2021-2022学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 抛物线的焦点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 双曲线的渐近线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 复平面内，复数表示的点所在象限为(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 已知函数曲线在点处的切线方程为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 给出下列说法：
   用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好；
   两个模型中残差平方和越小的模型的拟合效果越好；
   在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好；
   随机变量服从正态分布，若，则．
   则正确说法的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知抛物线上一点与焦点的距离为，为坐标原点，则面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 某社区拟从名男生、名女生这名志愿者中选出人到某小区协助新冠肺炎防控工作，要求选出的人中既有男生又有女生，则不同的选法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

9. 双曲线具的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线谢后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：，为双曲线：的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点，处反射后射出共线，且，则的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若函数在上有且只有一个零点，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，给出以下结论：
    的离心率；
    两渐近线夹角为；
    为定值；
    的最小值为．
    则所有正确结论为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知，则______．
14. 已知双曲线过三点，，中的两点，则的方程为______．
15. 已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为______．
16. 已知抛物线：，点是的准线上一个动点，过点作的两条切线，切点分别为，则直线必然经过定点，该定点坐标为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知曲线在点处的切线方程为．
    求、的值；
    求的极值．
18. 越来越多的人喜欢运动健身，其中徒步也是一项备受喜欢的运动，某单位为了鼓励更多的职工参与徒步运动，对一个月内每天均达到步及以上的职工授予“运动达人”称号，其余的职工称为“运动参与者”为了解职工的运动情况，选取了该单位名职工某月的运动数据进行分析，结果如表：

根据如表，判断是否有的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关系？
从具有“运动达人”称号的职工中按年龄段采用分层抽样的方法抽取人参加某地区“万步有约”徒步大赛，若从选取的人中随机抽取人作为代表参加开幕式，记“抽取的人中，中年职工的人数”为，求的分布列和数学期望．
附表及公式：

其中．

19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为．
    求的方程；
    经过点的直线交于，两点，且为线段的中点，求的方程．
20. 某班甲、乙两个小组各挑选了名同学分别组成甲、乙队进行足球射门比赛．规定每名队员各射门一次，射中则为本队得分，否则得分，一个队的名队员得分之和为该队总分．已知甲队人每人射中的概率均为；乙队人每人射中的概率分别为，设每人射中与否相互之间没有影响，用表示甲队总分．
    求的分布列及数学期望；
    记“两队总分之和为分且甲队总分不超过乙队总分”为事件，求事件的概率．
21. 已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线交于，两点．当时，．
    求的方程；
    若关于轴的对称点为，当变化时，求证：直线过定点，并求该定点坐标．
22. 设函数，．
    求的单调区间；
    若时，恒成立，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：抛物线中，，
则焦点坐标为，
故选：．
根据抛物线解析式，确定出焦点坐标即可．
此题考查了抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
令双曲线方程的右边为，整理后就得到双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“”为“”即可求出渐近线方程．属于基础题．
【解答】

