2022-2023学年湖北省新高考联考协作体高三上学期期末联考数学试题 （解析版）

2023年湖北省高三上学期1月期末考试

高三数学试卷

命题学校：云梦一中         审题学校：襄州一中

考试时间：2023年1月10日上午8：00-10：00     试卷满分：150分

注意事项

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上。

2．回答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）

1．已知集合，则A的子集共有（   ）个

A．3     B．4     C．6     D．7

2．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（   ）

A．z的实部是                         B．z的虚部是

C．复数在复平面内对应的点在第一象限     D．

3．2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场，歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部侧面积约为（   ）平方米

A．     B．     C．     D．

4．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件     C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

5．已知是各项均为正数的等差数列，为其前n项和，且，则当取最大值时，（    ）

A．10     B．20     C．25     D．50

6．已知，则（    ）

A．     B．     C．     D．

7．已知函数，且（其中e为自然对数的底数，为圆周率），则a，b，c的大小关系为（    ）

A．     B．     C．     D．

8．2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（   ）

A．事件A与B相互独立     B．事件A与C为互斥事件

C．            D．

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）

9．新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所，我们都需要先进行体温检测某学校体温检测员对一周内甲，乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（   ）

A．乙同学体温的极差为         B．甲同学体温的第三四分位数为

C．甲同学的体温比乙同学的体温稳定   D．乙同学体温的众数，中位数，平均数都相等

10．已知函数的部分图象如图，则（   ）

A．函数解析式

B．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．函数在区间上的最小值为

11．设圆，直线，P为l上的动点过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，则下列说法中正确的是（   ）

A．直线l与圆O相交                    B．的取值范围为

C．存在点P，使四边形为正方形   D．当点P坐标为时，直线的方程为

12．如图，棱长为2的正方体中，动点P满足．则以下结论正确的为（   ）

A．，使直线面

B．直线与面所成角的正弦值为

C．，三棱锥体积为定值

D．当时，三棱锥的外接球表面积为

三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．的展开式中的系数为___________．（用数字作答）

14．若向量在向量上的投影向量为，且，则数量积___________．

15．已知双曲线右焦点为，点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称．若，且的面积为4，则双曲线的离心率___________．

16．2022年12月3日，南昌市出士了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠如图（1）所示。现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，己知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形的中心为为圆O上的点，如图（2）所示．分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使重合，得到六棱锥，则当六棱锥体积最大时，底面六边形的边长为___________．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题10分）己知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；

，且边，

（1）求的周长；

（2）若角，求的面积．

18．（本小题12分）己知数列的前n项和为，且，___________．请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．（本小题12分）如图1，直角梯形中，，E为的中点，现将沿着折叠，使，得到如图2所示的几何体，其中F为的中点，G为上一点，与交于点O，连接．

（1）求证：平面；

（2）若面，求平面与平面的夹角．

20．（本小题12分）皮影戏是一种民间艺术，是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种，已有千余年的历史。而皮影制作是一项复杂的制作技艺，要求制作者必须具备扎实的绘画功底和高超的雕刻技巧，以及持之以恒的毅力和韧劲。每次制作分为画图与剪裁，雕刻与着色，刷清与装备三道主要工序，经过以上工序处理之后，一幅幅形态各异，富有神韵的皮影在能工巧匠的手里浑然天成，成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人。小李对学习皮影制作产生极大兴趣，师从名师勒学苦练，目前水平突飞猛进，三道主要工序中每道工序制作合格的概率依次为，三道序彼此独立，只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影制作，该皮影视为合格作品．

（1）求小李进行3次皮影制作，恰有一次合格作品的概率；

（2）若小李制作15次，其中合格作品数为X，求X的数学期望与方差；

（3）随着制作技术的不断提高，小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中，聘其为单位制作演出作品，决定试用一段时间，每天制作皮影作品，其中前7天制作合格作品数y与时间：如下表：（第1天用数字1表示）

其中合格作品数（y）与时间（t）具有线性相关关系，求y关于t的线性回归方程（精确到0.01），并估算第15天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？

（参考公式，，参考数据：）．

21．（本小题12分）已知抛物线上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是上一点，且满足．

（1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）若为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．

22．（本小题12分）已知函数．

（1）若，求的极小值．

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，证明：有且只有2个零点．

2023年湖北省高三上学期1月期末考试

高三数学答案

一、单选题

1-4  BCAB  5--8  DACD

二、多选题

9．ABD  10．CD  11．BD  12．ACD

三、填空题

13．20  14．16  15．  16．

【答案解析】

1．B

【解析】由题设，，∴A的子集共有个．

2．C

【解析】由题设，，．

对A，z的实部是，故A错误；对B，z的虚部是，故B错误；

对C，复数在复平面内对应的点在第一象限，故C正确；对D，，故D错误；

3．A

【解析】根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知，圆锥底面半径为1米，圆锥高为米，母线长为2米，根据圆锥侧面积公式得．

