2021-2022学年辽宁省实验中学、鞍山一中等五校高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年辽宁省实验中学、鞍山一中等五校高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 坐标平面内点的坐标为，则点位于第象限．(    )

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

2. 复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 平面向量、，“”是“”的条件．(    )

A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要

4. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在大衍历中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即对同一“表高”两次测量，第一次和第二次的天顶距分别为和，若第一次“晷影长”是“表高”的倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的倍(    )

A.  B.  C.  D.

5. 甲烷的分子结构中，相邻碳氢键的夹角都相等，设这个角为，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 空间中，对于平面、和直线、、，下列说法正确的是(    )

A. ，，，则与不可能平行
B. ，，则
C. ，，，则与一定是异面直线
D. ，，，则

7. 边长为的等边三角形中，点在边上，点在边上，将的面积分为相等的两部分，若，此时(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在直角中，，为的中点，，在边上，且满足：，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 函数定义域为，且在上是增函数，则(    )

A. 不存在最小值 B. 的最大值是
C. 恒成立 D. 恒成立

10. 如图，正四棱柱，，，为中点，，则(    )

A. 和是异面直线
B. 到平面的距离小于到平面的距离
C. 截正四棱柱的截面图形是四边形
D. 截正四棱柱的截面图形是五边形
 

11. 下列关于平面向量的说法错误的是(    )

A. ，且，则与一定共线
B. ，且，则
C. ，且，，则
D. ，且，，则

12. 下列等式正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 的最小正周期为______．
14. ，，，则实数、、的大小关系是______用“”表示
15. 复数满足：，则的最小值为______．
16. 正三棱台，，、、为棱、、中点，平面、平面、平面交于点，则______注：代表几何体体积

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知，回答下列问题：
    求；
    求．
18. 如图，已知正四棱锥，，，为侧棱中点，为底面的中心．
    求证：平面；
    计算四面体的体积．

19. 如图，在已知圆周上有四点、、、，，，
    求的长以及四边形的面积；
    设，，求的值．

20. 在中，．
    求；
    在边上，，，求面积的最大值．
21. 如图所示，已知斜三棱柱，侧面为菱形，点在底面上的射影恰为的中点，，．
    求证：平面；
    求四面体外接球的表面积．

22. 函数
    说明函数的图像是由函数经过怎样的变换得到的；
    函数，求函数的值域，并指出的最小正周期不需要证明
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，，
则点在第二象限，
故选：．
判断出所在的象限，再根据正余弦的符号即可判断求解．
本题考查了正余弦的象限符号，考查了学生的理解能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数
，
则．
故选：．
利用复数的运算法则、复数的模直接求解．
本题考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
“”是“”的充要条件，
故选：．
利用向量垂直与数量积间的关系，充要条件的定义判定即可．
本题考查了向量垂直与数量积间的关系，充要条件的判定，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：第一次“晷影长”是“表高”的倍，，
，，，，
故第二次“晷影长”是“表高”的倍．
故选：．
由已知可得，进而利用两角差的正切公式可求，可得结论．
本题考查两角差的正切公式的应用，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：甲烷的分子结构中，原子和四个原子构成了一个正四面体，
其中原子位于正四面体的外接球的球心的位置，四个原子位于顶点，
将该正四面体补在正方体，如图，

设正方体棱长为，则正四面体棱长为，
，
，
．
故选：．
依题意构造正四面体模型，将其补成正方体，设出棱长，利用余弦定理能求出结果．
本题考查甲烷的分子结构、正四面体的结构特征、正方体的结构特征、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，若，，则，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，，则或与是异面直线，故C错误；
若，过作平面，使，则，
又，过作平面，使，则，可得，
，，可得，则，故D正确．
故选：．
由空间中直线与平面的位置关系判定；由直线与平面垂直、平面与平面垂直分析线面关系判定；由两平行平面内两直线的位置关系判定；直接证明D正确．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与推理论证能力，是中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为等边三角形的边长为，所以，
因为将的面积分为相等的两部分，，
所以，解得，
在中，由余弦定理可得，所以．

故选：．
由题意，，进而可得，从而在中，利用余弦定理即可求解的长．
本题考查了余弦定理的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：以为原点建立如图坐标系，则，，．


设，其中，．
，．
所以
．
由题意知：．
所以，即．
，其中．
所以当时，取得最大值．
故选：．
以为原点建立坐标系，由得，化简得，根据求解即可．
本题主要考查向量的坐标运算、模长公式和数量积公式，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数定义域为，
，
在上是增函数，
，，，，
故选：．
由题意，利用两角差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得的范围，从而得出结论．
本题主要考查两角差的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，设为中点，为上的点，且，

