专题23 空间中的垂直关系（讲义+练习）-2023年高考一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第23讲  空间中的垂直关系

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一、知识梳理

1.直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中A为垂足.

(2)直线与平面垂直的充要条件：直线l与平面α内的任意直线都垂直.符号表示为：l⊥α⇔∀m⊂α，l⊥m.

(3)判定定理与性质定理

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角称为这条斜线与平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.

(2)范围：.

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面；

(2)二面角的平面角：在二面角αlβ的棱上任取一点O，以O为垂足分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.

(3)二面角的范围：[0，π].

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.

(2)判定定理与性质定理

二、考点和典型例题

1、直线、平面垂直的判定与性质

【典例1-1】（2022·全国·高二）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（       ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【详解】

A选项，，，则可能平行，相交，异面，故A错误；

B选项，，，则可能，故B错误；

C选项，，，则可能，也可能，故C错误；

D选项，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，则另一条也垂直该平面，故D正确.

故选：D.

【典例1-2】（2022·山东烟台·三模）若和分别为空间中的直线和平面，则“”是“垂直内无数条直线”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

若，则垂直内所有直线，因此，命题“若，则垂直内无数条直线”正确，

垂直内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线可以在平面内，即不能推出，

所以“”是“垂直内无数条直线”的充分不必要条件.

故选：A

【典例1-3】（2019·山西·东康一中高二阶段练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）

A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

【答案】C

【详解】

对于A，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，故A错误；

对于B，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，故B错误；

对于C，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故C正确；

对于D，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，故D错误.

故选：C.

【典例1-4】（2022·全国·高二课时练习）直三棱柱中，若，，，是棱上的中点，则点到平面的距离是（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【详解】

如图，

在直三棱柱中，连接，

由题知，平面，，

又，

∴

又，所以平面，

所以，

由于，点是棱上的中点，

根据勾股定理，

，

，，

所以，即.

设到平面的距离为，则，设点到平面的距离为，

在四面体中，，

则，解得.

故选：C.

【典例1-5】（2022·湖南岳阳·模拟预测）如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（　　）

A．AH⊥△EFH所在平面

B．AG⊥△EFH所在平面

C．HF⊥△AEF所在平面

D．HG⊥△AEF所在平面

【答案】A

【详解】

解析：原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，FH∩EH＝H，

又FH平面EFH，EH平面EFH，所以AH⊥△EFH所在平面．故A正确，B错误；

由上知，，故D错误；由原图知与不垂直，故C错误.

2、平面与平面垂直的判定与性质

【典例2-1】（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））设，为两个平面，则的充要条件是（       ）

A．，平行于同一个平面 B．，垂直于同一个平面

C．内一条直线垂直于内一条直线 D．内存在一条直线垂直于

【答案】D

【详解】

，平行于同一个平面时，则，A错误；

，垂直于同一个平面时，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，B错误；

内一条直线垂直于内一条直线，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，C错误；

内一条直线垂直于，则，反之也成立，D正确.

故选：D．

【典例2-2】（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））设m，n，l是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【详解】

A选项，若，则可能异面，所以A选项错误.

B选项，若，则可能，所以B选项错误.

C选项，若，根据面面垂直的判定定理可知，所以C选项正确.

D选项，若，则可能，所以D选项错误.

故选：C

【典例2-3】（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（       ）

A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC

【答案】C

【详解】

因AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则，而，平面，

则有平面，又平面，所以平面ABC⊥平面BDE，C正确；

在平面内取点P，作，垂足分别为M，N，如图，

因平面ABC⊥平面BDE，平面ABC平面，则平面BDE，则有，

若平面ABC⊥平面ABD，同理可得，而，平面，

于是得平面，显然BD与平面不一定垂直，A不正确；

过A作边上的高，连，由得，是边上的高，

则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面ABD与平面BDC不一定垂直，B不正确；

因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角，

平面ABC与平面ADC不一定垂直，D不正确.

