专题13 三角函数的概念及诱导公式（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

第13讲  三角函数的概念及诱导公式

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一、知识梳理

1.角的概念的推广

(1)定义：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边.

(2)分类

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad.

(2)公式

3.任意角的三角函数

定义：设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上的任一点，对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).

4.三角函数线

(1)正弦线与余弦线

如图所

示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，为角α的余弦线.类似地，称为角α的正弦线.

(2)正切线

如图所示，设角α的终边或终边的反向延长线与直线x＝1交于点T，则可以直观地表示tan α，因此称为角α的正切线.

5.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：＝tan α.

6.三角函数的诱导公式

7.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

(2)cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.

(3)tan(α±β)＝.

8.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α.

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)tan 2α＝.

9.函数f(x)＝asin x＋bcos x(a，b为常数)，可以化为f(x)＝sin(x＋φ)或f(x)＝·cos(x－φ).

10.半角公式

(1)S：sin＝±，sin2＝；

(2)C：cos＝±，cos2＝；

(3)T：tan＝±(无理形式)，tan2＝；tan＝＝(有理形式).

二、考点和典型例题

1、三角函数的概念

【典例1-1】（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（       ）

A．4 B．8 C．10 D．16

【典例1-2】（2022·河北·模拟预测）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于的扇形，则该圆锥的体积为（       ）

A． B． C． D．

【典例1-3】（2022·山东济南·二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（       ）

A． B． C． D．

【典例1-4】（2022·北京房山·二模）已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则(       )

A． B． C． D．

【典例1-5】（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））已知角的终边上有一点，则的值是（       ）

A． B． C．或 D．不确定

2、同角关系式和诱导公式

【典例2-1】（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【典例2-2】（2022·辽宁葫芦岛·二模）若，则（       ）

A． B． C．-3 D．3

【典例2-3】（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知，则（       ）

A． B． C． D．

【典例2-4】（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知，则（       ）

A． B． C． D．

【典例2-5】（2022·全国·模拟预测）若，则（       ）

A． B． C． D．

3、三角恒等变换的综合应用

【典例3-1】（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知角的终边经过点，则（       ）

A． B． C． D．

【典例3-2】（2022·湖北·模拟预测）已知，且，则（       ）

A． B． C． D．

【典例3-3】（2022·全国·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上的一点，将角终边逆时针旋转得到角的终边，则（       ）

A． B． C． D．

【典例3-4】（2022·广东·模拟预测）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【典例3-5】（2022·广东汕头·三模）已知，，则（       ）

A． B． C． D．