浙江省2022年中考数学真题分类汇编07四边形及答案

浙江省2022年中考数学真题分类汇编07四边形

一、单选题

1．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（　　）

A．1cm       B．2cm C．( －1)c．  D．(2 －1)cm

2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（　　）

A．8        B．16      C．24       D．32

3．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（　　）

A．28 B．14 C．10 D．7

4．将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　　)

A．正方形纸片的面积 B．四边形EFGH的面积

C．△BEF的面积 D．△AEH的面积

5．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE=AD，DF=2，则BD的长为(　　)

A． B．3 C． D．4

6．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（　　）

A．BD=10 B．HG=2 C．EG∥FH D．GF⊥BC

7．如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是对角线 上的动点，且 ， ， 分别是边 ，边 上的动点．下列四种说法：

①存在无数个平行四边形 ；
②存在无数个矩形 ；
③存在无数个菱形 ；
④存在无数个正方形 ．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝ ，则FG的长是（　　）

A．3 B． C． D．

9．如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A'，B'，A'E与BC相交于点G，B'A'的延长线过点C，若 ，则 的值为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

10．如图，在 △ABC中， ∠ACB=90° ， D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为　     　．

11．如图， △ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′  ，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为　     　 ．

12．如图，在菱形ABCD中，  AB=1，∠BAD=60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形 AENH 和菱形 CGMF ，使点E，F，G，H分别在边 AB、BC、CD、DA 上，点M，N在对角线 AC 上．若  AE=3BE，则 MN 的长为　     　．

13．如图，在菱形 ABCD中，∠A=60° ，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M 处，折痕分别与边 AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为　     　；当点M的位置变化时，DF长的最大值为　     　．

14．如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y= (x>0)的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为 时， 的值为　     　，点F的坐标为　             　．

三、作图题

15．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．

（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．(画出一个即可)

（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．

四、解答题

16．图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形 ABCD 各边上分别取点 B1，C1，D1，A1，使 AB1=BC1=CD1=DA1=AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1  ；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点 B2， C2， D2，A2，使A1B2=B1C2=C1D2=D1A2=A1B1，依次连接它们，得到四边形 A2B2C2D2 ；…如此继续下去，得到四条螺旋折线．

（1）求证：四边形A1B1C1D1 是正方形；

（2）求 的值；

（3）请研究螺旋折线BB1B2B3 …中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．

17．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD.求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．

18．小惠自编一题：“如图在四边形ABCD中对角线AC、BD；交于点O，AC⊥BD，OB=OD。求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流。

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．

19．如图，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，动点 E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A， D关于直线 BE的对称点分别为M，N，连结MN ．

（1）如图，当E在边AD上且 DE=2时，求 ∠AEM的度数．

（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．

（3）当直线MN恰好经过点 C 时，求DE的长．

20．如图，在菱形ABCD中，AB=10. ，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.

（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.

（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.

（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？

21．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．

（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．

（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：

（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求 的值．

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】B

3．【答案】B

4．【答案】C

5．【答案】D

6．【答案】D

7．【答案】C

8．【答案】B

9．【答案】A

10．【答案】10

11．【答案】8

12．【答案】

13．【答案】；

14．【答案】；（ ，0）

15．【答案】（1）解：答案不唯一。

（2）解：如图

16．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠B=90°，
又∵AB1=BC1=CD1=DA1=AB，
∴AA1=BB1=.
∴△AB1A1≌△BC1B1.
∴A1B1=B1C1，∠AB1A1=∠BC1B1.
又∵∠BC1B1+∠BB1C1=90°，
∴∠BB1C1+∠AB1A1=90°.
∴∠A1B1C1=90°.
同理可证：B1C1=C1D1=D1A1=A1B1.
∴四边形A1B1C1D1是正方形.

（2）解：∵AA1=BB1=， ，
设AA1=a，则AB1=4a，AB=5a，
∴
∴.

（3）解：相邻线段的比为或.
理由：∵BB1=，，
∴，，
∴
同理可得

∴相邻线段的比为或

17．【答案】解：赞成小洁的说法，补充的条件为AB=CB（或AD=DC），证明如下：
∵ AC⊥BD，OB= OD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB= AD，CB=CD，
∵AB=CB，
∴AB= AD=CB=CD，
∴四边形ABCD为菱形.

18．【答案】解：赞成小洁的说法，补充的条件为AB=CB（或AD=DC），证明如下：
∵ AC⊥BD，OB= OD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB= AD，CB=CD，
∵AB=CB，
∴AB= AD=CB=CD，
∴四边形ABCD为菱形.