故选：C

【典例2-4】（2022·江西南昌·一模（理））已知在边长为6的菱形中，，点，分别是线段，上的点，且.将四边形沿翻折，当折起后得到的几何体的体积最大时，下列说法：①；②平面；③平面平面；④平面平面，其中正确的个数是（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【详解】

将四边形沿翻折,得到几何体

在几何体中，平面，平面

所以 平面

平面，平面

所以 平面

又,所以平面平面

平面,所以平面，故②正确.

过点作交于，过作交于点

过点作交的延长线于，过作交的延长线于点

则四棱锥与是全等的两个四棱锥.

由，则,，，所以平面

平面,平面, 平面,则与不垂直，故①不正确

三棱柱为直三棱柱.

几何体的体积与三棱柱体积相同.

三棱柱的体积为

在直角三角形中,，所以

所以

当面积最大值时，几何体的体积最大.

当时面积最大值. 由, ，则平面

又平面，所以平面平面; 故③正确.

若平面平面，由面平面

过作交于点，则平面

则过点有两条直线与平面垂直，这与过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直相矛盾.

所以④不正确.

故选：B

【典例2-5】（2022·全国·高三专题练习）如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（       ）

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

【答案】C

【详解】

因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.

故选：C

3、平行、垂直关系的综合应用

【典例3-1】（2022·安徽省舒城中学三模（理））设，是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（       ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】C

【详解】

A：由，，则或相交，错误；

B：由，，则或或相交，错误；

C：由，则存在直线且，而则，根据面面垂直的判定易知，正确；

D：由，，则或，错误.

故选：C

【典例3-2】（2022·北京·北大附中三模）已知平面，直线和，则下列命题中正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】A

【详解】

选项A正确，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；

选项B错误，平面和也可以相交；

选项C错误，直线可能在平面内；

选项D错误，直线和还可能相交或者异面.

故选：A.

【典例3-3】（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．

(1)求证：∥平面；

(2)求证：平面平面．

【解析】(1)证明：因为四边形ABEF为矩形，所以，又平面BCE，平面BCE，所以平面BCE．

(2)过C作，垂足为M，因为，所以四边形ADCM为矩形．

因为，，所以，，，，所以，所以．因为平面ABCD，，

所以平面ABCD，所以．又平面BCE，平面BCE，，

所以平面BCE，又平面ACF，所以平面平面BCE．

【典例3-4】（2022·江西南昌·高二期中（理））两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，过M作于H，求证：

(1)平面平面BCE；

(2)平面BCE.

【解析】(1)在正方形ABCD中，，，则，又平面，平面，因此平面，

由，得，而，，则有，

即，于是得，又平面，平面，则平面，

因，平面，

所以平面平面.

(2)由（1）知：平面平面，而平面，

所以平面.

【典例3-5】（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，平面AEFC⊥平面ABCD，EFAC，AE=AB，AC=2EF.

(1)求证：平面BED⊥平面AEFC；

(2)若四边形AEFC为直角梯形，且EA⊥AC，求直线BD与平面BCF所成角的正弦值.

【解析】(1)菱形ABCD中，BD⊥AC

又∵平面AEFC⊥平面ABCD，平面AEFC∩平面ABCD=AC，

∴BD⊥平面AEFC，

又BD平面BED，

∴平面BED⊥平面AEFC

(2)∵四边形AEFC为直角梯形，且EA⊥AC

又平面AEFC⊥平面ABCD，平面AEFC∩平面ABCD=AC，

所以EA⊥平面ABCD，

直角梯形中，AC=2EF，设AC交BD于O，连接FO，FB，则有AO=EF，AOEF，

∴AOFE为平行四边形，∴OFEA，

∴FO⊥平面ABCD，

分别以OB，OC，OF所在直线为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以三角形ABC为等边三角形，

则OC=1，OF=AE=AB=2，OB=OD=，

则B（，0，0），C（0，1，0），F（0，0，2），D（-，0，0），

∴，，

设平面BCF的法向量为，则由即，

取，则，，所以.

∴，

设直线BD与平面BCF所成的角为

∴

故直线BD与平面BCF所成角的正弦值为