高考数学统考一轮复习第4章三角函数解三角形第4节三角函数的图象与性质学案

　三角函数的图象与性质

[考试要求]　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.

2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

提醒：(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tan x无单调递减区间，y＝tan x在整个定义域内不单调．

(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．

1．对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

2．函数具有奇、偶性的充要条件

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；

(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；

(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数． (　　)

(2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1. (　　)

(3)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称． (　　)

(4)y＝sin|x|与y＝|sin x|都是周期函数． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

二、教材习题衍生

1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)

A．T＝π，A＝1   B．T＝2π，A＝1

C．T＝π，A＝2   D．T＝2π，A＝2

A　[T＝＝π，A＝2－1＝1，故选A．]

2．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)

A． B．

C． D．

D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，

得x≠＋，k∈Z，

∴y＝tan 2x的定义域为.]

3．y＝sin的单调减区间是        ．

(k∈Z)　[由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.]

4．函数y＝3－2cos的最大值为        ，此时x＝        .

5　＋2kπ(k∈Z)　[函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝π＋2kπ(k∈Z)．]

考点一　三角函数的定义域                  

1．函数y＝的定义域为        ．

　[要使函数有意义，必须有

即

故函数的定义域为

2．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为        ．

　[函数有意义，则

即

解得

所以2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，

所以函数的定义域为

3．函数y＝的定义域为        ．

　[法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x.

法二：sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以定义域为

点评：若定义域中含kπ或2kπ应注明k∈Z.

考点二　三角函数的值域(最值)                

[典例1]　(1)已知函数f (x)＝2sin2x＋2sin xcos x－，则函数f (x)在区间上的值域是        ．

(2)(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x)＝sin－3cos x的最小值为        ．

(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为        ．

(1)(－1,2]　(2)－4　(3)　[(1)f (x)＝2sin2x＋2sin xcos x－＝(1－cos 2x)＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝2sin.

∵＜x＜，

∴＜2x－＜，

∴－＜sin≤1，

∴－1＜2sin≤2，

即函数f (x)在区间上的值域是(－1,2]．

(2)∵f (x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，

令cos x＝t，则t∈[－1,1]．

∴f (t)＝－2t2－3t＋1＝－2＋，

易知当t＝1时，f (t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.

故f (x)的最小值为－4.

(3)设t＝sin x－cos x，

则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，

且－≤t≤.

∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．

当t＝1时，ymax＝1；

当t＝－时，ymin＝－－.

∴函数的值域为.]

点评：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，令t＝ωx＋φ，求出t的范围，再根据y＝sin t的图象求sin t的值域，这是常用的方法．

1．函数f (x)＝3sin在区间上的值域为        ．

　[当x∈时，2x－∈，

∴sin∈，

故3sin∈，

∴函数f (x)在区间上的值域为.]

2．函数f (x)＝sin2x＋cos x－的最大值是        ．

1　[依题意，f (x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－＋1，

因为x∈，所以cos x∈[0,1]，

因此当cos x＝时，f (x)max＝1.]

考点三　三角函数的单调性                

　求三角函数的单调区间

[典例2－1]　(1)函数f (x)＝3sin的一个单调递减区间是(　　)

A．   B．

C．   D．

(2)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是        ．

(1)B　(2)　[(1)f (x)＝3sin

＝－3sin.

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，

＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

k＝0时，≤x≤，

k＝1时，π≤x≤π，

k＝－1时，－≤x≤－，

∴是f (x)的一个单调递减区间，故选B．

(2)∵y＝sin x＋cos x＝sin，

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．

∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，

又x∈，∴函数的单调递增区间为.]

点评：本例(2) 在整体求得函数y＝sin x＋cos x的增区间后，采用对k赋值的方式求得x∈上的区间．

　已知三角函数的单调性求参数

　已知单调区间求参数范围的三种方法

[典例2－2]　(1)(2020·西安模拟)已知ω＞0，函数f (x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)

A．(0,2]   B．

C．   D．

(2)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)

A．    B．    C．    D．π

(1)D　(2)A　[(1)法一：(反子集法)∵x∈，∴ωx＋∈.

∵f (x)在上单调递减，

∴

解得

又ω＞0，k∈Z，

∴k＝0，此时≤ω≤，故选D．

法二：(子集法)由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，得＋≤x≤＋，k∈Z，

因为f (x)＝sin在上单调递减，

所以解得因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，

所以≤ω≤，即ω的取值范围为.故选D．

(2)f (x)＝cos x－sin x＝cos，

由0≤x＋≤π得－≤x≤π.