解：双曲线标准方程为，
其渐近线方程是，
整理得
故选B．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
利用复数的运算公式，即可解出．
本题考查了复数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
所以，
所以切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即；
故选：．
首先求出，再求出函数的导函数，即可得到，最后利用点斜式求出切线方程．
本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：展开式中的项为：
，
展开式中的系数为．
故选：．
利用计数原理及排列组合数公式分类即可求解．
本题考查计数原理及排列组合数公式的应用，分类讨论思想，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对，用相关指数来刻画回归效果，越大约接近说明拟合效果越好，错误；
对，两个模型中残差平方和越小的模型的拟合效果越好，正确；
对，在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，正确；
对，随机变量服从正态分布，对称轴为，又，
，正确．
故正确的个数是．
故选：．
根据相关指数的概念，残差的概念，正态分布的性质即可判断．
本题考查相关指数的概念，残差的概念，正态分布的性质，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，根据抛物线上点的性质得，
，，代入中，解得，
面积为．
故选：．
设，根据抛物线上点的性质得，从而求出，再将点代入抛物线方程求出，最后利用三角形面积公式即可求解．
本题考查抛物线上点的性质，三角形面积公式，方程思想，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：从名男生、名女生这名志愿者中选出人，选出的人中既有男生又有女生，
不同的选法共有种．
故选：．
利用补集思想即可求解．
本题考查组合问题，组合数公式的应用，补集思想的应用，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，且，
，
将代入双曲线：中，可解得，
，又，，
，
，
，
解得．
故选：．
由题意可得，且，从而得，再计算，从而得，，的方程，接着再转化为，的方程，从而得的方程，解方程即可得解．
本题考查双曲线的性质，方程思想，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数在上有且只有一个零点，
方程在上有且只有一个实根，
即方程在上有且只有一个实根，
与在上仅有一个交点，
又，，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
又时，；时，，
要使与在上仅有一个交点，
则．
故选：．
将函数的零点个数转化成方程的根的个数，再转化为图象交点个数，接着通过导数研究函数的图象，最后数形结合即可求解．
本题考查函数的零点与方程的根、方程的根与图象交点的横坐标之间的转化，考查导数研究函数的单调性及最值，数形结合思想，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：令，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，，
，
，．
故选：．
令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断，，能求出结果．
本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：双曲线的渐近线的方程为，
因为圆，
所以圆心，半径，
所以圆心到渐近线的距离，
解得，
所以双曲线的方程为，
对于：，故正确；
对于：由上可知两将近线的斜率，，
不妨设两渐近线的夹角，则，
所以两渐近线的夹角为，故错误；
对于：设到渐近线的距离，
点到渐近线的距离，
所以，
又点在双曲线上，
所以，则，
所以，故正确；
对于：联立直线与渐近线，得，
解得，，
即
同理可得，
所以
，，
所以，故正确，
故选：．
根据题意可得，圆心到渐近线的距离，解得对于：，即可判断是否正确；对于：不妨设两渐近线的夹角，则，所以两渐近线的夹角为，故错误；对于：设到渐近线距离，，再计算，即可判断是否正确；对于：联立直线与渐近线，解得点的坐标，同理可得点坐标，再计算，即可判断是否正确．
本题考查双曲线的性质，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，
则．
故答案为：．
利用赋值法即可求解．
本题考查赋值法的应用，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由双曲线的对称性可知，
双曲线只能过三点中的与，
，解得，
所求双曲线的方程为．
故答案为：．
根据双曲线的对称性可知双曲线只能过与，再代入标准方程建立，的方程组，解方程组即可得解．
本题考查双曲线的对称性，方程思想，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，，
，
又足，，
又，，
在上单调递减，
令，则，不等式可化为：
，即，又，
原不等式可化为，其中，
原不等式可化为，其中，又在上单调递减，
原不等式可化为且，
，又，
，
，
故原不等式的解集为．
故答案为：．
构造函数，，然后利用导数研究的单调性，接着利用换元法及的单调性将所求不等式化简，从而得不等式的解集．
本题考查利用函数的单调性解抽象不等式，利用导数研究函数的单调性，构造法，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，抛物线的方程为，其准线为，
又，设两切点分别为，，
设为，
则根据导数的几何意义可得：
切线方程为，
即，
又点在抛物线上，，
切线方程可化为，
切线方程为，
由对称性同理可得：切线方程可化为，
又点在两切线上，同时满足两切线方程，
，即，两点同时满足方程，
故AB直线方程为，
直线过定点．
故答案为：．
先利用导数分别求出两切点处的切线方程，再利用曲线方程转化为一次式，最后利用方程同解原理即可得直线，从而得直线所过的定点．
本题考查利用导数求曲线的切线，方程同解原理，抽象运算能力，属中档题．
 

17.【答案】解：由函数的解析式可得，
由切线方程可知切点坐标为，切线的斜率为，
从而有：，求解方程组可得，
故，．
由题意可得，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故函数的极大值为，函数的极小值为． 

