初中数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理教案设计

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一、创设情景，引出课题

复习提问:

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能

完全重合，这个图形就是轴对称图形。

（２）正三角形是轴对称性图形吗？有几条对称轴？

是，3

（３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？

结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。

强调：（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴.

（2）圆的对称轴有无数条.

判断：任意一条直径都是圆的对称轴（      ）×

思考：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O直径．

(1)该图是轴对称图形吗？

(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系，使它成为轴对称图形？

请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？

点C与点D重合，CP与DP重合，

＝，＝．

你能将你的发现归纳成一般结论吗？

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明

已知CD是直径，CD⊥AB，

求证：CD平分AB，CD平分和

理由如下：

把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC和弧BC,弧AD与弧BD重合．

二、提炼概念

垂径定理

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.

推导格式：

∵ CD是直径，CD⊥AB，

∴ AE=BE,弧AC =弧BC,弧AD =弧BD

条件：直径垂直于弦

结论：直径平分弦，直径平分弦所对的弧

垂径定理的几个基本图形

思考

自议

通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；

理解圆的对称性，利用对称性理解垂径定理；

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三、典例精讲

例1、已知,如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.

作法:

1. 连结AB;

2. 作AB的垂直平分线CD,交弧AB与点E;

∴点E就是所求弧AB的中点.

例2、一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16. 求截面圆心O到水面的距离.

解: 作OC⊥AB于C,

      由垂径定理得:

      AC=BC=AB/2=0.5×16=8

      由勾股定理得:

答: 截面圆心O到水面的距离为6.

圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.

例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.

归纳：1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；

2 ．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：

 遇到与弦有关的问题往往要过圆心作垂直于弦的直径．

在运用垂径定理求有关线段长度时有时需要分类讨论．

课堂检测

四、巩固训练

1.如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（    ）

A．∠COE=∠DOE      B．CE=DE

C．OE=BE            D．BD=BC

答案：C

2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（   ）

 A．3≤OM≤5    B．4≤OM≤5

C．3<OM<5      D．4<OM<5

答案：A

3.已知圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则两弦AB，CD的距离是    (　   　)

A．7 cm　　　　　　B．17 cm

C．12 cm    D．7 cm或17 cm

【解析】(1)当圆心O在AB，CD同一侧时，如图(1)所示，过O作OE⊥AB于E，延长交CD于F，连结OC，OA，∵AB∥CD，∴OF⊥CD.

由垂径定理得，AE＝AB＝12，CF＝CD＝5.

在Rt△AEO中，OE＝＝＝5，在Rt△CFO中，OF＝＝＝12，∴EF＝OF－OE＝12－5＝7.

(2)当圆心O在AB，CD之间时，如图(2)所示，过O作OE⊥AB于E，延长交CD于F，连结OC，OA，同样可得OF＝12，OE＝5.∴EF＝OE＋OF＝17.

所以，AB，CD之间的距离为7 cm或17 cm.

答案：D

4.如图所示，是一个单心圆形隧道的截面，若路面AB宽为10 m，高CD为7 m，则此隧道单心圆的半径OA是(　   　)

A．5 m   B. m  C. m   D．7 m

【解析】 设OA＝k，则OD＝7－k，

∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝5.

在Rt△AOD中，AD2＋OD2＝OA2，

∴52＋(7－k)2＝k2，解得k＝.

即半径OA是m.

答案：B

5. 如图所示，圆的两条弦AB，CD互相平行，求证：＝.

证明：如图所示．作OG⊥AB，分别交AB，CD和圆于点E，F，G.

∵OG⊥AB，∴＝，

同理可得＝.

又∵＝－，＝－，

∴＝.

课堂小结

1．圆的轴对称性

圆是_____________，每一条过圆心的直线都是圆的__________．

轴对称图形，对称轴

2．垂径定理

定理：垂直于弦的直径_________这条弦，并且___________________．

平分，平分弦所对的弧

3．弧的中点及弦心距

弧的中点：_____________成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．

分一条弧

弦心距：圆心到圆的___________________叫弦心距．

一条弦的距离