2021-2022学年贵州省黔东南州高一（下）期末数学试卷-（Word解析版）

2021-2022学年贵州省黔东南州高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共9小题，共45分）

1. 复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 独角兽企业被视为新经济发展的一个重要风向标，年中国独角兽企业行业分布广泛，覆布图图中的数字表示各行业独角兽企业的数量，其中“北上广”三地的独角兽企业数量的总占比为则下列说法正确的是(    )

A. 房产居家和消费行业的独角兽企业数量的总占比不足
B. 人工智能，汽车交通以及智能硬件行业的独角兽企业数量的总占比超过
C. “北上广”三地的独角兽企业共有家
D. 电子商务行业的独角兽企业数量最多

3. 已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某学校高一年级、高二年级、高三年级的学生数量之比为：：，为了解该校学生的住宿情况，现用比例分配的分层抽样方法抽取一个容量为的样本，在样本中，高二年级学生比高一年级多位，比高三年级多位，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，古希腊数学家阿基米德的基碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．记图中圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，则下列说法正确的是(    )

A. ：：，：：
B. ：：，：：
C. ：：，：：
D. ：：，：：

7. 下列四个等式中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在平行四边形中，为的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知个数据的第百分位数是，则下列说法正确的是(    )

1. 这个数据中至少有个数小于或等于
   B. 把这个数据从小到大排列后，第个数据是
   C. 把这个数据从小到大排列后，第个与第个数据的平均数是
   D. 把这个数据从小到大排列后，第个与第个数据的平均数是

二、多选题（本大题共3小题，共15分）

10. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是(    )

A. 直线与直线异面
B. 直线与直线共面
C. 直线与直线异面
D. 直线与直线共面

11. 关于函数，下列说法中错误的是(    )

A. 其表达式可写成
B. 曲线关于点对称
C. 在区间上单调递增
D. ，使得恒成立

12. 若点在棱长为的正方体的表面运动，点为棱的中点，则下列说法中正确的是(    )

A. 当点在底面内运动时，三棱锥体积不变
B. 当点在底面内运动时，点到平面的距离不变
C. 当直线与直线所成的角为时，线段长度的最大值为
D. 当直线与直线所成的角为时，点的轨迹长度为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20分）
 

13. 已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，则圆柱的表面积为______．
14. 如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______．

15. 如图的平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图的“正六面体”，则______．

16. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．
    求角的大小；
    若，，求的值．
18. 已知函数是指数函数．
    求实数的值；
    解不等式．
19. 已知向量，，，设函数．
    求函数在上的零点；
    当时，关于的方程有个不等实根，求的取值范围．
20. 统计某校名学生期中考试化学成绩单位：分，由统计结果得如下频数分布表和频率分布直方图：

求出表中，的值；
估计该校学生化学成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表及中位数保留一位小数；
根据以上抽样调查数据，能否认为该校学生化学成绩达到“化学成绩不低于分的学生所占比例不低于该校全体学生的”的考核标准？

21. 如图，在三棱柱中，，
    证明：平面平面；
    设是棱上一点，且，求三棱锥体积．

22. 已知函数．
    判断的单调性并证明；
    设，，若存在，使得成立，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由图可得将图中各行业数量加和，可知年我国独角兽企业共有家，
对：房产居家和消费行业的独角兽企业数量为，总占比为，故A错误，
对：人工智能，汽车交通以及智能硬件行业的独角兽企业数量为，总占比不足，故B错误；
对：“北上广”三地的独角兽企业数量的总占比为，家，故C错误．
对：电子商务行业的独角兽企业数量为，最多，故D正确．
故选：．
根据给出的图中信息依次分析选项即可．
本题考查了简单的合情推理，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
集合，，
，
故选：．
求出对数函数的定义域得到，求出正弦函数的值域得到，再求交集即可．
此题考查了交集及其运算，对数函数的定义域，正弦函数的值域，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
由正定理得，
由余弦定理得，
故．
故选：．
由已知利用正弦定理可求的值，利用余弦定理可求的值，即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设抽取的高一、高二、高三学生的数量分别为，，，
则，且，解得，，，
故．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样的的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
则圆柱的表面积为，体积为，
球表面积为，体积为，
所以：：，：：．
故选：．
设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，求半径为，再利用体积公式和表面积公式计算即可．
本题考查了圆柱和球的体积公式和表面积公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于，，，故A错误，
对于，原式，故B错误，
对于，原式，故C错误，
对于，，故D正确．
故选：．
利用两角和的正切公式判断，利用二倍角的公式判断，利用辅助角公式判断．
本题考查三角恒等变换的应用，诱导公式的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知：．
得到：．
故．
故选：．
以为基底，表示，又，则可得出，的关系式，求解计算可得结果．
本题主要考查向量的运算法则，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由百分位数的概念可判断A正确；
根据百分位数的计算方法，第百分位数，为整数，
把这个数据从小到大排列后，不一定是第个数据，选项B错误；
把这个数据从小到大排列后，是第个与第个数据的平均数，
则选项C正确，选项D错误．
故选：．
根据百分位数的概念可判断；根据百分位数的计算方法可判断．
本题主要考查百分位数和平均数，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，点与点重合，故A错误；
，且，四边形是平行四边形，
，与是共面直线，故B正确；
，与相交，故C错误；
，不在一个平面内，且与既不平行也不相交，
，是异面直线，故D错误．
故选：．
先将正方体复原，再判断异面或共面即可．
本题考查了空间中直线与直线的位置关系，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：函数整理得；
，所以不正确；
对于：当时，有，所以不正确；
对于：当时，有，因为，所以C正确；
的最小正周期，若，，使得恒成立，说明是的一个周期，而，与“最小正周期为”矛盾，因此不正确．
故选：．
对于：利用三角函数关系式的变换和三角函数的诱导公式的应用求出A错误；
对于：利用余弦型函数的性质的应用判断不正确；
对于：利用函数的定义域求出，故C正确；
对于：利用函数的周期关系式和是的一个周期，而，与“最小正周期为”出现矛盾，进一步确定D错误．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，由题意知，面积不变，
到平面距离改变，改变，故A错误；