19．【答案】（1）解：∵DE=2，

∴AE＝AB＝6，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∴∠AEB＝∠ABE＝45°．

由对称性知∠BEM＝45°，

∴∠AEM＝90°

（2）解：如图1，∵AB=6，AD=8，

∴BD=10，

∵当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10，

∴CN＝2．

由对称性得，∠ENC＝∠BDC，

∴cos∠ENC＝ ，

得EN＝ ，

∴DE＝EN＝ ．

直线MN与直线BD的位置关系是MN∥BD．

由对称性知BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，

∴△BMN≌△DCB，

∴∠DBC＝∠BNM，

所以MN∥BD．

（3）解：①情况1：如图2，当E在边AD上时，由直线MN过点C，

∴∠BMC＝90°，

∴MC＝ ．

∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，

∴△BCM≌△CED，

∴DE＝MC＝ ．

②情形2：如图3，点E在边CD上时，

∵BM＝6，BC＝8，

∴MC＝ ，CN＝8- ．

由∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，

∴△BMC∽△CNE，

∴ ，

∴EN ，

∴DE＝EN＝ ．

综上所述，DE的长为 或 ．

20．【答案】（1）证明：如图1，

∵菱形ABCD，

∴BA=BC，

∴∠BAC=∠BCA.

∵FG∥BC，

∴∠FGA=∠BCA，

∴∠BAC=∠FGA，

∴FA=FG.

（2）解：记AC中点为点O.

①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，

∵在Rt△ABM中，AM= AB=6，

∴

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴AF=ME=1，

∴AG=AF+FG=1+6=7.

②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.

同理，FG=EF=AN=6，CN=2，

AF=NE= CN=1，

∴AG=FG-AF=6-1=5

∴AG=7或5.

（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.

①当点E在线段BM上时，0<s≤8.设EF=3x，则BE=4x，GH=EF=3x，

i)若点H在点C的左侧，s+8≤10，即0<s≤2，如图4，

CH=BC-BH=10-(4x+8)=2-4x

由 ，得 ，

即 ，

∴ ，解得 ，

∴.s=4x=1

由 ，得 ，即 ，

∴ ，解得 ，

∴ .

ii)若点H在点C的右侧， ，即 ，如图5，

.

由 ，得 ，

即 ，

∴ ，方程无解.

由 ，得 ，即 ，

∴ ，解得 ，

∴

②当点E在线段MC上时，8<s≤10，如图6，

EF=6，EH=8，BE=s.

∴BH=BE+EH=s＋8，CH=BH-BC=s-2.

由 ，得 ，即 ，

∴ ，方程无解.

由 ，得 ，即 ，

∴ ，解得 (舍去).

③当点E在线段CN上时，10≤s≤12，如图7，过点C作CJ⊥AB于点J，

在Rt△BJC中，BC=10，CJ=6，BJ=8.

∵EH=BJ=8，JF=CE，

∴BJ+JF=EH+CE，即CH=BF，

又∵GH=EF，∠GHC=∠EFB=Rt∠，

∴△GHC≌△EFB，符合题意，

此时，10≤s≤12.

④当点E在线段ND上时，12<s<20，

∵∠EFB>90°，

∴△GHC与△BEF不相似.

综上所述，s满足的条件为：s=1或 或 或10≤s≤12

21．【答案】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：
∵正方形ABCD，
∴∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，
∵CF=CH，
∴Rt△CBH≌Rt△CDF（HL），
∴∠BCH=∠DCF，
∴∠HCA=∠FCA，
∴AC⊥FH.

（2）解：如图2，过点K作KM⊥AB于点M，

∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B，
∴MK∥BC，
∴△AMK∽△ABC，
∴AK：AC=MK：BC①，
∵四边形AFPH为圆内接四边形，
∴∠PHA=∠DFC，
又∵∠DFC=∠BHC，
∴∠PHA=∠BHC，即∠KHM=∠BHC，
∴△HMK∽△HBC，
∴KH：CH=KM：CB②，
由①和②得：KH：CH=AK：AC，
即.

（3）解：如图3，

由（2）结论可得：，△HMK∽△HBC，
∵k为AC中点，
∴=，
∴MH：BH=1：2，
设MH=m，则BH=2m，
∵KM=BC=AB，AM=MB=AB，
∴KM=AM=MB=3m，AH=4m，
∴BC=AB=6m，FH=4m，
∴CH=CF==m，EH=AH=2m，
∵∠FAH=90°，
∴∠FPH=90°，
又∵∠PFH=∠EHC，
∴△PFH∽△EHC，
∴PF：EH=FH：HC，即PF：2m=4m：m，
∴PF=m，
∴CP=CF-PF=m-m=m，
∴.