新教材高考数学一轮复习第2章函数的概率与基本初等函数ⅰ第8节函数与方程学案含解析

这是一份新教材高考数学一轮复习第2章函数的概率与基本初等函数ⅰ第8节函数与方程学案含解析，共6页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
第八节　函数与方程一、教材概念·结论·性质重现1．函数零点的概念对于一般函数y＝f (x)，我们把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．2．几个等价关系方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f (x)有零点．3．函数零点存在定理如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解．(1)若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实数解．(2)由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)f (b)<0，如图所示．所以f (a)f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．4．二分法条件(1)函数y＝f (x)在区间[a，b]上图象连续不断；(2)所在区间端点的函数值满足f (a)f (b)＜0方法不断地把函数y＝f (x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值5．有关函数零点的结论(1)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(2)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． (×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点． (√)(3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)f (b)＜0． (×)(4)若f (x)在区间[a，b]上连续不断，且f (a)·f (b)＞0，则f (x)在(a，b)内没有零点． (×)2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)A　解析：根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．3．函数f (x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　)A．(1，2) B．(2，3)C．和(3，4) D．(4，＋∞)B　解析：因为f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－>0，且函数f (x)的图象连续不断，f (x)为增函数，所以f (x)的零点在区间(2,3)内．4．函数f (x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)A．0  B．1  C．2  D．3B　解析：由f ′(x)＝ex＋3>0，得f (x)在R上单调递增．又f (－1)＝－3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x)有且只有一个零点．5．已知2是函数f (x)＝的一个零点，则f (f (4))的值是________．3　解析：由题意知log2(2＋m)＝0，所以m＝－1，所以f (f (4))＝f (log23)＝2＝3.6．若二次函数f (x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．(－8,1]　解析：由题意知m＝－x2＋2x在(0,4)上有解．又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，所以－8<m≤1.考点1　判断函数零点所在区间——基础性1．设f (x)＝ln x＋x－2，则函数f (x)的零点所在的区间为(　　)A．(0,1)  B．(1,2)  C．(2,3)  D．(3,4)B　解析：由于f (x)的图象在(0，＋∞)上连续，且f (1)＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，f (2)f (1)<0，故函数f (x)＝ln x＋x－2的零点在区间(1,2)内．2．设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)(　　)A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D　解析：当x∈时，函数图象连续不断，且f ′(x)＝－＝<0，所以函数f (x)在上单调递减．又f ＝＋1>0，f (1)＝>0，f (e)＝e－1<0，所以函数f (x)有唯一的零点在区间(1，e)内．确定函数f (x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)·f (b)<0.若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．考点2　确定函数零点的个数——综合性(1)函数f (x)＝的零点个数为(　　)A．3  B．2  C．7  D．0B　解析：(方法一：直接法)由f (x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.因此函数f (x)共有2个零点．(方法二：图象法)函数f (x)的图象如图所示．由图象知函数f (x)共有2个零点．(2)设m，n∈Z，已知函数f (x)＝log2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，值域是[0,3]．当m取最小值时，函数g(x)＝2|x－1|＋m＋1的零点个数为(　　)A．0  B．1  C．2  D．3C　解析：因为函数f (x)＝log2(－|x|＋8)的值域是[0,3]，所以1≤－|x|＋8≤8，即－7≤x≤7.因为函数f (x)＝log2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，所以m的最小值为－7，此时g(x)＝2|x－1|－6.令g(x)＝2|x－1|－6＝0，解得x＝2＋log23或x＝－log23，即有两个零点．函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f (x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)函数零点存在定理，要求函数f (x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f (a)f (b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两个函数图象，观察其交点个数即得零点个数．1．(2020·武邑中学调研)若函数f (x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.2　解析：因为f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝－1＋ln 2<0，f (3)＝2＋ln 3>0，所以函数f (x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.2．已知函数f (x)＝－cos x，则f (x)在[0,2π]上的零点个数为________．3　解析：如图，作出g(x)＝与h(x)＝cos x的图象，可知g(x)与f (x)的图象在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x)在[0,2π]上的零点个数为3.考点3　函数零点的应用——应用性考向1　根据函数零点所在的区间求参数(1)已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数a的取值范围为________．　解析：设f (x)＝x2＋ax＋1，由题意知解得－<a<－2.(2)若函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是________．　解析：由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解．设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是.根据函数零点所在区间求参数的步骤考向2　根据函数零点的个数求参数已知函数f (x)＝则使函数g(x)＝f (x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(　　)A．[0,1)  B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞)  D．(－∞，0]∪(1，＋∞)D　解析：函数g(x)＝f (x)＋x－m的零点就是方程f (x)＋x＝m的根．画出h(x)＝f (x)＋x＝的大致图象(图略)．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时，有交点，即函数g(x)＝f (x)＋x－m有零点．利用函数零点个数求参数的方法由函数零点个数求参数问题，可采用数形结合法，先对解析式变形，变为关于两个初等函数的方程再在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，然后数形结合求解．设函数f (x)＝(1)若a＝1，则f (x)的最小值为________；(2)若f (x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．(1)－1　(2)∪[2，＋∞)解析：(1)若a＝1，则f (x)＝作出函数f (x)的图象如图所示，由图可得f (x)的最小值为－1.(2)当a≥1时，要使f (x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2；当a<1时，要使f (x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．