∴是f (x)的一个单调递减区间．

由题意知[－a，a]⊆，

∴0＜a≤，则a的最大值为，故选A．]

1．(2020·湖南省湘东六校联考)函数f (x)＝sin－，则下列表述正确的是(　　)

A．f (x)在上单调递减 

B．f (x)在上单调递增

C．f (x)在上单调递减 

D．f (x)在上单调递增

D　[f (x)＝sin－，由2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，当k＝0时，x∈，所以函数f (x)在上单调递增，故选D．]

2．已知函数f (x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若f (x)在区间上单调递增，则φ的取值范围是(　　)

A．   B．

C．   D．∪

C　[∵函数f (x)＝－2sin(2x＋φ)在区间上单调递增，∴函数y＝2sin(2x＋φ)在区间上单调递减，

由＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ－≤x≤＋kπ－，k∈Z，∴＋kπ－≤，≤＋kπ－，k∈Z，∴＋kπ≤≤＋kπ，k∈Z，＋2kπ≤φ≤＋2kπ，k∈Z，∵|φ|＜π，∴令k＝0，解得≤φ≤，∴φ的取值范围是.故选C．]

3．函数g(x)＝－cos的单调递增区间为        ．

，　[g(x)＝－cos＝－cos，

欲求函数g(x)的单调递增区间，

只需求函数y＝cos的单调递减区间．

由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

因为x∈，

所以函数g(x)的单调递增区间为，.]

4．若函数f (x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f ＝        .

　[由题意知＝－＝，故T＝π，

所以ω＝＝2，

又因为f ＝1，所以sin＝1.

因为|φ|＜，所以φ＝，

即f (x)＝sin.

故f ＝sin＝cos ＝.]

考点四　三角函数的周期性、奇偶性、对称性 

　三角函数的周期性

[典例3－1]　(1)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)

A．f (x)＝|cos 2x|   B．f (x)＝|sin 2x|

C．f (x)＝cos|x|   D．f (x)＝sin|x|

(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)

A．f (x)的最小正周期为π，最大值为3

B．f (x)的最小正周期为π，最大值为4

C．f (x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．f (x)的最小正周期为2π，最大值为4

(1)A　(2)B　[(1)对于选项A，作出y＝|cos 2x|的部分图象，如图①所示，则f (x)在上单调递增，且最小正周期T＝，故A正确．

对于选项B，作出f (x)＝|sin 2x|的部分图象，如图②所示，则f (x)在上单调递减，且最小正周期T＝，故B不正确．

对于选项C，∵f (x)＝cos|x|＝cos x，

∴最小正周期T＝2π，故C不正确．

对于选项D，作出f (x)＝sin|x|的部分图象，如图③所示．显然f (x)不是周期函数，故D不正确．故选A．

图①　　　　　　　　　　图②

图③

(2)f (x)＝2cos2x－sin2x＋2＝2cos2x－sin2x＋2sin2x＋2cos2x

＝4cos2x＋sin2x＝3cos2x＋1＝(1＋cos 2x)＋1

＝cos 2x＋，

因此函数f (x)的最小正周期为π，最大值为＋＝4，故选B．]

点评：带绝对值的三角函数求周期时，一般画出函数的图象，结合图象求周期．

　三角函数的奇偶性

[典例3－2]　已知函数f (x)＝3sin，φ∈(0，π)．

(1)若f (x)为偶函数，则φ＝        ；

(2)若f (x)为奇函数，则φ＝        .

(1)π　(2)　[(1)因为f (x)＝3sin为偶函数，

所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，

又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.

(2)因为f (x)＝3sin为奇函数，

所以－＋φ＝kπ，k∈Z，

又φ∈(0，π)，

所以φ＝.]

　三角函数的对称性

[典例3－3]　(1)已知函数f (x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)

A．关于点对称   B．关于点对称

C．关于直线x＝对称   D．关于直线x＝对称

(2)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为        ．

(1)B　(2)－　[(1)因为函数f (x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，

即f (x)＝2sin.

令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，

故f (x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)，

令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)．

故f (x)的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．

(2)由题意得f ＝sin＝±1，

∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．

∵φ∈，∴φ＝－.]

点评：(1)已知x＝a是函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的一条对称轴，则f (a)＝±A，即ωa＋φ＝kπ＋，k∈Z.

(2)已知点(b,0)是函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的一个对称中心，则f (b)＝0，即ωb＋φ＝kπ，k∈Z.

1．函数f (x)＝的最小正周期为(　　)

A．    B．    C．π    D．2π

C　[∵f (x)＝＝＝sin 2x，

∴函数f (x)的最小正周期为T＝＝π，故选C．]

2．(2020·广西桂林模拟)已知函数f (x)＝sin(ω＞0)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，那么函数y＝f (x)的图象(　　)

A．关于点对称   B．关于点对称

C．关于直线x＝对称   D．关于直线x＝－对称

B　[由题意知函数f (x)的周期T＝×2＝，

由＝得ω＝4，

∴f (x)＝sin.

由f ＝sin＝－1知，f (x)的图象关于直线x＝－对称．

由f ＝sin 0＝0知，f (x)的图象关于点对称，故选B．]

3．若函数y＝3cos为奇函数，则|φ|的最小值为        ．

　[由题意得φ－＝kπ＋，k∈Z，

∴φ＝＋kπ，k∈Z，

当k＝－1时，φ＝－，|φ|＝，|φ|的最小值为.]