连接，，则，，，，
，，则四边形为平行四边形，，
为中点，，，必相交不平行，
，必不平行，
而和分别在两平行的平面和平面内，和必无公共点，
则和一定异面，故A正确；
设为中点，连接，则到平面的距离相等，
如图，到平面的距离小于到平面的距离，
到平面的距离小于到平面的距离，故B正确；
连接，并延长交的延长线于，延长到，使得，
则，为中点，连接，，即，
设与交于点，连接，交，于，，
连接，，，即得平面截正四棱柱的截面图形是五边形，故C错误，D正确．
故选：．
根据异面直线的定义判断；利用点到平面的距离判断；作出平面截正四棱锥的截面图形判断．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于选项，若、中至少有一个零向量时，．
若、均为非零向量，当时，则，则．
可得，此时．
若与不垂直，设，则，可设．
由可得，可得，此时．
综上所述，，对．
对于选项，因为，，则，则或，错．
对于选项，由已知、、均为非零向量，不妨取．
则，，此时，错．
对于选项，因为，且，，则，对．
故选：．
利用共线向量的定义可判断选项；利用向量垂直关系的数量积表示可判断选项．
本题主要考查向量的共线定理和向量垂直的数量积，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，，故A正确；
对于，，故B错误；
对于，，故C正确；
对于，






，故D正确．
故选：．
利用二倍角的正弦公式可判断；由特殊角即可判断；利用二倍角的余弦公式即可判断；利用两角和的正弦公式和诱导公式可判断．
本题考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：的最小正周期．
故答案为：．
由题意利用正弦函数的周期公式即可求解．
本题考查了正弦函数的周期公式的应用，考查了函数思想，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
即，
故答案为：．
根据三角函数线即可判断求解．
本题考查了三角函数线的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设复数，
复数满足：，
，
由复数的几何意义知，在以为圆心，为半径的圆上，
到原点的距离的最小值为，
则的最小值为．
故答案为：．
设复数，由复数的几何意义知，在以为圆心，为半径的圆上，由此能求出的最小值．
本题考查复数的运算法则、复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】： 

【解析】解：设，则，延长三条侧棱相交于点，过平面于
设的中点为，连接交于，设三棱锥的高，到平面的距离为，
由，可得，又为棱的中点，故，连接，则，，

过作于，则：：：，
，，，故：：：，
又，，
，
，
故：．
故答案为：：．
设，则，延长三条侧棱相交于点，过平面于，设的中点为，连接交于，过作于，设设三棱锥的高，可求三棱锥的高为，可求体积比．
本题考查空间几何体的性质，考查体积的计算，属中档题．
 

17.【答案】解：
；
，
当时，，
当时，． 

【解析】由，然后弦化切即可求解；利用求出，然后利用正弦的和角公式化简即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数的公式的应用，涉及到弦化切，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：证明：连接，，，

是正方形，为底面的中心，
，交于点，且为中点，
为侧棱中点，，
平面，平面，
平面；
是中点，与到平面的距离相等，
，
在中，是四面体的高，
则到底面距离为，
四面体的体积为：
． 

【解析】连接，，推导出，由此能证明平面；
求出到底面距离为，四面体的体积为，由此能求出结果．
本题考查线面平行的判断与性质、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：，，，
在中，由余弦定理可得，
，解得，解得或舍去，
在中，由余弦定理可得，
，解得或舍去，
所以；
在中，由正弦定理得，即，，
，是锐角，，
又，
，
． 

【解析】在中，由余弦定理可求，中，由余弦定理可求，进而可求面积；
由正弦定理可求，进而求，利用可求值．
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．
 

20.【答案】解：由题设两边平方得，
所以，又，故，
所以，故；
根据题意可得：，
所以：，即，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以．
故面积的最大值． 

【解析】将已知条件两边平方得到，结合三角形内角和性质求得，进而可求；
由，根据已知模长及向量数量积可得，结合基本不等式求得，进而可求面积的最大值．
本题考查三角恒等变换，三角形面积公式的应用和向量法的应用，考查了计算能力和转化思想，属中档题
 

21.【答案】证明：由于平面为菱形，所以，
因为点在底面上的射影恰为的中点，
所以平面，而在平面内，所以，
因为，，
又因为，，平面，
所以平面，而在平面中，所以，
又因为，，平面，
所以平面；
解：如图所示，设是中点，连接，设四面体外接球的球心为，连接，，过作，连接，

因为，，，，
因为，
所以四面体是一个正三棱锥，所以在底面上的射影是的重心，
所以，
由题得四边形是矩形，所以，
所以四面体外接球的半径为，
所以四面体外接球的表面积为． 

【解析】证明和，原题即得证；
如图所示，设是中点，连接，设四面体外接球的球心为，连接，，过作，连接，求出四面体外接球的半径即得解．
本题考查了线面垂直的证明和四面体外接球表面积的计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：；
故函数的图像是由函数向右平移个单位，再把函数的纵标伸长倍即可得到．
由于，
由于函数的最小正周期为，所以当时．当时取得最小值，在时取得最大值，
故函数的值域为；
由于，故函数的最小正周期为． 

【解析】首先利用函数的关系式的变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果；
利用的结论，整理得，进一步利用函数的性质求出函数的值域和最小正周期．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换，函数的周期的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．