【解析】由题意可知切线方程可知切点坐标为，切线的斜率为，结合导函数的解析式得到关于，的方程组，求解方程组可得，的值；
结合的结论可得，利用导数研究函数的单调性，然后求解函数的极值即可．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数求函数的极值等知识，属于基础题．
 

18.【答案】解：，
有的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关系；
具有“运动达人”称号的职工人数为，其中中年职工人，青年职工人，
按年龄段采用分层抽样的方法从有“运动达人”称号的职工中抽取人，
则抽取的人中，中年职工人，青年职工人，
再从这人中选人，中年职工的人数，，，
，，，
随机变量的分布列为：

． 

【解析】计算的观测值，结合临界值表即可得解；
由题意可得的可能取值为，，，计算出在不同取值下的概率，从而得的分布列，从而再得的数学期望．
本题考查独立性检验原理，分层抽样，古典概型的概率公式，超几何分布，离散型随机变量的均值，属中档题．
 

19.【答案】解：由点到直线的距离公式易得：双曲线的焦点到渐近线的距离为，
又双曲线的一条渐近线方程为，，，
双曲线的方程为；
设两交点分别为，，则，两点都满足方程，
，
两式相减可得，两边同时除以展开可得：
，又，且，
，，又在直线上，
直线方程为，即，
又点在双曲线开口内，且斜率为，
直线与双曲线有两个交点，
故AB直线方程为，
即直线的方程为． 

【解析】通过焦点到该渐近线的距离及渐近线方程建立，的方程组，再解方程组即可得解；
利用点差法求出所求直线的斜率，从而得所求直线，最后再检验即可得解．
本题考查双曲线的性质，点差法解中点弦问题，抽象运算能力，属中档题．
 

20.【答案】解：由题意可得：可能的取值为，，，，且，
，，，，，
的分布列为：

；
用表示乙队总分，
则

． 

【解析】根据二项分布的概念及概率公式即可求解；
根据互斥事件的并事件的概率加法公式，独立事件的积事件的概率乘法公式即可求解．
本题考查二项分布的概念及概率公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，独立事件的积事件的概率乘法公式，属中档题．
 

21.【答案】解：抛物线的焦点为，又直线过点，当斜率时，
直线的方程为，联立可得：
，设，，
则，
根据抛物线上点的性质可得，
，所求抛物线的方程为；
证明：由知抛物线的方程为，焦点为，
设直线方程为，，联立可得：
，设，，
则，
又关于轴的对称点为，，
，
直线方程为，
即，，将代入可得：
，又，
令时，可得，
直线过定点． 

【解析】将直线的方程为与抛物线联立得关于的一元二次方程，再设而不求，通过根与系数的关系及焦点弦长公式建立的方程即可求解；
设直线方程为，，联立得关于的一元二次方程，再设而不求将直线用，表示，最后将代入即可得解．
本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的相交关系，抛物线中焦点弦长公式，直线过定点问题，设而不求法，抽象运算能力，属中档题．
 

22.【答案】解：由已知，
当时，在恒成立，在上单调递增；
当时，由，得，
若时，，在上单调递增，
若时，，在上单调递减；
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
时，恒成立，
即在时恒成立，
当时，恒成立，即，又，则．
下面证明：当时，在时恒成立．
先证明时，，
由知，当时，在上单调递增，在上单调递减；
则，即，有，
所以当时，，要证明，
只需证明对任意的，恒成立，
令，则，
由，得，
当即时，在上恒成立，
则在上单调递增，于是
．
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
于是，
令，则，
则在上单调递增，
于是，所以恒成立，
所以时，不等式恒成立，
因此，的范围是． 

【解析】分别讨论当及时的正负，从而得到在上的单调区间；
将原不等式转化为在时恒成立，先证得恒成立，再证对任意的，恒成立即可，通过新设函数，求导判断单调性得到时，不等式恒成立．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．