对于，点在底面内运动时，平面平面，
到平面的距离不变，故B正确；
对于，分别取，中点，，连接，，，

首先与平行且相等，与平行且相等，
因此与平行且相等，是平行四边形，
在同一平面内，正方形，由题意得，，
所以，所以为，的交点，
所以，又平面，平面，所以，
，，平面，所以平面，而，则平面，
所以点轨迹是矩形除点，是矩形，
当与重合时，最大，且最大值为，故C正确；
对于，当直线与直线所成的角为时，连接，，

在正方形内，以为圆心，为半径作圆弧，由题意得点轨迹就是曲边三角形除去点，
其长为，故D错误．
故选：．
对于，由，面积不变，到平面距离改变，从而改变；对于，点在底面内运动时，平面平面，从而到平面的距离不变；对于，分别取，中点，，连接，，，推导出是平行四边形，，，平面，，从而点轨迹是矩形除点，是矩形，当与重合时，最大，且最大值为；对于，当直线与直线所成的角为时，连接，，以为圆心，为半径作圆弧，由题意得点轨迹就是曲边三角形除去点，由此判断．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆柱的轴截面是边长为的正方形，
圆柱底面圆的直径长为，高为．
则圆柱的表面积．
故答案为．
由圆柱的轴截面是边长为的正方形可得圆柱底面圆的直径长为，高为．
考查了学生的空间想象力．
 

14.【答案】 

【解析】解：三个力，，处于平衡状态，
，
，，与的夹角为，
，
的大小为，
故答案为：．
先得到，再利用平面向量的数量积运算求解即可．
本题考查了平面向量的物理意义，平面向量的数量积运算，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为，如图，在棱长为的正四面体中，

取的中点，连接，，作平面，垂足在上．
则，．
故答案为：．
取的中点，连接，，作平面，垂足在上．可求得，从而可求．
本题考查求两点间的距离，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：依题意，
由，得，
于是得的一个单调递增区间是，
因在为增函数，
因此
则，解得，
即最大值为．
故答案为：．
根据函数的图象的平移变换得到的解析式，根据在上为增函数得到关于的不等式，再求出的范围．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由正弦定理得：，而，
，故，
，则，
，则，
．
由余弦定理可得，解得，
，，则． 

【解析】由正弦定理边角关系可得，再应用二倍角正弦公式化简，即可求角的大小；
应用余弦定理先求出，再求的值．
本题主要考查正弦定理及其应用，余弦定理及其应用等知识，属于中等题．
 

18.【答案】解：由题意函数是指数函数，
可知，求得．
由得，不等式即，
在上单调递增，
，解得，
故原不等式的解集为． 

【解析】由题意可得从而可求出实数的值．
由可得，再由幂函数的单调性可得，解不等式组可得答案．
本题主要考查指数函数的定义、单调性和特殊点，不等式组的解法，属于基础题．
 

19.【答案】解：，，

，
令，得，，
，或，，
，或，，
，，，，，，
在上零点为，，，，．
令，则，
则在单调递增，在单调递减，
且，，，
若有个不等实根，
则，．
的取值范围为． 

【解析】利用向量的数量积运算和三角恒等变换化简，再利用正弦函数的图像与性质求解即可．
先求出在时的单调性和最值，再列出不等式求出的取值范围．
本题考查了向量的数量积运算，三角恒等变换，属于中档题．
 

20.【答案】解：由频率分布直方图得：
，
，
．
化学成绩的样本平均数为．
该校学生化学成绩的平均数约为．
第一组频率为：，第二组频率为：，第三组频率为：．
，
中位数落在第三组内，设中位数为
则解得因此，中位数的为．
化学成绩不低于分的学生所占比例约为，
由于该估计值小于，
故不能认为该校学生化学成绩达到“化学成绩不低于分的学生所占比例不低于该校全体学生的的规定． 

【解析】由频率分布直方图先求出，由此能求出和．
由频率分布直方图的性质能求出化学成绩的样本平均数和中位数．
先求出化学成绩不低于分的学生所占比例约为，由于该估计值小于，从而不能认为该校学生化学成绩达到“化学成绩不低于分的学生所占比例不低于该校全体学生的的规定．
本题考查频数、平均数、中位数、频数分布表、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

21.【答案】证明：如图，连接，
在三棱柱中，已知，．
由余弦定理可得，
则，，得，
又，，
而，平面，
而平面，由平面与平面垂直的判定定理可得平面平面；
解：取的中点，连接，
，，
又由知平面平面，平面平面，上平面，
求解三角形得，，则，
，，
又，
三棱锥的体积为． 

【解析】由已知求解三角形可得，，再由直线与平面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面；
由已知直接利用等体积法求三棱锥体积．
本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
 

22.【答案】解：函数，由，化为，解得．
函数在上单调递增．下面给出证明：
设，则，，
，
，
，
函数在上单调递增．
成立，化为：，即，
而函数在上单调递增，因此不等式，
，
，
函数在上单调递增，其最小值为，的最小值为，函数的最大值为，
存在，使得成立，
，即，
的取值范围是 

【解析】函数，由，化为，解得函数在上单调递增．通过作差利用增函数的定义即可证明结论．
成立，化为：，即，而函数在上单调递增，因此不等式，可得，，利用函数的单调性可得在上的最大值，即可得出的取值范围．
本题考查了增函数的定义证明单调性、不等式的等价转化方法、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．