其焦点F与抛物线C交于点A、B两点，若，则线段的长为________．

【答案】9

【分析】设，设方程为，代入抛物线方程得，应用韦达定理得，从而可得，由及焦半径公式可得，与结合可解得，然后可得弦长．

【详解】抛物线标准方程为，焦点为，

∵，

∴，

斜率显然存在，设，设方程为，代入抛物线方程得：

，所以，，

所以①，②，

，，

所以③，

由②③联立可解得，

所以，，．

故答案为：9．

17．若是函数的极大值点．

(1)求a的值；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）由求得的值.

（2）结合函数的单调性来求得函数在区间上的最值.

【详解】(1)，

由题意知或

时，，

在区间递增；在区间递减，

是的极大值点，符合题意.

时，，

在区间递增；在区间递减，

是的极小值点，不符合题意.

则.

(2)由（1）知，且在，单调递增，在单调递减，

又，，，，

则，.

18．根据上级要求，某市人民医院要选出呼吸，护理，心理治疗方面的专家支援X城市抗疫，该院有3名呼吸专家，，，4名护理专家，，，，2名心理专家，．

(1)从中选出4人组成支援团，求4人中至少有1名心理专家的概率；

(2)从中选出4人组成支援团，求呼吸，护理，心理专家都有的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设4人中至少有一名心理专家为事件A，利用古典概型的概率公式即可求解；

（2）记呼吸、护理、心理专家都有为事件B，利用古典概型的概率公式即可求解.

【详解】(1)设4人中至少有一名心理专家为事件A，

∵从该院9名医生中选4人共种选法，

支援团中没有心理专家共种选法，

∴

(2)记呼吸、护理、心理专家都有为事件B，

①当呼吸、护理专家各一名，心理专家两名时，共种选法；

②当护理、心理专家各一名，呼吸专家两名时，共种选法；

③当呼吸、心理专家各一名，护理专家两名时，共种选法，

∴

19．已知等差数列的首项，公差，且，，成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，，问是否存在最大的正整数m，使得对任意正整数n均有总成立？若存在求出m；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在，.

【分析】（1）利用等比数列列式求出公差d，写出数列的通项公式作答.

（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求出，然后判断单调性计算作答.

【详解】(1)在等差数列中，，公差，由，，成等比数列，得，

即，而，解得，则，

所以数列的通项公式是：.

(2)由（1）知，，

则有，

因，则数列单调递增，，

因对任意正整数n均有成立，于是得，解得，而，则，

所以存在最大的正整数，使得对任意正整数n均有总成立.

20．已知的展开式的各项的二项式系数之和为64，求：

(1)n的值；

(2)的展开式中的有理项：

(3)的展开式中系数最大的项

【答案】(1)6

(2)，，，

(3)

【分析】（1）由二项式系数性质求得值；

（2）写出二　展开式通项公式，由的指数是整数得有理项，依次计算可得；

（3）设第项系数最大，解不等式组得值，然后由展开式通项公式计算．

【详解】(1)由题意可知，所以．

(2)的展开式的通项为，，1，2，…，6

令，则或或或

所以的展开式的有理项为：，，，．

(3)设第项系数最大，则，

解得

又∵，

∴，

∴展开式中系数最大的项为第3项，且．

21．已知椭圆C：过点，焦距为2．

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)设M，N为椭圆上异于上、下顶点的两个不同的动点，，若直线AM、AN的斜率之积为1，求证：直线MN过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）结合列方程组解得得椭圆方程；

（2）设直线MN方程为，，，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，计算，计算直线AM、AN的斜率之积．由积为1得出的关系，由此关系可得直线所过定点．

【详解】(1)由题意可知

得

∴椭圆方程为：

(2)设直线MN方程为，，，

联立可得

∴，

则

化简得：

或（舍）

直线MN方程为

即直线MN过定点

22．已知函数在处切线与直线垂直．

(1)求的单调区间；

(2)若有两零点，，求证．

【答案】(1)的单调区间为和

(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义求出参数，再根据导数的符合即可求出函数的单调区间；

（2）由（1）知，，要证成立则只需证，即，由为两零点，求得，，令，构造函数，利用导数证明函数即可得证.

【详解】(1)解：，

因为函数在处切线与直线垂直，

所以，解得，

所以，

，

令，则，令，则，

所以在单调递减，单调递增，

所以的单调区间为和；

(2)证明：由（1）知，，

∵，∴，

又在单调递增，

要证成立则只需证，

即，

由为两零点，得

，，

两式相减得，

则，故，，

令，

则，

要证即证，

构造函数，

∵，

∴在上单调递增，故，

即，又，，

，即成立，

所以.

【点睛】本题考查了导数的几何意义和利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式问题，考查了转化思想和数据分析能力，有一定的难度.