4．B

【解析】“方程表示焦点在y轴上椭圆”的充要条件为

故“”是“方程表示焦点在y轴上椭圆”的必要不充分条件．

5．D

【解析】∵，∴，由已知，得，

∴，当且仅当时等号成立．此时，

6．A

【解析】∵，

∴

7．C

【解析】由函数为奇函数，有：，且：，结合函数为增函数有：，

8．D

【解析】记三座体育馆依次为①②③，每个体育馆至少派一名裁判，则有种方法，

事件A：甲派往①，则若①体育馆分2人，则有种，若①体育馆分1人：则有种，共有种，∴，同理，若甲与乙同时派往①体有馆，则①体育馆分两人，有种，∴，A错误；由互斥事件概念易知，B错误；，D正确；事件C：裁判乙派往②体育馆，若②体育馆分2人，则有种，若②体育馆分1人，则有种，共有种，∴，若事件A，C同时发生，则有种，∴，C错误；

9．ABD

【解析】对A：乙同学体温的最大值为，最小值为，故极差为，A正确；

对B：甲同学体温按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，，又，故甲同学体温的第三四分位数为上述排列中的第6个数据，即，B正确；对C：乙同学体温按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，故乙同学体温的平均数为：，

故乙同学体温的方；

又甲同学体温的平均数为：，故甲同学体温的方差；又，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C错误；对D：乙同学体温的众数，中位数，平均数均为，故D正确．

10．CD

【解析】由题图知：，函数的最小正周期满足，即，

则，所以函数．

将点代入解析式中可得，则，得，因为，所以，因为，故A错误；

将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像，

故B错误；由，当时，，故C正确；当时，，所以，即，即最小值为，故D正确．

11．BD

【解析】对于A，直线与圆相离，A错误；对于B，设点，

，即的取值范围为，故B正确；对于C，当四边形为正方形时，，又圆的圆心，半径，所以，设点，则，所以，化简得，该方程的判别式，该方程无解，所以不存在点P使得四边形为正方形，故C不正确；对于D，当点P坐标为时，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，两圆相减可得直线的方程为：，故D正确。

12．ACD

【解析】显然，存在满足，所以A项正确；以方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴建立空间直角坐标系，

则，

设平面的法向量为，则，即，令，得，故，

设直线与面所成角为，

则，故B项错误；因为，所以四边形为平行四边形，所以，

又因为平面平面，所以平面，又P为线段上动点，所以P到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，当点P与重合时，，故C正确；

当点P为中点时，，易得平面，又平面，所以平面，所以平面，即平面，

所以，的外接圆半径为，故所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，设三棱锥的外接球半径为R，则，故三棱锥的外接球表面积为，故D项正确．

13．20

【解析】的展开式中第项为，

令得：的系数为．

14．16

【解行】设的夹角为，因为向量在向量上的投影向量为，所以，又，则

15．

【解析】因为双曲线的右焦点，设其左焦点为，因为，P，Q关于原点O对称，所以，由的面积为4，所以，得，又，所以．又由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得，所以，故离心率

16．

【解析】连接，交于点H，由题意得，设，则，，因为，所以，

六棱锥的高．

正六边形的面积，

则六棱锥的体积．

令函数，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，

所以．此时，底面边长．

四、解答题

17．（1）    （2）

【解】（1）解：∵，

∴由正弦定理可得，∴，

∴三角形周长为．

（2）解：由（1）知，由余弦定理得，解得，

∴

18．（1）    （2）

【解】（1），所以，即，

所以数列是首项为，公差为1的等差数列．

若选①：由，得，即，

解得．所以，即数列的通项公式为．

若选②：由成等比数列，得，

解得，所以．

若选③：因为，解得，

所以．

（2），则，

则，，

两式相减得：，

故．

19．（1）证明见解析    （2）

【解】（1）在直角梯形中，，

由翻折的性质可得，翻折后，

又，∴，则，故两两互相垂直，

∴以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图示：

则，

∴，∴，即，又平面平面，∴平面．

（2）由面，∴，∴，

∴点G为的中点，

∴在空间直角坐标系中，．

∴，设平面的法向量为，

则即令，则，故平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为

∴平面与平面的夹角为．

20．（1）  （2），  （3），14

【解】（1）小李制作一次皮影合格的概率，

小李进行3次制作，恰有一次合格作品的概率．

（2）由题知：，则．

（3）．

，，，，

，，

所以回归直线方程为．当时，，

所以第15天能制作14个合格作品．

21．（1）；    （2）证明见解析，．

【解】（1）设，则，由，得，代入得，所以动点M的轨迹．

（2）易得的斜率存在，设，

，由联立可得：，

①，

，即②

将①代入②得：，∴，

所以，所以直线恒过定点．

22．（1）  （2）答案见解析  （3）证明见解析

【解】（1）当时，的定义域为，，

所以在区间递减；在区间递增．

所以当时，取得极小值．

（2）的定义域为，．

令，

当时，恒成立，所以即在上递增．

当时，在区间即递减；

在区间即递增．

（3）当时，，

由（2）知，在上递增，，

所以存在使得，即．

在区间，递减；在区间递增．

所以当时，取得极小值也即是最小值为，

由于，所以．

，

，

根据零点存在性定理可知在区间和，各有1个零点，

所以有2个零点．